Racine carrée
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

En mathématiques, la racine carrée d’un nombre x est un nombre dont le carré (la multiplication du nombre par lui-même) vaut x. Tout nombre réel positif possède une racine carré positive unique, appelée racine carrée principale et notée \sqrt{x}. Par exemple, la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) principale de 9 est 3, notée \sqrt{9}=3 car 3^2 = 3 \times 3 = 9. L'autre racine carrée de 9 (non principale) est -3.

D'après le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) fondamental de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.), l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer...) définissant la racine carrée d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) quelconque possède toujours deux solutions (qui peuvent être égales entre elles). Pour un nombre réel positif, ses deux racines carrées sont la racine carrée principale et la racine carrée négative (notée -\sqrt{x}). Les deux racines d'un nombre sont notées ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) \pm\sqrt{x}. Les concepts de nombre imaginaire et de nombre complexe ont été développés afin de donner une solution à la racine carrée d'un nombre négatif.

La racine carrée d'un nombre entier qui n'est pas un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et...) parfait est toujours un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut être exprimé par une fraction. Par exemple, \sqrt{2} ne peut être écrit sous la forme m/nm et n sont des nombres entiers. Pourtant, c'est la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) exacte de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à...) d'un carré de longueur 1.

Le signe \sqrt{\  } est appelé radical. Son origine serait une déformation de la lettre " r ", initiale du mot latin radix qui signifie racine. Il a été introduit en 1525 par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de compétences et de...) Christoph Rudolff.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Représentation graphique de la fonction racine.

L’application x\mapsto x^2 est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel...) \mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+ dont l’inverse est noté x\mapsto \sqrt{x}. Cette fonction s’appelle la fonction racine carrée. Géométriquement, on peut affirmer que la racine carrée de l’aire d’un carré du plan euclidien est la longueur de ses côtés.

Mise en garde : l’aire s’exprime dans le système universel en mètre carré (Le mètre carré (symbole m²) est l'unité d'aire du système international.) et les longueurs en mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis...). En prenant la racine carrée d’une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur...) exprimée en mètres carrés, on obtient une quantité exprimée en mètres. Les physiciens attachent une importance particulière à l’analyse des unités ; cet aspect est effacé en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...). Les nombres réels sont des constantes sans unité, et la racine carrée d’un nombre réel positif est un nombre réel positif.

Analyse

La fonction racine carrée vérifie les propriétés élémentaires suivantes valables pour tous nombres réels positifs x et y :

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}
\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} (sous la condition y\neq 0)
\sqrt{x^2} = \left|x\right| où |x| désigne la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) de x.

La fonction racine est continue en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) réel positif x (pour y proche de x, \sqrt{y} est proche de \sqrt{x}). De plus, elle est dérivable en tout réel strictement positif x, et n’est donc pas dérivable en x=0. En ce point (Graphie), la pente de la tangente est infinie ; la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) représentative admet en 0 une demi-tangente verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.).

La fonction dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...) de x\mapsto \sqrt{x} est donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) par :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sqrt{x}={1 \over 2\sqrt{x}}

La fonction racine est en réalité de classe C^{\infty} sur \R_+^*.

\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\sqrt{x}={(-1)}^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}} \frac{1}{x^{n-1/2}}

Mieux encore, la fonction racine est développable en séries entières. Le développement en série de Taylor de la fonction racine carrée au point 1 s’obtient immédiatement à partir de la formule du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton et coefficient binomial un binôme est un groupe de deux personnes, voir Équipe en binôme en sciences naturelles,...) généralisée :

\sqrt{1+h}=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}}h^n
=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n)! \over (n!)^2 (2n-1) 2^{2n}}h^n
=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {C_{2n}^n \over (2n-1)2^{2n}}h^n
= 1 + \frac{1}{2}h - \frac{1}{8}h^2 + \frac{1}{16} h^3 - \frac{5}{128} h^4 + \dots

pour tout réel |h| < 1.

Remarquons au passage que

{C_{2n}^n \over (2n-1)}=2\left[C_{2n-2}^{n-1}-C_{2n-2}^n \right]

et est donc un entier naturel[réf. nécessaire].

Construction géométrique de la racine carrée

AO = 1, OB = a, OH = x
AO = 1, OB = a, OH = x

La construction géométrique suivante se réalise à la règle et au compas et permet, étant donné un segment 0B de longueur a de construire un segment de longueur \sqrt{a} :

  • Construire le segment AB de longueur 1+a et contenant le point O avec AO = 1
  • Construire le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) C de diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment. Pour indiquer qu'une valeur...) AB.
  • Construire la droite D perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient...) à (OB) et passant par O.
  • Nommer H le point d’intersection du cercle C et de la droite D.

Le segment OH est de longueur \sqrt{a}.

La preuve consiste à appliquer le théorème de Pythagore :

  • Au triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est...) rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) HOB : OH2 + a2 = HB2
  • Au triangle rectangle ABH : HB2 = (a+1)2 - AH2
  • Au triangle rectangle AOH : AH2 = 12 + OH2

D’où OH2 + a2 = (a+1)2 - (12 + OH2), soit, après simplification OH2 = a, et donc OH = \sqrt{a}.

Cette construction a son importance dans l’étude des nombres constructibles.

Les racines carrées de nombres complexes

La racine carrée sur \R est définie seulement pour les nombres réels. Dans la résolution effective des équations polynomiales, l’introduction d’une racine carrée formelle d’un nombre négatif dans les calculs intermédiaires donnent des résultats exacts. C’est ainsi que le corps des nombres complexes a été introduit.

Pour tout nombre complexe non nul z, il existe exactement deux nombres complexes w tels que w2 = z. Pour des raisons de nature topologique, il est impossible de prolonger la fonction racine carrée \mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+ en une fonction continue f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} vérifiant f(z)2 = z.

On appelle détermination de la racine carrée sur un ouvert U de \mathbb{C} toute fonction continue f:U\rightarrow \mathbb{C} vérifiant f(z)2 = z. Cet ouvert U doit nécessairement éviter une demi-droite (Une demi-droite est comme son nom l’indique la moitié d’une droite, à savoir l’ensemble des points d’une droite à partir d'un point M de...) d’origine O. Par les propriétés des fonctions holomorphes, toute détermination d’une racine carrée est une fonction holomorphe (c'est-à-dire, développable en séries entières).

La détermination principale de la racine carrée est la fonction \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} ainsi définie : si z s’écrit sous forme trigonométrique z=r e^{i\varphi} avec -\pi < \varphi \le \pi\,, alors on pose \sqrt{z}=\sqrt{r} e^{\frac{i\varphi}{2}}. Cette détermination principale n’est pas continue en aucun point de la demi-droite des réels négatifs, et est holomorphe sur son complémentaire.

Quand le nombre est dans sa forme algébrique, on a :

\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x} {2}} \pm i\sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x} {2}}

où le signe de la partie imaginaire de la racine est le même que le signe de la partie imaginaire du nombre initial (si elle est nulle, on prend par convention le signe +).

Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination principale de la racine carrée dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe...), la relation \sqrt{zw}=\sqrt{z}\sqrt{w} devient fausse en général.

Extension des racines carrées en algèbre

Soient x et a deux éléments d’un anneau A, tels que x2=a. Un abus de langage est d’écrire x=\sqrt{a}. En toute rigueur, cela est inexact car a a deux antécédents par x\mapsto x^2, à savoir x et -x. Toutefois, cette notation est justifiée dans la mesure où x et -x peuvent jouer des rôles symétriques.

Les racines carrées de matrices et d’opérateurs

Si A est une matrice symétrique (ce qui exige que A soit une matrice carrée.) définie positive ou un opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) autoadjoint défini positif en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) finie, alors il existe exactement une matrice symétrique définie positive ou un opérateur autoadjoint défini positif B tel que B2 = A. On pose alors : √A = B.

Plus généralement, pour toute matrice normale (En algèbre linéaire, une matrice A est une matrice normale si elle vérifie l'égalité suivante: A.A * = A * .A, avec A * la matrice adjointe de A. Toutes les matrices hermitiennes sont normales.) ou tout opérateur normal en dimension finie A, il existe des opérateurs normaux B tels que B2 = A. Cette propriété se généralise à tout opérateur borné normal sur un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la...).

En général, il y a plusieurs tels opérateurs B pour chaque A et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d’une façon satisfaisante (continue par exemple). Les opérateurs définis positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes. Les articles sur la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) des opérateurs développent d’avantage ces aspects.

Extraction de racines carrées

Un premier algorithme

Nous allons exposer un algorithme qui va nous permettre d’extraire la racine carrée d’un nombre. Évidemment, si la racine carrée n’est pas un nombre décimal, alors l’algorithme ne se termine jamais, mais on s'approche autant qu'on peut le souhaiter du résultat : la suite des chiffres est exacte.

Nous commençons par séparer les chiffres du nombre par paires en commençant à partir de la virgule. Nous plaçons le nombre dont on veut extraire la racine en haut, de la même façon que lorsque nous effectuons une division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction "multiplication par ce...) selon la méthode classique ; la racine carrée sera inscrite au-dessus de ce nombre.

À chaque étape :

  • on abaisse la paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) de chiffres la plus significative non encore utilisée et on la place au côté d’un reste éventuel de l'étape précédente ;
  • soit r le résultat intermédiaire de la racine carrée obtenu précédemment (égal à zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une...) au début). On cherche le plus grand chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) x tel que le nombre y=(20r + x)x ne dépasse pas la valeur courante. On place ce nouveau chiffre x sur la ligne supérieure au dessus de la paire abaissée ;
  • on soustrait y de la valeur courante pour former un nouveau reste ;
  • si le reste est nul et qu’il n’y a plus de chiffre à abaisser alors l’algorithme se termine sinon on recommence.


Vérification :

 
 12,34 × 12,34 = 12×12 + 2×12×0,34 + 0,34×0,34. 
 = 144 + 8,16 + (0,32×0,32 + 2×0,02×0,32 + 0,02×0,02) 
 = 144 + 8,16 + 0,1024 + 0,0128 + 0,0004 
 = 152,2756 
 

Jusqu’au XIXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où...) on utilisait couramment cet algorithme en accélérant les calculs à l’aide d’un abaque formée d’un jeu de réglettes: les bâtons de Napier.

Bien que décrite ici pour des nombres écrits en base 10, la procédure fonctionne dans n’importe quelle base, base 2 comprise. Dans ce qui précède, 20 représente le double de la base, et en binaire ce nombre serait remplacé par 100.

La méthode de Héron

La méthode de Héron est un algorithme permettant d’approcher les racines carrées. Son importance est avant tout historique, elle a été développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la...) par les Babyloniens. Il fournit de bonnes approximations au prix de quelques divisions.


On peut avoir une approche plus algorithmique (L'algorithmique est l’ensemble des règles et des techniques qui sont impliquées dans la définition et la conception d'algorithmes, c'est à dire de processus systématiques de...) en simplifiant cette méthode par la formule de Newton r = \sqrt{N}\approx\frac{\frac{N}{r}+r}{2}


Calcul par la méthode du goutte à goutte

Les racines carrées, approximations entières

Les concepteurs de présentations de jeux vidéos (La vidéo regroupe l'ensemble des techniques, technologie, permettant l'enregistrement ainsi que la restitution d'images animées, accompagnées ou non de son, sur un support adapté à...) ont parfois besoin de construire des tables des parties entières des racines carrées des entiers naturels. Les premières sont données par:

CARRE 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .. 15 16 17 .. 24 25 26 27
RACINE 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 .. 3 4 4 .. 4 5 5 5

Une observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très...) des premiers termes montrent que la suite stationne d’entiers en entiers, et saute successivement d’un incrément de manière régulière. Plus précisément,

  • le 0 est répété 1 fois,
  • le 1, 3 fois
  • le 2, 5 fois
  • le 3, 7 fois
  • le 4, 9 fois

Le nombre de fois que l’entier n est répété est le n-ième entier impair. La preuve repose sur l’identité suivante:

(a+1)^2 -a^2 = 2a + 1\,

Formulaire

L’identité 2 = \sqrt{2+2} implique 2 = \sqrt{2+\sqrt{2+2}}, et par itérations successives:

2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}

Pour des raisons analogues, on obtient:

3 = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}} ; 4 = \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}} ; ...

Si r est un entier strictement supérieur à 1,

r = \sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}

Plus généralement, si p étant un nombre réel supérieur ou égal à 1,

\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\cdots}}}} = \frac{1+\sqrt{(4\,p+1)}}{2}

Si p est égal à 1, on obtient le nombre d'or:

\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}.

Le mathématicien Ramanujan obtint une formule alternative pour 3. Il partit de la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent sous l'action...)

(n+p)^2 = 1 + [n+(p-1)][n+(p+1)]\,

et construisit le produit n(n + p) en fixant p = 2

n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)(n+3)}

Il substitua le terme (n + 3)

n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}}

Ramanujan réitéra à l’infini en remplaçant maintenant n par 1 sans se préoccupper du passage à la limite et obtint la jolie formule:

3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots}}}}}

En fixant n et p à d’autres valeurs positives ou en élevant au carré une formule obtenue, on peut également construire d’autres belles formules comme:

4 = \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+\cdots}}}}}

En résumé, la relation suivante, itérée à l’infini:

n+2 = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}} = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)\sqrt{1 + (n+3)(n+5)}}}

permet donc d’exprimer tous les nombres entiers strictement supérieurs à 1 comme une itération infinie de racines carrées.

En particulier, en fixant n = 0 et toujours sans se préoccuper du passage à la limite

2 = \sqrt{1 + \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 7\sqrt{1 + 8\sqrt{1 + 9\sqrt{1 + \cdots}}}}}}}}}}

Le nombre π s’exprime sous la forme d’une itération infinie de racines carrées:

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right ) , où k est le nombre de racines carrées emboitées

Ou encore:

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )

Racines carrées des entiers de un à vingt

\sqrt {1} = 1
\sqrt {2} 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
\sqrt {3} 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
\sqrt {4} = 2
\sqrt {5} 2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
\sqrt {6} 2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
\sqrt {7} 2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
\sqrt {8} 2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
\sqrt {9} = 3
\sqrt {10} 3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
\sqrt {11} 3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
\sqrt {12} 3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
\sqrt {13} 3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
\sqrt {14} 3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
\sqrt {15} 3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
\sqrt {16} = 4
\sqrt {17} 4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
\sqrt {18} 4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
\sqrt {19} 4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
\sqrt {20} 4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

Nous remarquons, que seuls les carrés parfaits admettent pour racines carrées des rationnels.

Page générée en 0.351 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique