L'effet de peau ou effet pelliculaire (ou plus rarement effet Kelvin) est un phénomène électromagnétique qui fait que, à fréquence élevée, le courant a tendance à ne circuler qu'en surface des conducteurs.
Ce phénomène d'origine électromagnétique existe pour tous les conducteurs parcourus par des courants alternatifs. Il provoque la décroissance de la densité de courant (La densité de courant électrique est définie comme le courant électrique par unité de surface...) à mesure que l'on s'éloigne de la périphérie (Le mot périphérie vient du grec peripheria qui signifie circonférence. Plus...) du conducteur. Il en résulte une augmentation de la résistance du conducteur.
Cela signifie que le courant ne circule pas uniformément dans toute la section du conducteur. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) se passe comme si la section utile du câble était plus petite. La résistance augmente donc ce qui conduit à des pertes par effet joule (L'effet Joule est la manifestation thermique de la résistance électrique. Il se produit lors du...) plus importantes.
L'épaisseur de peau détermine, en première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...), la largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit...) de la zone où se concentre le courant dans un conducteur. Elle permet de calculer la résistance effective à une fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un...) donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...).
Pour un conducteur de section significativement plus grande que δ, on peut calculer la résistance effective à une fréquence donnée en considérant que seule la partie extérieure d'épaisseur δ contribue à la conduction. Par exemple pour un conducteur cylindique de rayon R, on aura une section utile de :
Pour un conducteur en cuivre (Le cuivre est un élément chimique de symbole Cu et de numéro atomique 29. Le cuivre...), on a les valeurs ci-dessous.
fréquence | δ |
---|---|
50 Hz | 9,38 mm |
60 Hz | 8.57 mm |
10 kHz | 0.66 mm |
100 kHz | 0.21 mm |
1 MHz | 66 µm |
10 MHz | 21 µm |
Soit I(r) le courant circulant dans l'épaisseur comprise entre la surface et le rayon r du cylindre, et I le courant total.
La fonction de répartition du courant ayant pour origine r = 0 la surface du conducteur est donnée par l'expression :
|
Si l'on représente graphiquement le module de la fonction de répartition du courant dans le conducteur cylindrique, c’est-à-dire , on constate que plus de 80% du courant circule dans l'épaisseur de peau, ce qui justifie l'approximation faite lors du calcul de la résistance effective du conducteur. Le dépassement de la valeur 1 qui apparaît sur la figure est due à la rotation de phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et...) de la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...) de courant qui peut s'inverser à certaine profondeur par rapport au courant total.
On considère un cylindre de rayon a et de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) infinie. On se place en régime harmonique, le cylindre étant parcouru par un courant alternatif (Le courant alternatif (qui peut être abrégé par CA, ou AC, pour Alternating Current...) sinusoïdal de pulsation ω. L'étude en régime harmonique se fait en prenant la transformée de Fourier (En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour...) des équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois...).
L'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) de Maxwell-Faraday en régime harmonique s'écrit :
L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :
dans lesquelles
Il faut adjoindre à ces équations la loi de magnétisation du matériau (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne...)
μ étant la perméabilité magnétique absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un...) du matériau, ainsi que la loi d'Ohm dans le conducteur, sous sa forme locale :
σ étant la conductivité électrique du matériau.
Faisant l'hypothèse que le conducteur est homogène, ces deux paramètres μ et σ sont constant dans le matériau, ce qui permet de multiplier l'équation de Maxwell-Faraday par la conductivité électrique
et de même, l'équation de Maxwell-Ampère peut être multipliée par la perméabilité magnétique
On se place dans un système de coordonnées cylindriques dont les variables seront notées (r, θ, z), z étant l'axe de symétrie (De manière générale le terme symétrie renvoie à l'existence, dans une...) du cylindre.
Dans ce système de coordonnées on fait les hypothèses suivantes sur la densité de courant :
Ces hypothèses amènent à écrire le vecteur densité de courant sous la forme suivante :
Si l'on prend le rotationnel (L'opérateur rotationnel est un opérateur différentiel aux dérivées...) de l'équation de Maxwell-Faraday, on trouve :
soit, en utilisant une relation d'analyse vectorielle (L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de...)
Étant donnée les hypothèses faites sur le vecteur densité de courant, on a , et donc
En coordonnées cylindriques, la composante axiale du Laplacien s'écrit :
En posant et en multipliant par r2, la densité de courant doit vérifier l'équation aux limites suivante :
Si l'on effectue le changement de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) , l'équation précédente se met sous la forme d'une équation de Bessel homogène :
Afin d'assurer la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction....) du courant en r = 0, on recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) des solutions de cette équation sous la forme J0(ξ), J0 étant la fonction de Bessel (Les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom...) de première espèce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type »...) d'ordre 0. Ainsi, on aura :
j0 étant une constante. On peut par ailleurs détailler la constante k
δ étant l'épaisseur de peau précédemment définie par ,
et de même
et donc, finalement, la densité de courant est donnée par
ber et bei étant les fonctions de Kelvin-Bessel d'ordre zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...).
Le courant total à travers la section est alors défini par :
Notons Ber et Bei les primitives suivantes, qui peuvent s'évaluer au moyen d'une série :
Avec ces notations, on peut alors exprimer le courant total sous une forme plus compacte
On peut calculer de même le courant circulant dans l'épaisseur comprise entre la surface et le rayon r :
et donc finalement la fonction de répartition du courant ayant pour origine r=0 la surface du conducteur est donnée par l'expression suivante :
L'effet de peau est généralement une nuisance, car il crée des pertes supplémentaires, des atténuations à fréquence élevée, etc. Une manière efficace d'en diminuer l'effet est de diviser le conducteur, c'est-à-dire de le remplacer par plusieurs conducteurs en parallèle isolés entre eux.
Dans l'idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....), chaque " brin " du conducteur ainsi formé devrait avoir un rayon inférieur à δ. Le fil de Litz est un type de conducteur qui pousse (Pousse est le nom donné à une course automobile illégale à la Réunion.) à l'extrême cette division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...).
Une autre technique consiste à plaquer le conducteur avec de l'argent (L’argent ou argent métal est un élément chimique de symbole Ag — du...). Lorsque la "peau" est entièrement dans la couche d'argent, elle bénéficie de ce que l'argent a la plus faible résistivité de tous les métaux. Cette méthode peut être un bon compromis pour un courant composé de deux composantes, l'une à basse fréquence qui circulera dans la totalité de la section, l'autre à très haute fréquence (La bande des très haute fréquence (very high frequency/VHF) est la partie du spectre...) qui circulera dans l'argent.
On peut enfin envisager des géométries de conducteurs permettant de limiter l'effet de peau. Dans les postes électriques haute tension (La tension est une force d'extension.), on utilise fréquemment des conducteurs tubulaires creux en aluminium (L'aluminium est un élément chimique, de symbole Al et de numéro atomique 13....) ou cuivre pour transporter de forts courants. L'épaisseur du tube est en générale de l'ordre de δ, ce qui permet une utilisation effective de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) du conducteur. En basse tension (Les normes européennes définissent le domaine de la basse tension (abréviation BT) comme les...) on utilise parfois des géométries plus complexes et permettant un meilleur comportement thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de...), mais l'idée est toujours d'avoir des épaisseurs de conducteur ne dépassant pas δ.
Dans un câble composé de deux conducteurs (aller et retour du courant), à haute fréquence il peut se produire un effet de proximité entre les deux conducteurs, improprement confondu avec l'effet de peau, qui fait que le courant a tendance à circuler seulement sur les parties des conducteurs en vis à vis.
Cet effet s'ajoute à l'effet de peau proprement dit. Il est totalement dépendant de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) de l'ensemble : section des conducteurs (circulaire, carrée, plate...), distance entre conducteurs, asymétrie (L'asymétrie est l’absence de symétrie, ou son inverse. Dans la nature, les crabes...) des conducteurs (par exemple fil parallèle à un plan de masse), etc. L'effet de proximité est pratiquement négligable sur des conducteurs espacés de plus de 20 cm.
Afin d'atténuer cet effet, il faut éloigner les conducteurs, mais cela a d'autres inconvénients, comme d'augmenter l'inductance (L'inductance d’un circuit électrique est un coefficient qui traduit le fait...).