Démonstrations du dernier théorème de Fermat - Définition

La démonstration utilise encore une fois la méthode de descente infinie. On suppose qu'il existe d'autres solutions que celles des polynômes constants et on considère un triplet de polynômes (p, q, r) de cette nature soit n₀ la somme de leur degré. À l'aide de cette solution, on en construit une nouvelle (p₁, q₁, r₁) tel que la somme des degrés n₁ est strictement positive et strictement inférieure à n₀. En réitérant le processus, on obtient une suite infinie et strictement décroissante (n_j) d'entiers positifs. La méthode de descente infinie procure la contradiction recherchée.

La lettre ζ désigne une racine primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine telle que l'ensemble des nombres ζ^j, si j varie de 0 à n - 1, décrivent toutes les racines n^ièmes de l'unité. Le polynôme Xⁿ - 1 possède exactement n racines distinctes qui sont les n racines de l'unité, ce qui permet de déduire les égalités :

L'équation de Fermat s'écrit encore :

Cette factorisation est possible dans tous les anneaux commutatifs unitaires intègres contenant les n racines n^ièmes de l'unité.

Le caractère factoriel intervient maintenant dans la démonstration. On remarque que les polynômes r - ζ^jq sont premiers deux à deux. Deux polynômes de cette nature engendrent en effet l'espace vectoriel de base r et q. Un diviseur communs divise donc r et q et par hypothèse est constant. Chaque facteur premier de r - ζ^jq est un facteur premier de pⁿ donc de p et se trouve nécessairement à la puissance n dans le polynôme r - ζ^jq puisqu'il n'est pas présent dans les polynômes r - ζ^kq si k est différent de j. On en déduit que le polynôme r - ζ^jq est une puissance n^ième et qu'il existe un polynôme a_j tel que a_jⁿ est égal à r - ζ^jq. On obtient l'égalité :

On remarque que les polynômes a_j sont premiers entre eux deux à deux,car les polynômes r - ζ^jq le sont et une analyse de leur monôme dominant montre que l'un au plus est constant. Considérons les trois polynômes a₁, a₂ et a₃. Leur puissance n^ième est dans l'espace vectoriel engendré par r et q, de dimension deux. Il existe donc une combinaison linéaire non triviale entre eux trois.

Comme tout élément de C s'exprime comme une puissance n^ième d'un élément de C, il existe trois complexes α₁, β₁ et γ₁, tel que :

Ce qui montre l'existence de trois polynômes non tous constants, premiers deux à deux, de somme des degrés strictement inférieure à n₀ satisfaisant l'équation initiale, offrant le cadre nécessaire à la mise en place de la méthode de descente infinie.

L'objectif est de résoudre l'équation : x³ + y³ = z' ³ dans l'anneau des entiers d'Eisenstein. En notant z = -z' , l'équation devient x³ + y³ + z³ = 0. Soit (α, β, γ) une solution non triviale tel que α, β et γ soient premiers entre eux dans leur ensemble.

Notons u = 1 + j et v = -j. On remarque que la famille (u, v) forme une base de l'anneau des entiers considéré comme un Z module. De plus, w = u - v est de norme égal à trois, c'est donc un nombre premier d'Eisenstein. Quelques calculs élémentaires montrent que u² = -v, v² = -u, u.v = u + v = 1 et u³ = v³ = -1. Dans la suite de la démonstration a et b désignent deux entiers relatifs.

1. a.u + b.v est un multiple de w si, et seulement si, a + b est un multiple de trois.

Si a.u + b.v est un multiple de w, alors il existe deux entiers relatifs n et m tel que:

(i)

On en déduit que a + b est égal à 3.(m - n). Réciproquement, si a + b est égal à 3.c, où c est un entier relatif, alors définissons m et n comme les deux entiers vérifiant n - m = c et 2.m - n = a, on vérifie que m - 2.n = b et les égalités (i) montrent que a.u + b.v est multiple de w.

2. Si a.u + b.v n'est pas un multiple de w, alors (a.u + b.v)³ est congru à plus ou moins un modulo neuf.

Soit d_a (respectivement d_b) le reste de la division euclidienne par trois de a (respectivement de b), d l'entier d'Eisenstein d_a.u + d_b.v et ε l'entier d'Eisenstein défini par a.u + b.v = 3.d + ε. Alors, si a.u + b.v n'est pas un multiple de w la proposition précédente montre que ε est élément de l'ensemble {±u, ±v, ±1}. Le calcul suivant permet de conclure :

3. Un et un seul des trois entiers d'Eisenstein α, β ou γ est un multiple de w.

La somme des trois cubes est égale à 0, elle est donc congrue à 0 modulo neuf. On en déduit que les trois cubes ne peuvent tous être congrus à ±1 modulo 9. La proposition précédente montre qu'au moins l'un d'entre eux est un multiple de w.

Si deux des trois entiers ont un diviseur commun, l'égalité α³ + β³ + γ³ = 0 montre que le troisième entier possède aussi ce diviseur. Le fait que les trois entiers soit premiers entre eux dans leur ensemble montre qu'ils sont premiers entre eux deux à deux, w n'est donc diviseur que de l'un des trois. Il est possible, sans perte de généralité de supposer que α est le multiple de w, cette hypothèse est celle de la suite de la démonstration.

4. α est un multiple de trois.

α est un multiple de w d'après le point 3. Donc β³ + γ³ qui est égal à -α³ est un multiple de w³. De plus, β³ (respectivement γ³) est congru à un élément de l'ensemble {±u, ±v, ±1} modulo 9 d'après le point 2, notons ε_β (respectivement ε_γ) cet élément. β³ + γ³ est congru à ε_β + ε_γ modulo 9, or 9 est un multiple de w³ car w⁴ est égal à 9. Ceci montre que ε_β + ε_γ est congru à 0 modulo w³, ce qui montre que ε_β + ε_γ est égal à 0.

ε_β + ε_γ = 0, donc β³ + γ³ est congru à 0 modulo 9 et α³ est aussi congru à 0 modulo 9, ce qui montre que α est un multiple de trois.

5. Si μ = β.u + γ.v, η = β.v + γ.u et χ = β + γ, alors μ, η et χ sont des multiples de w.

Remarquons tout d'abord que β³ + γ³ = μ.η.χ. Ensuite w³ divise μ.η.χ car w³ divise α³ qui est égal à -β³ - γ³. Puis, w divise μ - η car μ - η = w.(β - γ) et enfin μ + η = β + γ est égal à χ.

Comme w divise μ.η.χ et que w est premier, il divise au moins l'un d'entre eux, par exemple μ. Comme w divise μ - η, il divise aussi η. Enfin comme w divise μ et η il divise χ = μ + η. Un raisonnement analogue permet de conclure de la même manière si w divise η ou χ.

6. Si μ', η', χ' sont définis par μ = w.μ', η = w.η' et χ = w.χ', alors μ', η' et χ' sont premiers deux à deux.

Raisonnons par l'absurde. Supposons que les trois entiers d'Eisenstein ne soit pas premiers entre deux deux à deux alors μ', η' ont un diviseur commun car χ' = μ'+ η'. Notons δ ce diviseur commun.

β + γ est égal à μ + η donc δ est un multiple de β + γ. β - γ est un multiple de μ - η (cf le point 6) donc δ est un multiple de β - γ. En conséquence, δ est un multiple de 2.β et de 2.γ. Comme β et γ sont premiers entre eux, δ est égal à deux (à un membre du groupe des unités près).

En conséquence β + γ et β - γ sont des multiples de deux. Divisons β et γ par deux, on obtient : β = 2.q_β + r_β et γ = 2.q_γ + r_γ, avec les normes de r_β et de r_γ inférieures à trois. De plus comme β + γ est un multiple de deux r_β + r_γ = 2.λ. En conséquence γ = 2.(q_γ + λ) - r_β.

L'égalité μ = β.u + γ.v s'écrit alors μ = 2.(q_β.u + (q_γ + λ).v + r_βw. On remarque alors que deux est un nombre premier d'Eisenstein qui ne divise ni w si r_β qui est le reste d'une division euclidienne par deux. En conclusion μ n'est pas un multiple de deux, μ' non plus ce qui est une contradiction.

7. Il existe un triplet de racine cubique de μ', η' et -χ' solutions de l'équation de Fermat à un élément du groupe de l'unité près.

L'égalité μ'.η'.χ' = θ³ où θ est défini par θ.w = α (le point 3. montre que α est un multiple de w) et le fait que les éléments μ', η' et χ' sont premiers deux à deux montre que chacun des facteurs est le produit d'une unité et d'un cube.

L'égalité μ' + η' = χ' montre que u_μ.α' ³ + u_η.β' ³ - u_χ.γ' ³ = 0.

L'égalité u_μ.u_η.u_χ.(α'.β'.γ') ³ = θ³, montre que u_μ.u_η.u_χ est un cube. Ce cube n'est pas multiple de w, il est donc congru à ±1 modulo 9. Il est donc égal à ±1.

Un et un seul élément parmi α', β' et γ' est multiple de w. En effet, μ', η' et χ' sont premiers entre deux à deux, il en est donc de même avec α', β' et γ'. En conséquence au plus un élément est multiple de w. Le point 4 montre que α est multiple de 3 qui est égal à w², et θ est un multiple de w. Comme w est un nombre premier d'Eisenstein, il divise au moins l'un des trois membres. Par la suite, on suppose que α' est le multiple de w. Le raisonnement est le même si le multiple s'avère être l'un des deux autres membres.

β' et γ' ont un cube congru à ±1 modulo 9 et un raisonnement analogue au point 4. montre que les racines u_η et u_χ sont opposées. L'égalité u_μ.u_η.u_χ = 1 devient u_μ.u_η² = ±1. Ce qui montre que u_μ est égal à ± u_η. Quitte à modifier le signe de α', il est toujours possible de choisir u_μ égal à u_η. L'égalité devient:

8. Une descente infinie montre qu'il n'existe pas de solution à l'équation de Fermat si n est égal à trois.

Le premier triplet de solutions (α, β, γ) non trivial est tel que le produit α.β.γ contient le facteur w plusieurs fois (au moins deux d'après le point 4.). Un tel triplet montre l'existence d'un deuxième triplet de solutions (α', β', γ' ) non trivial tel que le produit α'.β'.γ' contient le facteur w un nombre de fois strictement inférieur car β et γ ne sont pas multiples du nombre premiers d'Eisenstein w et que :

Ceci démontre l'existence d'une descente infinie et donc l'absence de solution.

n est impair. En conséquence, en modifiant le signe de z, l'équation s'écrit x ⁿ + y ⁿ + z ⁿ = 0. Soit (α, β, γ) une solution non triviale tel que α, β et γ soient premiers entre eux dans leur ensemble, et donc deux à deux. Montrons que α.β.γ est une puissance de n. Pour cela, raisonnons par l'absurde : supposons que α.β.γ ne soit pas une puissance de n et trouvons une contradiction.

1. α + β, β + γ et γ + α sont des puissances de n.

L'équation s'écrit de la manière suivante:

Montrons que β + γ et β ^n-1 - β ^n-2.γ + ... + γ ^n-1 sont premiers entre eux. Soit d un diviseur des deux membres. Alors γ est congru à -β modulo d et le deuxième terme est congru à zéro modulo d. En remplaçant γ par -β dans le deuxième terme, on montre que n. β ^n-1 est un multiple de d. Ceci montre que β est un multiple de d. Comme β + γ l'est aussi, γ est un multiple de d. Comme β et γ sont premiers entre eux, on en déduit que d est égal à 1.

Les deux facteurs de droite de l'égalité (i) sont premiers entre eux et leur produit est égal à une puissance de n. Ceci montre que β + γ est une puissance de n. Le même raisonnement s'applique pour α + β et γ + α. Il existe donc trois entiers a, b et c tel que:

2. bⁿ + cⁿ + (-a)ⁿ est un multiple de 2n + 1.

Z/(2n+1)Z est un corps dont le groupe multiplicatif est un groupe cyclique d'ordre 2n (cf groupe cyclique et anneau). En conséquence toute puissance de n d'un élément du groupe est d'ordre deux et est donc solution de l'équation X ² - 1. Toute puissance de n d'un entier non multiple de 2n + 1 est donc congru à ±1 modulo 2n + 1. Les trois puissances α ⁿ, β ⁿ et γ ⁿ ne peuvent être en même temps congrus à ±1 car leur somme serait alors différente de zéro. Un au moins est donc multiple de 2n + 1. Comme 2n + 1 est un nombre premier, une puissance n'est multiple de 2n + 1 que si son facteur l'est aussi. Un des trois termes α, β ou γ est donc multiple de 2n + 1 car aucun n'est multiple de n, supposons que ce terme soit α. Le raisonnement s'applique de manière analogue dans le cas de β ou γ. En revanche deux facteurs ne peuvent en même temps être multiple de 2n + 1 car ils ne seraient plus premiers entre eux, β et γ sont donc congrus à ±1 modulo 2n + 1.

Il suffit alors de remarquer que bⁿ + cⁿ + (-a)ⁿ est égal à γ + α + α + β - (β + γ) = 2.α pour conclure que la somme est multiple de 2n + 1.

3. a est multiple de 2n + 1.

Si b est un multiple de 2n + 1, alors γ + α l'est aussi car γ + α = b ⁿ. Comme α est multiple de 2n + 1, il en est de même pour γ et ces deux entiers ne sont pas premiers entre eux, ce qui est contraire à l'hypothèse. Le raisonnement s'applique de la même manière pour c.

Le raisonnement du 2. montre que, comme bⁿ + cⁿ + (-a)ⁿ est congru à zéro modulo 2n + 1, un des trois termes est un multiple de 2n + 1. Comme ce n'est ni b ni c, a est un multiple de 2n + 1.

4. Les hypothèses initiales sont fausses et α.β.γ est un multiple de n.

Le raisonnement du 1. montre que β ^n-1 - β ^n-2.γ + ... + γ ^n-1 (respectivement α ^n-1 - α ^n-2.β + ... + β ^n-1) est une puissance de n. Il existe donc deux entiers u et v tel que :

Comme a est un multiple de 2n + 1, β est congru à -γ modulo 2n + 1. Un raisonnement analogue au 1. montre que n.β ^n-1 est congru à uⁿ modulo 2n + 1.

De plus, α est un multiple de 2n + 1, on en déduit que vⁿ est congru à β ^n-1 modulo 2n + 1 et:

Dans Z/(2n+1)Z une puissance de n est égal soit à ±1 soit à 0. Les valeurs ±1 étant impossibles, u et v sont donc des multiples de 2n + 1. En conséquence β ^n-1 est aussi β est un multiple de 2n + 1 et α et β ne sont pas premiers entre eux, ce qui est contraire aux hypothèse.

En conclusion, il n'est pas possible de supposer que le triplet (α, β, γ) est une solution si α.β.γ n'est pas un multiple de n.

On suppose que (α, β, γ) est une solution non triviale telle que α, β et γ soient premiers entre eux dans leur ensemble et donc deux à deux.

Résolution du cas ou z est un multiple de cinq et de deux

L'équation s'écrit alors : x ⁵ + y ⁵ = 2^5.m.5^5.n.z' ⁵. Soit (α, β, γ') un triplet solution associée.

1. Il existe deux entiers p et q premiers entre eux, de parités opposées tel que α ⁵ + β ⁵ = 2p(p⁴ + 10p²q² + 5q⁴ ).

γ est pair donc α et β sont impairs, α + β et α - β sont donc pairs et si p et q sont définis par 2p = α + β et 2q = α - β, alors α = p + q et β = p - q. De plus, p et q sont non nuls et premiers entre eux car α et β le sont. Alors un développement binomial montre que :

Enfin, p et q sont de parités opposées car α et β sont impairs.

2. Il existe deux entiers q et r premiers entre eux de parités opposées tel que r soit multiple de cinq et α ⁵ + β ⁵ = 2.5².r(q⁴ + 50q²r² + 125r⁴).

α ⁵ + β ⁵ est multiple de cinq, le terme 2p(p⁴ + 10p²q² + 5q⁴ ) est donc multiple de cinq, ce qui montre que p l'est. Soit r l'entier défini par p = 5.r. En remplaçant p par 5.r dans l'équation (i), on obtient:

r est de même parité que p, chaque membre de l'équation (ii) est multiple de 5⁵ donc soit r soit q est multiple de cinq. Or q est premier avec p et p est multiple de cinq, q n'est donc pas multiple de cinq et r l'est. Les notations suivantes sont alors utilisées:

3. les entiers a et b sont deux entiers strictement positifs premiers entre eux de parités opposées et t = a² - 5b² est une puissance cinquième.

Un simple calcul montre que t = a² - 5b².

Montrons que a et b sont premiers entre eux. Soit f un diviseur de a et de b, f ne peut être pair car a est impair (q et r sont de parités différentes et a = q² + 25r²). f ne peut être multiple de cinq car a n'est pas multiple de cinq (car q n'est pas multiple de cinq, en effet p et q sont premiers entre eux et p est un multiple de cinq). Enfin f est un diviseur de r car il divise b = 2.5.r², comme il divise aussi a il est donc diviseur de q. Comme q et r sont premiers entre eux, f est égal à 1, ce qui montre que a et b sont premiers entre eux. Comme b est un multiple de deux et de cinq, a et b sont de parités différentes et a n'est pas un multiple de cinq.

Montrons que 2.5².r et t sont premiers entre eux. Soit f un diviseur des deux membres. Comme t est impair (t = a² - 5b² et a et b sont de parités opposées) f l'est aussi. Cinq divise p, donc il ne divise pas q. Si cinq ne divise pas q, il ne divise pas t ni f. Tout diviseur commun à r et t divise aussi q, donc r et t sont premiers entre eux. Donc, si f divise r, comme f divise r il est égal à un. Tout diviseur commun à 2.5².r et t est donc égal à un, et ils sont premiers entre eux.

L'égalité γ⁵ = 2.5².r.t permet de conclure que t et 2.5².r sont deux puissances cinquième car ils sont premiers entre eux. De plus q et r sont non nuls donc a et b sont des entiers strictement positifs.

4. Il existe deux entiers c et d, différents de zéro premiers entre eux de parités opposées tel que cinq divise d avec :

Ce passage correspond au lemme clé de la démonstration. Une fois prouvée, la suite est relativement mécanique. Comme pour le cas où le paramètre est égal à trois, le bon anneau d'entier est nécessaire. Ici, c'est l'anneau des entiers de Dirichlet. La démonstration est donnée dans le paragraphe Propriété associée aux entiers de Dirichlet pour la démonstration du dernier théorème de Fermat. L'unique élément à démontrer reste le fait que d est un multiple de cinq. Il suffit pour cela de remarquer que b est un multiple de 25, c n'est pas un multiple de cinq, donc d l'est. Utilisons alors les notations suivantes:

5. e et f vérifient les hypothèse du lemme.

On remarque que e et f sont premiers entre eux. En effet, si θ est un diviseur commun à e et à f, alors θ ne divise pas 2 car c et d étant de parités différentes e est impair, θ est donc un diviseur de d et de c, il est donc égal à 1. On remarque de plus que f est pair et e impair, d est un multiple de cinq donc f l'est. Enfin, d est non nul donc f est aussi non nul, c n'est pas un multiple de cinq, donc e est aussi non nul.

Montrons que e ² - 5.f ² est une puissance cinquième. On remarque que:

Le terme correspond donc à un diviseur de b. L'égalité (ii) montre que 2.5².r est une puissance cinquième, il en est donc de même de son carré. Or :

Il suffit donc de montrer que e ² - 5.f ² est premier avec 2, 5 et d pour prouver que c'est une puissance cinquième. La différence de parité entre e et f montre que l'expression est première avec 2. Comme e est premier avec 5 (car c l'est) l'expression est première avec 5. Enfin, c est premier avec d ce qui montre que l'expression, somme de c⁴ et de puissances de d, est première avec d. Les hypothèses du lemme sont bien vérifiées.

On en déduit l'existence de deux entiers g et h vérifiant les égalités suivantes et les conclusions du lemme :

Comme précédemment, nous utilisons les notations suivantes:

6. Existence d'une descente infinie.

e' et f' vérifient les hypothèses du lemme pour la même raison que pour le point 5. Le fait que l'expression e' ² - 5.f' ² soit une puissance cinquième provient du fait que 2.5⁴.d est une puissance cinquièm et son carré aussi, donc :

Il suffit alors de montrer que l'expression est première avec 2, 5 et d' ce qui se montre comme précédemment. La suite d, d' etc... est une suite d'éléments non nuls, il suffit de montrer qu'elle est décroissante. Or la suite est strictement positive et entière, donc :

La suite génère une descente infinie, ce qui montre qu'une telle solution n'existe pas.