Analyse vectorielle
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Article d'analyse vectorielle
Objets d'étude
Champ vectoriel Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace – de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps est le plus souvent couvert d'écailles. On les trouve abondamment aussi bien en eau douce que...)
Opérateurs
Nabla (Nabla, noté , est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle. Les deux notions sont évidemment reliées, ce qui explique...) Gradient
Rotationnel Divergence
Laplacien scalaire Bilaplacien
Laplacien vectoriel D'alembertien
Théorèmes
de Green de Stokes
de Helmholtz de flux-divergence
du gradient du rotationnel

L'analyse vectorielle (L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'un ouvert d'un espace euclidien...) est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'un ouvert d'un espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des...) E à valeurs respectivement dans \mathbb R et dans E. Du point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de...), l'analyse vectorielle est donc une branche de la géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une...). Cette dernière inclut l'analyse tensorielle qui apporte des outils plus puissants et une analyse plus concise entre autres des champs vectoriels.

Mais l'importance de l'analyse vectorielle provient de son utilisation intensive en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la...) et dans les sciences de l'ingénieur (« Le métier de base de l'ingénieur consiste à résoudre des problèmes de nature technologique, concrets et souvent complexes, liés à la conception, à la réalisation et à la mise en œuvre de produits,...). C'est de ce point de vue que nous la présenterons, et c'est pourquoi nous nous limiterons le plus souvent au cas où E = \mathbb R^3 est l'espace usuel à trois dimensions. Dans ce cadre, un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de vecteurs associe à chaque point de l'espace un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur,...) (à trois composantes réelles), tandis qu'un champ de scalaires y associe un réel. Imaginons par exemple l'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) d'un lac (En limnologie, un lac est une grande étendue d'eau située dans un continent où il suffit que la profondeur, la superficie, ou le volume soit suffisant pour provoquer une stratification, une zonation, ou une...). La donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) de sa température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de chaud, provenant du...) en chaque point forme un champ de scalaires, celle de sa vitesse (On distingue :) en chaque point, un champ de vecteurs. (Pour une approche plus théorique, voir géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) différentielle)

Principaux opérateurs différentiels linéaires de tri

Le gradient, la divergence et le rotationnel sont les trois principaux opérateurs différentiels linéaires du premier ordre. Cela signifie qu'ils ne font intervenir que des dérivées partielles (ou différentielles) premières des champs, à la différence, par exemple, du laplacien qui fait intervenir des dérivées partielles du second ordre.

  • On les rencontre en particulier en mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci...) (équations de Navier-Stokes).
  • Et aussi en électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude des phénomènes électriques et magnétiques dans leur synthèse du champ électromagnétique : le champ électromagnétique...), où ils permettent d'exprimer les propriétés du champ électromagnétique (Le champ électromagnétique est le concept central de l'électromagnétisme. On le conçoit souvent comme composition des deux champs vectoriels que l'on peut mesurer indépendamment : le...). La formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières...) moderne des équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'électromagnétisme, avec l'expression de la force...) utilise ces opérateurs.
  • Ainsi que dans toute la physique mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres,...) (propagation, diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition » (diffusion d'un produit, d'une information), voire de...), résistance des matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.),...).

L'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) formel nabla

L'opérateur nabla \nabla tire son nom d'une lyre antique qui avait la même forme de triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) pointant vers le bas. Il s'agit d'un opérateur formel de \R^3 défini en coordonnées cartésiennes par

\nabla = \begin{pmatrix}  \frac {\partial}{\partial x} \\  \frac {\partial}{\partial y} \\  \frac {\partial}{\partial z} \end{pmatrix}.

On écrit aussi \vec\nabla pour souligner que formellement, l'opérateur nabla a les caractéristiques d'un vecteur. On le qualifie d'ailleurs de pseudovecteur. Il ne contient certes pas de valeurs scalaires, mais on va utiliser ses éléments constitutifs (que l'on peut voir comme des opérations en attente d'argument) très exactement comme on aurait utilisé les valeurs scalaires composant un vecteur.

La notation nabla fournit un moyen commode pour exprimer les opérateurs vectoriels en coordonnées cartésiennes.

Le gradient

Le gradient est un opérateur qui s'applique à un champ de scalaires et le transforme en champ de vecteurs. Pratiquement, le gradient indique la direction de la plus grande variation du champ scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la...), et l'intensité de cette variation. Par exemple, le gradient de l'altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau de base. C'est une des composantes géographique et biogéographique...) est dirigé selon la ligne de plus grande pente et sa norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent...) augmente avec la pente.

En mathématiques, le gradient du champ f, supposé continûment différentiable, au point a, est défini par la relation

\mathrm d f(a)\cdot h = \left(\overrightarrow{\mathrm{grad}}_a f\right) \cdot h,

\mathrm d f(a)\cdot h désigne la valeur sur le vecteur h de la différentielle de la fonction f au point a.

C'est donc tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) simplement la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) de l'application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels...) tangente du champ scalaire f(M)= f(x, y, z) en M = a . De plus, pour une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois...) d'équation f(x,y,z) = 0, le vecteur normal à la surface au point a = (xa,ya,za) est donné par \overrightarrow{\mathrm{grad}}_a f, ce qui se déduit facilement de ce qui précède.

Il en résulte immédiatement que la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou...) de la fonction en a par rapport au vecteur v est donnée par

\overrightarrow{\mathrm{grad}}_a f \cdot v.

En dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce...) 3 et coordonnées cartésiennes, le champ de gradients vérifie

\overrightarrow{\mathrm{grad}} f = \vec\nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}.

Cette relation peut servir, dans le cas particulier où elle s'applique, de définition du gradient. Elle se généralise naturellement en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) quelconque en ajoutant des composantes au nabla.

Application linéaire tangente d'un champ de vecteurs \vec{F(M)}

Soit M' le point translaté de M de \vec{h} ; alors :

\vec{F}(M')  - \vec{F}(M) = (\hat{\partial \vec{F}})_M \cdot \vec{h}  + o(\|\vec{h}\|)

définit l'opérateur linéaire noté par un chapeau pour signifier que sa représentation dans une base est une matrice carrée [3-3], application linéaire tangente du champ vectoriel F(M).

Le déterminant de cet opérateur est le Jacobien de la transformation qui à M associe F(M).

Sa trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et...) définira ( voir ci-après) la divergence du champ vectoriel F(M).

Cela permettra de donner du rotationnel du champ vectoriel F(M) une définition intrinsèque.

On pourra vérifier que symboliquement :

(\hat{\partial \vec{F}})_M \cdot \vec{h} = (\vec{h}\cdot \vec{\nabla})\vec{F}

La divergence

La divergence s'applique à un champ de tenseurs d'ordre n et le transforme en un champ de tenseurs d'ordre n-1. Pratiquement, la divergence d'un champ vectoriel exprime sa tendance à fluer localement hors d'un petit volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) entourant le point M où est calculée la divergence.

En dimension 3 et en coordonnées cartésiennes, si \vec F est un tenseur d'ordre 1, alors c'est un vecteur et on peut définir la divergence par la relation

\mathrm{div} \vec F = \vec \nabla \cdot \vec{F} = \frac {\partial F_x} {\partial x} + \frac {\partial F_y} {\partial y} + \frac {\partial F_z} {\partial z}

\vec{F} = (F_x, F_y, F_z) désigne le champ vectoriel auquel est appliqué l'opérateur divergence. La divergence peut être vue, formellement, comme le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est...) de l'opérateur nabla par le vecteur " générique " du champ auquel elle est appliquée, ce qui justifie la notation \vec\nabla\cdot. Bien entendu, cette définition se généralise naturellement en dimension quelconque.

La définition indépendante du choix de la base est :

\mathrm{div} \vec{F} = \mbox{Tr} (\hat{\partial \vec{F}})

Une autre définition possible, plus générale mais plus difficile à formaliser, consiste à définir la divergence d'un champ de vecteurs en un point comme le flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens commun. Plus précisément le terme est employé dans les domaines...) local du champ autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco,...) de ce point.

Le rotationnel

Le rotationnel transforme un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs. Plus difficile à se représenter aussi précisément que le gradient et la divergence, il exprime la tendance qu'a un champ à tourner autour d'un point : sa circulation (La circulation routière (anglicisme: trafic routier) est le déplacement de véhicules automobiles sur une route.) locale sur un petit lacet entourant le point M est non nulle. Par exemple :

  • dans une tornade (Une tornade (de l'espagnol tornado, dérivé du verbe tornar, tourner) est un vortex (tourbillon) de vents extrêmement violents, prenant naissance à la base d'un nuage d'orage...), le vent (Le vent est le mouvement d’une atmosphère, masse de gaz située à la surface d'une planète. Les vents les plus violents connus ont lieu sur...) tourne autour de l'œil du cyclone (Un cyclone (du grec kyklos, cercle) est un terme météorologique qui désigne une grande zone où l'air atmosphérique est en rotation autour d'un centre de...) et le champ vectoriel vitesse du vent a un rotationnel non nul autour de l'œil. Le rotationnel de ce champ de vitesse (autrement dit le champ de vorticité ou encore champ tourbillon) est d'autant plus intense que l'on est proche de l'oeil.
  • le rotationnel du champ des vitesses \overrightarrow{V(M) } = \vec{\Omega_0}\wedge \vec{OM} d'un solide qui tourne à vitesse constante \vec{\Omega_0} est constant, dirigé selon l'axe de rotation et orienté de telle sorte que la rotation ait lieu, par rapport à lui, dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) direct et vaut simplement 2 \cdot\vec{\Omega_0}

Dans un espace à 3 dimension et en coordonnées cartésiennes, on peut définir le rotationnel par la relation

{\overrightarrow{\mathrm{rot}}}\ \vec F = \vec \nabla \wedge \vec F = \begin{pmatrix} {\partial F_z / \partial y} - {\partial F_y / \partial z} \\  {\partial F_x / \partial z} - {\partial F_z / \partial x}\\  {\partial F_y / \partial x} - {\partial F_x / \partial y} \end{pmatrix}

\vec{F} = (F_x, F_y, F_z) désigne le champ vectoriel auquel est appliqué l'opérateur rotationnel. L'analogie formelle avec un produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle...) justifie la notation \vec\nabla\wedge.

Cela peut aussi s'écrire, par abus de notation, à l'aide d'un déterminant :

{\overrightarrow{\mathrm{rot}}}\ \vec F   = \begin{vmatrix}  \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\  \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\  F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}

(\vec i, \vec j, \vec k) désigne la base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on parle de la base canonique de , de la...). Cette dernière expression est un peu plus compliquée que la précédente, mais elle se généralise facilement à d'autres systèmes de coordonnées.

  • Une définition intrinsèque (parmi d'autres) du rotationnel est la suivante :

A partir du champ \vec{F}, on peut construire le champ \vec{X_0} \wedge \vec{F} (où \vec{X_0} est un vecteur uniforme) dont la divergence est une forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle...) de \vec{X_0} et donc exprimable par un produit scalaire \vec{K} \cdot \vec{X_0}, où \vec{K} est l'opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau, l'un en face de...) du rotationnel de \vec{F} :

\mathrm{div}(\vec{X_0} \wedge \vec{F}) = - \overrightarrow{\mathrm{rot}} \vec{F} \cdot \vec{X_0}

Une autre définition possible, plus générale mais plus difficile à formaliser, consiste à définir le rotationnel d'un champ de vecteurs en un point comme la circulation locale du champ autour de ce point (voir rotationnel en physique).

Opérateurs d'ordre supérieur

Le laplacien

Le plus utilisé des opérateurs d'ordre 2 est le laplacien, du nom du mathématicien Pierre-Simon Laplace (Pierre-Simon Laplace, né le 23 mars 1749 à Beaumont-en-Auge (Calvados), mort le 5 mars 1827 à Paris, était un mathématicien, astronome et physicien français particulièrement célèbre par son ouvrage en cinq volumes Mécanique...). Le laplacien d'un champ est égal à la somme des dérivées secondes de ce champ par rapport à chacune des variables.

En dimension 3, il s'écrit :

\Delta=\nabla^2 =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.

Cette définition a un sens aussi bien pour un champ de scalaires que pour un champ de vecteurs. On parle respectivement de laplacien scalaire et de laplacien vectoriel. Le laplacien scalaire d'un champ de scalaires est un champ de scalaires alors que le laplacien vectoriel d'un champ de vecteurs est un champ de vecteurs. Pour distinguer ce dernier, on le note parfois \vec\Delta.

L'autre notation du laplacien qui apparaît ci-dessus, \nabla^2, invite à le considérer, formellement, comme le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses...) scalaire de l'opérateur nabla " \nabla ".

Le laplacien apparaît dans l'écriture de plusieurs équations aux dérivées partielles qui jouent un rôle fondamental en physique.

  • La plus simple est l'équation de Laplace (En analyse vectorielle, l'équation de Laplace est une équation aux dérivées partielles du second ordre, dont le nom est un hommage au physicien mathématicien Pierre-Simon Laplace.) Δf = 0. Ses solutions (de classe \mathcal C^2) sont les fonctions harmoniques, dont l'étude est appelée théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) du potentiel. Ce nom provient du potentiel électrique (Le potentiel électrique est l'une des grandeurs définissant l'état électrique d'un point de l'espace. Son unité est le volt.), dont le comportement (de même que celui d'autres potentiels en physique) est régi, sous certaines conditions, par cette équation.
  • Le laplacien sert aussi à écrire:

l'équation de Poisson: {\nabla}^2 \varphi = f

ou encore l'équation des cordes vibrantes : {\nabla}^2 \varphi(x, y, z, t) = \frac{1}{c^2}\cdot\frac{\partial^2 \varphi(x, y, z, t)}{\partial t^2}

Le laplacien vectoriel

Le Laplacien d'un champ vectoriel \vec A est un vecteur défini par le Laplacien scalaire de chacune des composantes du champ vectoriel, ainsi en coordonnées cartésiennes, il est défini par :

\operatorname{\vec{\Delta}} \vec A = \operatorname{\vec \nabla^2} \vec A = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Delta A_x \\ \Delta A_y \\ \Delta A_z \end{bmatrix}

Le Laplacien vectoriel est présent :

  • dans l'Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes...) de Poisson pour les versions vectorielles
  • en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou...) des fluides visqueux où il apparait dans les Équations de Navier-Stokes (En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non-linéaires qui décrivent le mouvement des fluides dans l'approximation des milieux continus. Elles gouvernent par...)

Quelques formules différentielles

Attention : les formules suivantes sont valables à condition que certaines hypothèses soient vérifiées ! (la fonction scalaire dans la première formule doit être C2(Ω), où \Omega \subset \mathbb{R}, par exemple. De même, si \vec f désigne la fonction vectorielle concernée dans la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est...) formule, il faut vérifier \vec f \in C_2(\Omega), \Omega \subset \mathbb{R}^n.)

  • \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{grad}})=\vec{0}
  • \mathrm{div}(\vec{\mathrm{rot}})=0
  • \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}})=\vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div})-\vec{\Delta} (appliqué à un vecteur)
  • \Delta = \mathrm{div}(\vec{\mathrm{grad}}) (appliqué à un scalaire)

Formules dites de Leibniz pour les produits

  • \vec{\mathrm{grad}}(\vec{X_0}\cdot \vec{B} ) = (\vec{X_0} \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{B} + \vec{X_0} \wedge \vec{\mathrm{rot}}\vec{B} (où \vec{X_0} est un vecteur uniforme) et évidemment :
  • \vec{\mathrm{grad}}(\vec{A}\cdot \vec{B} ) = (\vec{A} \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{B} + \vec{A} \wedge \vec{\mathrm{rot}}\vec{B} + (\vec{B} \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{A} + \vec{B} \wedge \vec{\mathrm{rot}}\vec{A}
  • \nabla(\vec{F}\cdot \vec{F}) = 2 (\vec{F}\cdot\nabla)\vec{F} + 2 \vec{F} \wedge (\vec{\mathrm{rot}}\vec{F}) (dite de Bernoulli, en mécanique des fluides)
  • \mathrm{div}(\vec{X_0} \wedge \vec{B})= - \vec{X_0} \cdot \vec{\mathrm{rot}}\vec{B} (où \vec{X_0} est un vecteur uniforme, définition intrinsèque du rotationnel)
  • \mathrm{div}(\vec{A} \wedge \vec{B})= - \vec{A} \cdot \vec{\mathrm{rot}}\vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{\mathrm{rot}}\vec{A}
  • \vec{\mathrm{rot}}( \vec{X_0}\wedge \vec{B}) = \vec{X_0}\cdot \mathrm{div}\vec{B}     - (\vec{X_0}\cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{B} (où \vec{X_0} est un vecteur uniforme, par définition de l'application linéaire tangente)
  • \vec{\mathrm{rot}}( \vec{A}\wedge \vec{B}) = \vec{A}\cdot \mathrm{div}\vec{B}     - (\vec{A}\cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{B} - \vec{B}\cdot \mathrm{div}\vec{A}     + (\vec{B}\cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{A}
  • \vec{\mathrm{grad}}(fg) = f \cdot\vec{\mathrm{grad}}(g)  +  g\cdot\vec{\mathrm{grad}}(f) (symétrique en f et g)
  • \mathrm{div}(\rho \cdot \vec{V}) = \rho \cdot \mathrm{div} \vec{V}+  \vec{\mathrm{grad}}(\rho)\cdot  \vec{V}
  • \vec{\mathrm{rot}}(\rho \cdot \vec{V}) = \rho \cdot \vec{\mathrm{rot}} \vec{V}+  \vec{\mathrm{grad}}(\rho)\wedge  \vec{V}
  • \Delta (f\cdot g) = f\cdot \Delta g + 2 \vec{\mathrm{grad}}(f) \cdot \vec{\mathrm{grad}}(g)  +g\cdot \Delta f
  • \mathrm{div} ( f \cdot \vec{\mathrm{grad}}(g) -g \cdot \vec{\mathrm{grad}}(f)) = f \Delta g - g \Delta f

Quelques formules utiles

  • Soient f(M) et g(M) deux champs scalaires,il existe un champ de vecteurs \vec{A}(M) tel que :

\vec{\mathrm{rot}}\vec{A} = \vec{\mathrm{grad}}f \wedge \vec{\mathrm{grad}}\,g

  • Le champ central \vec{OM}=\vec{r} joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et à mastiquer.) un rôle très important en physique. Aussi convient-il de mémoriser ces quelques évidences :

son application linéaire tangente est la matrice identité (En algèbre linéaire, la matrice unité ou matrice identité (cette dernière dénomination étant un anglicisme) est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale...) (cf. la définition !),

donc \mathrm{div}\vec{r}=3 et \vec{\mathrm{rot}}(\vec{Xo}\wedge\vec{r})=2\vec{Xo} (où \vec{X_0} est un vecteur uniforme)

  • D'autre part -mg\vec{k}=-\vec{\mathrm{grad}}(mgz) ; soit \vec{Xo}=\vec{\mathrm{grad}}(\vec{Xo}\cdot\vec{r}) (où \vec{X_0} est un vecteur uniforme). Et aussi:
  • \vec{\mathrm{grad}}f(r)=f'(r)\vec{u} avec \vec{u}=\frac{\vec{r}}{r}

en particulier \vec{\mathrm{grad}}(r^2)=2\vec{r} (évident car d(\vec{r}\cdot\vec{r})=d(r^2))

  • \Delta f(r)=f''(r)+\frac{2}{r}\cdot f'(r) , sauf en r = 0
  • Le champ newtonien, soit \frac{\vec{r}}{r^3}, est très souvent étudié ,

car c'est le seul champ central à divergence nulle (évident si l'on pense en terme de Flux) ( hors r = 0, où elle vaut 4\pi\cdot\delta(r), théorème de Gauss (Plusieurs théorèmes sont dus à Carl Friedrich Gauss :) pour l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) solide)

Il en résulte que \Delta(1/r) = - 4 \pi \cdot \delta(r)

  • Donc \Delta(\vec{X_0}/r) = - 4 \pi \cdot \vec{X_0}\cdot \delta(r)

(où \vec{X_0} est un vecteur uniforme)

qui se décompose en :

\vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div})(\vec{X_0}/r) = - 4 \pi \cdot \vec{X_0}\cdot \delta(r)\cdot(1/3) (où \vec{X_0} est un vecteur uniforme), et

\vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}})(\vec{X_0}/r) = + 4 \pi \cdot \vec{X_0}\cdot \delta(r)\cdot(2/3) (où \vec{X_0} est un vecteur uniforme)

ce qui est moins évident (cf. moment magnétique).

  • En mécanique des fluides, il faut retenir encore quelques "évidences" supplémentaires, pour bien se familiariser avec l'analyse vectorielle avant de l'aborder.
  • Les formules précédentes sont dites de calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.). Il convient de les associer aux formules de calcul intégral : formule de Stokes, théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) d'Ostrogradski, etc.
  • Enfin, il convient de ne pas perdre de vue le caractère axial ou polaire des champ de vecteurs étudiés. Ce ne sont absolument pas les mêmes entités mathématiques !

Expressions des opérateurs en différentes coordonnées

Coordonnées cylindriques

\vec{\mathrm{grad}}f=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{u_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{u_\theta}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{u_z}
\mathrm{div}\vec{A}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(rA_r \right)+\frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial A_z}{\partial z}
\vec{\mathrm{rot}}\vec{A}=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\right)\vec{u_r} + \left(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\vec{u_\theta} + \frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right)\vec{u_z}
\Delta f=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

Coordonnées sphériques

\vec{\mathrm{grad}}f  =   \frac{\partial f}{\partial r}\vec{u_r}    + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{u_\theta}    + \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi} \vec{u_\varphi}
\mathrm{div}\vec{A}  =   \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2A_r)    + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial} {\partial \theta}(\sin\theta A_\theta)    + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}
\vec{\mathrm{rot}}\vec{A}  =   \frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta A_\varphi)-\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\right)\vec{u_r}    + \left(\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \varphi}-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_\varphi)\right)\vec{u_\theta}    + \frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right)\vec{u_\varphi}
\Delta f  =   \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)    + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)    + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
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