Harmonique sphérique
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On dit qu'une fonction est harmonique si son laplacien est nul.

Les polynômes harmoniques P(x,y,z), de degré l sont au nombre de 2l+1, et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques ( r,\theta,\varphi) à l'aide de (2l+1)combinaisons  :

r^l \cdot \ Y_{l,m}(\theta, \varphi), avec - \ l \ \le \ m \ \le \ + \ l

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une...) homogène est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé...) unité S² .

Définition : les fonctions sur la sphère obtenues par restriction de polynôme homogènes harmoniques sont des harmoniques sphériques.

Les harmoniques sphériques sont utilisées en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...), dès qu'intervient la notion d'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) (anisotropie) et donc de rotation ( groupe de symétrie orthogonal SO3) et que le laplacien entre en jeu :

  • en acoustique (L’acoustique est une branche de la physique dont l’objet est l’étude des sons et des ondes mécaniques. Elle fait appel aux phénomènes ondulatoires et à la mécanique...) (reconstitution de l'effet d'espace par plusieurs haut-parleurs)
  • en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) du potentiel newtonien (électrostatique, mécanique),gravimétrie ...
  • en géophysique (représentation du globe terrestre, en météorologie) et , en cristallographie pour la texture),
  • en physique quantique (développement d'une fonction d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans...), densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de...) du nuage (Un nuage est une grande quantité de gouttelettes d’eau (ou de cristaux de glace) en suspension dans l’atmosphère. L’aspect...) électronique, description des orbitales atomiques de l'atome (Un atome (grec ancien ἄτομος [atomos], « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un...) d'hydrogène)
  • etc.

Base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.) des harmoniques sphériques

parmi les (2l+1) fonctions, l'habitude a été prise de sélectionner une base orthomormale sur la sphère S² munie de la mesure

d\mu = \frac{1}{4\pi} sin \theta d\theta d\phi,

soit le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle...) ( hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.) en fait):

<f_1|f_2> = \frac{1}{4\pi} \int \int_{S^2} f_1^{*} f_2 sin \theta d\theta d\phi

Les harmoniques sphériques sont les solutions de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités qui...) aux valeurs propres [1] :

- \ \Delta \ Y_{l,m}(\theta, \varphi) \ = \ l(l+1) \ Y_{l,m}(\theta, \varphi)

où l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) laplacien s'écrit en coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, J² :

\Delta f(\theta, \varphi) \ ==J^2 f = \ \frac{1}{\sin \theta } \ \frac{\partial ~}{\partial \theta} \left(\sin \theta \ \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) \ + \ \frac{1}{\sin^2 \theta } \ \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
  • elles sont fonctions propres de l'opérateur J_3 = -i \frac{\partial}{\partial \phi} :

\ J_3 Y_{l,m} = m \cdot Y_{l,m}

Celles-ci, une fois normées sur la sphère sont alors notées usuellement Y_{l,m}(\theta, \varphi), où les angles (\theta, \varphi) sont les coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, et l et m sont deux nombres entiers tels que :

  • 0 \ \le \ l
  • - \ l \ \le \ m \ \le \ + \ l

Expression des harmoniques sphériques

On obtient alors l expression inscrite plus bas. Une manière simple de retenir cette expression est la suivante :

\ Y_{l,0} = P_l (cos \theta)\cdot \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}},

où Pl(x) est le polynôme de Legendre (Les polynômes de Legendre sont des solutions y de l'équation différentielle de Legendre :) de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) l.

On obtient ensuite :

J_+ Y_{l,m} = \sqrt{(l^2-m^2)+(l-m)}\cdot Y_{l,m+1}

\ J_+ = e^{i\phi}( \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{i}{tan \theta}  \cdot \frac{\partial}{\partial \phi}) est opérateur d' "échelle montante".

Pour m négatif , Y_{l,m} = (-1)^m \cdot Y_{l, -m}

  • Note : on pourra soi-même intuiter l'existence d'un opérateur d'échelle descendante, et vérifier la cohérence des résultats obtenus.
  • Souvent cette base se note |lm> :

toute fonction sur la sphère S² pourra donc s'écrire :

\ f( \theta, \phi) = f^{l,m}\cdot |lm> ( en convention de sommation d'Einstein)

les coefficients complexes f(l,m) jouant le rôle de composantes de f dans la base des |lm> ( on dit parfois coefficients de fourier généralisés).

  • en chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec...) ou en géophysique, il arrive qu on préfère utiliser les harmoniques sphériques "réelles" et des coefficients de fourier réels. Il n est pas difficile de s y adapter.

Recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension...) des harmoniques sphériques

On cherche les fonctions Y_{l,m}(\theta, \varphi) sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable :

Y_{l,m}(\theta, \varphi) \ = \ k \ P_{l,m}(\cos \theta) \ \mathrm{e}^{+ \, i \, m \, \varphi}

k est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation. L'équation aux valeurs propres devient une équation différentielle ordinaire du second ordre pour la fonction Pl,m(cosθ) :

- \ \frac{1}{\sin \theta } \ \frac{d ~}{d \theta} \left(\sin \theta \ \frac{d P_{l,m}(\cos \theta)}{d \theta}\right) \ + \ \frac{m^2}{\sin^2 \theta } \ P_{l,m}(\cos \theta)  \ = \ E_{l,m} \ P_{l,m}(\cos \theta)

On fait le changement de variable : \theta \mapsto x = \cos \theta qui conduit à l'équation différentielle généralisée de Legendre :

- \ \ \frac{d ~}{dx} \left[ (1-x^2) \ \frac{d P_{l,m}(x)}{dx}\right] \ + \ \frac{m^2}{(1-x^2) } \ P_{l,m}(x)  \ = \ E_{l,m} \ P_{l,m}(x)

Les valeurs propres de cette équation sont indépendantes de m :

E_{l,m}  \ = \ l \ (l+1)

Les fonctions propres Pl,m(x) se construisent à partir des polynômes de Legendre (Les polynômes de Legendre sont des solutions y de l'équation différentielle de Legendre :) Pl(x) qui sont les fonctions propres de l'équation différentielle ordinaire de Legendre, correspondant au cas m = 0 :

- \ \ \frac{d ~}{dx} \left[ (1-x^2) \ \frac{d P_{l}(x)}{dx}\right]   \ = \ l \ (l+1) \ P_{l}(x)

On a la formule génératrice d' Olinde Rodrigues :

P_{l}(x) \ = \ \frac{1}{2^l \ l !} \ \frac{d^l ~}{dx^l} \left[ x^2 - 1  \right]^l

On construit alors les fonctions propres Pl,m(x) par la formule :

P_{l,m}(x) \ = \ (-1)^m \ \left[ 1 - x^2 \right]^{m/2} \ \frac{d^m P_{l}(x)}{dx^m}

soit explicitement :

P_{l,m}(x) \ = \ \frac{(-1)^m}{2^l \ l !} \ \left[ 1 - x^2 \right]^{m/2} \ \frac{d^{l+m} ~}{dx^{l+m}} \left[ x^2 - 1  \right]^l

Remarque : il suffit en pratique de calculer les fonctions Pl,m(x) pour m \ \ge \ 0, car il existe une relation simple entre Pl,m(x) et P_{l,- \, m}(x) :

P_{l,- \, m}(x) \ = \ (-1)^m \ \frac{(l-m) \, ! }{(l +m) \, !} \ P_{l,m}(x)

Normalisation

Les harmoniques sphériques constituent une base orthonormale de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité S2 au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine....) où :

  • elles sont orthogonales pour le produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) suivant :
\iint_{S_2} d\Omega(\theta, \varphi) \ \overline{Y}_{l',m'}(\theta, \varphi) \ Y_{l,m}(\theta, \varphi) \ = \ \delta_{l, l'} \ \delta_{m, m'}
Dans cette formule, d\Omega(\theta, \varphi) représente l'angle solide (En mathématiques, en géométrie et en physique, un angle solide est l'analogue tridimensionnel de l'angle plan ou bidimensionnel.) élémentaire :
d\Omega(\theta, \varphi)\ = \ \sin \theta \ d\theta \ d\varphi
  • toute fonction f(\theta, \varphi) suffisamment régulière admet un développement en série :
f(\theta, \varphi) \ = \ \sum_{l=0}^{+ \infty} \ \sum_{m=-l}^{+l} \ a_{l,m} \ Y_{l,m}(\theta, \varphi)
où les coefficients complexes al,m se calculent par :
a_{l,m} \ = \ \iint_{S_2} d\Omega(\theta, \varphi) \ \overline{Y}_{l,m}(\theta, \varphi) \  f(\theta, \varphi)

Expression des harmoniques sphériques normalisées

Les harmoniques sphériques généralisées sont définies sur la sphère S3. La normalisation des harmoniques sphériques conduit à l'expression finale :

Y_{l,m}(\theta, \varphi) \ = \ \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi} \ \frac{(l-m)!}{(l+m)!} \ } \ P_{l,m}(\cos \theta) \ \mathrm{e}^{+ \, i \, m \, \varphi}

Propriétés

Les harmoniques sphériques formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de hauteur : plus la fréquence est élevée, plus la hauteur perçue est haute et inversement. Chaque voyelle se caractérise par son...) une base orthogonale sur la sphère unité, toute fonction continue ƒ(θ,φ) se décompose en une série d'harmoniques sphériques :

f(\theta , \varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} C_l^m \cdot Y_l^m (\theta , \varphi)

l' et m sont des indices entiers, Clm est un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace...) constant et souvent en mathématiques prend le nom de coefficient de Fourier généralisé relativement à cette base.

Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de Fourier pour les fonctions périodiques.

Ylm est la partie réelle d'une fonction complexe Ylm

Y_l^m(\theta , \varphi) = Re \left ( \underline{Y_l^m}(\theta , \varphi) \right )

Ylm est appelée " fonction associée de Legendre " et est définie par

\underline{Y_l^m}(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot e^{i m \varphi}

i est l'imaginaire et Plm est le polynôme de Legendre :

P_l^m (X) = \frac{(-1)^m}{2^l \cdot l!} \cdot (1-X^2)^{m/2} \cdot  \frac{\partial^{m+l}}{\partial X^{m+l}} \left [ (X^2 - 1)^l \right ]

On a donc

Y_l^m(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot \cos(m \varphi)

On a par exemple :

  • P_0^0(cos \theta) = 1 (Y00 est isotrope) ;
  • P_1^0(\cos \theta) = \cos \theta ;
  • P_1^1(\cos \theta) = - \sin \theta ;
  • P_3^1(\cos \theta) = \frac{3}{2} \cdot \sin \theta \cdot (-5 \cdot \cos^2 \theta + 1) ;

Les fonctions Ylm(θ,φ) présentent de plus en plus de symétries au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île couvre une superficie de 22 km². Elle est située dans la Municipalité de Skive.) et à mesure que l croît (sauf lorsque l = 0, puisque Y00 est une fonction constante et décrit donc une sphère).

Si l'on utilise la représentation sphérique

\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_l^m (\theta,\varphi)

alors la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa...) représentatrice est une sphère bosselée ; les bosses correspondent aux parties où Ylm est positif, les creux aux parties où Ylm est négatif. Lorsque θ et φ décrivent l'intervalle [0;2π[, Ylm(θ,φ) s'annule selon l cercles :

  • m cercles suivant un méridien (En géographie, un méridien est un demi grand cercle imaginaire tracé sur le globe terrestre reliant les pôles géographiques. Tous les points de la Terre situés sur un même méridien ont...), une iso-longitude (intersection entre un plan contenant Oz et la sphère) ;
  • l-m cercles suivant un parallèle, une iso-latitude (intersection entre un plan parallèle à Oxy et la sphère).

Le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) l est appelé le " degré ", m est appelé l'" ordre azimutal ". Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative.

Nous représentons ci-dessous quatre coupes de l'harmonique sphérique (On dit qu'une fonction est harmonique si son laplacien est nul.) Y32 :

Comme précédemment, on peut représenter la fonction par la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les...) en coordonnées sphériques

\rho = |Y_l^m(\theta,\varphi)|^2
Y_3^2
\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_3^2 (\theta,\varphi)
les parties en blanc (Le blanc est la couleur d'un corps chauffé à environ 5 000 °C (voir l'article Corps noir). C'est la sensation visuelle obtenue avec un spectre lumineux continu, d'où l'image que l'on en donne...) sont positives, en bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs primaires. Sa longueur d'onde est comprise approximativement entre 446 et 520 nm. Elle varie en luminosité du...) négatives
\rho = |Y_3^2(\theta,\varphi)|^2

Représentation graphique

On peut représenter les harmoniques circulaires de trois manières :

  • en coordonnées cartésiennes : y = Yl(θ) ;
  • en coordonnées polaires : r = r_0 + r_1 \cdot Y_l(\theta)
    avec r1 < r0, utilisé par exemple pour un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les...) circulaire ; la courbe coupe le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment...) de centre O et de rayon r0 lorsque la fonction s'annule ;
  • en coordonnées polaires : r = | Yl(θ) | 2
    utilisé par exemple pour les fonctions d'onde en physique quantique.
Trois premières harmoniques circulaires
Représentation cartésienne Représentations polaires (tracé manuel)
Y1
Y2
Y3
Représentations polaires, tracé exact

Harmoniques circulaires

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...)

Dans le plan, la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...) s'écrit :

f(\theta) = \sum_{l = 0}^{+\infty} C_l \cdot Y_l (\theta)

Y0 est une fonction constante, la courbe représentatrice en coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.) r = Y0(θ) est donc un cercle de rayon r0.

Yl est une fonction invariante par une rotation d'un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) de 1/(l+1) tour, c'est-à-dire que

Y_l \left (\theta + \frac{2 \pi}{l+1}\right ) = Y_l (\theta)

on dit que Yl admet une symétrie d'ordre l+1.

Polynômes de Legendre

Pour les harmoniques circulaires, on utilise des polynômes Pl de la fonction cosinus :

Yl(θ) = Pl(cosθ)

Les polynômes Pl utilisés sont les polynômes de Legendre1 :

P_l(X) = \frac{1}{2^l \cdot l!} \cdot \frac{\partial^l}{\partial X^l}\left [ (X^2 - 1)^l \right ]
(formule de Rodrigues (Rodrigues est la plus petite des trois îles de l’archipel des Mascareignes.), mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de...) français)

On obtient :

  • P0(cosθ) = 1 (fonction isotrope) ;
  • P1(cosθ) = cosθ ;
  • P_2(\cos \theta) = \frac{1}{4} \cdot (3\cdot \cos 2\theta +1) ;
  • P_3(\cos \theta) = \frac{1}{8} \cdot (5\cdot \cos 3\theta + 3 \cdot \cos \theta) ;

Harmoniques sphériques généralisées

Lorsque l'on considère l'orientation d'un objet dans l'espace, il faut faire appel à trois angles ; on utilise en général les angles d'Euler (ψ,θ,φ).

Considérons une fonction continue de l'orientation ƒ(ψ,θ,φ) ; comme précédemment, cette fonction peut être décomposée en harmoniques sphériques généralisées

f(\psi,\theta,\varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} \sum_{n = -l}^{+l} C_l^{mn} \cdot Y_l^{mn} (\psi,\theta,\varphi)

Clmn est une constante. La fonction Ylmn s'écrit :

Y_l^{mn}(\psi,\theta,\varphi) = e^{i m \varphi} \cdot P_l^{mn}( \cos \theta) \cdot e^{i n \psi}

Le polynôme Plmn est le polynôme de Legendre généralisé

P_l^{m n} (X) = \frac{(-1)^{l-m} \cdot i^{n-m}}{2^l \cdot (l-m)!}  \cdot \left [ \frac{(l-m)! (l+n)!}{(l+m)! (l-n)!} \right ]^{1/2} \cdot (1-X)^{-\frac{n-m}{2}} \cdot (1+X)^{-\frac{n+m}{2}} \cdot \frac{\partial^{l-n}}{\partial X^{l-n}} \left [ (1-X)^{l-m} (1+X)^{l+m} \right ]

Quand X décrit l'intervalle [-1;1], cette fonction Plmn est soit réelle, soit imaginaire pure. Y000(ψ,θ,φ) est la fonction isotrope (symétrie sphérique).

D'après la loi de composition (En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est aussi une application. C’est donc une application d’un...) des rotations, on a :

Y_l^{mn}(\psi_1 + \psi_2, \theta_1 + \theta_2, \varphi_1 + \varphi_2) = \sum_{s = -l}^{+l} Y_l^{ms}(\psi_1, \theta_1, \varphi_1) \cdot Y_l^{sn}(\psi_2, \theta_2, \varphi_2)

et en particulier

P_l^{mn}(\cos (\theta_1 + \theta_2)) = \sum_{s = -l}^{+l} P_l^{ms}(\cos \theta_1) \cdot P_l^{sn}(\cos \theta_2)

On a de manière générale :

P_l^{mn} = P_l^{nm} = P_l^{-m -n}

Par exemple pour l = 1 :

P_1^{mn}(\cos \theta)
m n
-1 0 +1
-1 \frac{1}{2} (1+\cos \theta) -\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta \frac{1}{2} (\cos \theta - 1)
0 -\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta cosθ -\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta
1 \frac{1}{2} (\cos \theta - 1) -\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{1}{2} (1+\cos \theta)

Pour l = 2 :

P_2^{mn}(\cos \theta)
m n
-2 -1 0 +1 +2
-2 \frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2 -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1) -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta) -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1) \frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2
-1 -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1) \frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1) -\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta \frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1) -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)
0 -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta) -\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta \frac{1}{2} (3 \cos^2 \theta -1) -\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)
1 -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1) \frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1) -\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta \frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1) -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)
2 \frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2 -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1) -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta) -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1) \frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2
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