On dit qu'une fonction est harmonique si son laplacien est nul.
Les polynômes harmoniques P(x,y,z), de degré l sont au nombre de 2l+1, et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques ( ) à l'aide de (2l+1)combinaisons :
, avec
Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) homogène est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) unité S² .
Définition : les fonctions sur la sphère obtenues par restriction de polynôme homogènes harmoniques sont des harmoniques sphériques.
Les harmoniques sphériques sont utilisées en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), dès qu'intervient la notion d'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil...) (anisotropie) et donc de rotation ( groupe de symétrie (Le groupe de symétrie d'un objet (image, signal, etc.) est le groupe de toutes les...) orthogonal SO3) et que le laplacien entre en jeu :
parmi les (2l+1) fonctions, l'habitude a été prise de sélectionner une base orthomormale sur la sphère S² munie de la mesure
,
soit le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) ( hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien...) en fait):
Les harmoniques sphériques sont les solutions de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) aux valeurs propres [1] :
où l'opérateur laplacien (L'opérateur laplacien, ou simplement le laplacien, est l'opérateur différentiel...) s'écrit en coordonnées sphériques (On appelle coordonnées sphériques divers systèmes de coordonnées de l'espace...) sur la sphère de rayon unité, J² :
Celles-ci, une fois normées sur la sphère sont alors notées usuellement , où les angles sont les coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, et l et m sont deux nombres entiers tels que :
On obtient alors l expression inscrite plus bas. Une manière simple de retenir cette expression est la suivante :
,
où Pl(x) est le polynôme de Legendre (Les polynômes de Legendre sont des solutions de l'équation différentielle de...) de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...) l.
On obtient ensuite :
où est opérateur d' "échelle montante".
Pour m négatif ,
toute fonction sur la sphère S² pourra donc s'écrire :
( en convention de sommation d'Einstein)
les coefficients complexes f(l,m) jouant le rôle de composantes de f dans la base des |lm> ( on dit parfois coefficients de fourier généralisés).
On cherche les fonctions sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable :
où k est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation. L'équation aux valeurs propres devient une équation différentielle ordinaire du second ordre pour la fonction Pl,m(cosθ) :
On fait le changement de variable : qui conduit à l'équation différentielle généralisée de Legendre :
Les valeurs propres de cette équation sont indépendantes de m :
Les fonctions propres Pl,m(x) se construisent à partir des polynômes de Legendre (Les polynômes de Legendre sont des solutions y de l'équation différentielle de Legendre :) Pl(x) qui sont les fonctions propres de l'équation différentielle ordinaire de Legendre, correspondant au cas m = 0 :
On a la formule génératrice d' Olinde Rodrigues :
On construit alors les fonctions propres Pl,m(x) par la formule :
soit explicitement :
Remarque : il suffit en pratique de calculer les fonctions Pl,m(x) pour , car il existe une relation simple entre Pl,m(x) et :
Les harmoniques sphériques constituent une base orthonormale de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité S2 au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) où :
Les harmoniques sphériques généralisées sont définies sur la sphère S3. La normalisation des harmoniques sphériques conduit à l'expression finale :
Les harmoniques sphériques formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de...) une base orthogonale sur la sphère unité, toute fonction continue ƒ(θ,φ) se décompose en une série d'harmoniques sphériques :
où l' et m sont des indices entiers, Clm est un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain...) constant et souvent en mathématiques prend le nom de coefficient de Fourier généralisé relativement à cette base.
Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de Fourier pour les fonctions périodiques.
Ylm est la partie réelle d'une fonction complexe Ylm
Ylm est appelée " fonction associée de Legendre " et est définie par
où i est l'imaginaire et Plm est le polynôme de Legendre :
On a donc
On a par exemple :
Les fonctions Ylm(θ,φ) présentent de plus en plus de symétries au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île...) et à mesure que l croît (sauf lorsque l = 0, puisque Y00 est une fonction constante et décrit donc une sphère).
Si l'on utilise la représentation sphérique
alors la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) représentatrice est une sphère bosselée ; les bosses correspondent aux parties où Ylm est positif, les creux aux parties où Ylm est négatif. Lorsque θ et φ décrivent l'intervalle [0;2π[, Ylm(θ,φ) s'annule selon l cercles :
Le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...) l est appelé le " degré ", m est appelé l'" ordre azimutal ". Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative.
Nous représentons ci-dessous quatre coupes de l'harmonique sphérique (En mathématiques, les harmoniques sphériques sont des fonctions harmoniques...) Y32 :
Comme précédemment, on peut représenter la fonction par la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) en coordonnées sphériques
les parties en blanc sont positives, en bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs...) négatives |
On peut représenter les harmoniques circulaires de trois manières :
Représentation cartésienne | Représentations polaires (tracé manuel) | |
---|---|---|
Y1 | ||
Y2 | ||
Y3 |
Dans le plan, la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) s'écrit :
Y0 est une fonction constante, la courbe représentatrice en coordonnées polaires (Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées...) r = Y0(θ) est donc un cercle de rayon r0.
Yl est une fonction invariante par une rotation d'un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) de 1/(l+1) tour, c'est-à-dire que
on dit que Yl admet une symétrie (De manière générale le terme symétrie renvoie à l'existence, dans une...) d'ordre l+1.
Pour les harmoniques circulaires, on utilise des polynômes Pl de la fonction cosinus :
Les polynômes Pl utilisés sont les polynômes de Legendre1 :
On obtient :
Lorsque l'on considère l'orientation d'un objet dans l'espace, il faut faire appel à trois angles ; on utilise en général les angles d'Euler (ψ,θ,φ).
Considérons une fonction continue de l'orientation ƒ(ψ,θ,φ) ; comme précédemment, cette fonction peut être décomposée en harmoniques sphériques généralisées
où Clmn est une constante. La fonction Ylmn s'écrit :
Le polynôme Plmn est le polynôme de Legendre généralisé
Quand X décrit l'intervalle [-1;1], cette fonction Plmn est soit réelle, soit imaginaire pure. Y000(ψ,θ,φ) est la fonction isotrope (symétrie sphérique).
D'après la loi de composition (En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est...) des rotations, on a :
et en particulier
On a de manière générale :
Par exemple pour l = 1 :
m | n | ||
---|---|---|---|
-1 | 0 | +1 | |
-1 | |||
0 | cosθ | ||
1 |
Pour l = 2 :
m | n | ||||
---|---|---|---|---|---|
-2 | -1 | 0 | +1 | +2 | |
-2 | |||||
-1 | |||||
0 | |||||
1 | |||||
2 |