Icosaèdre - Définition

On cherche à construire l'ensemble E, de centre le vecteur nul et dont les arêtes sont de longueur 2. On choisit comme base orthonormale (e₁, e₂, e₃), définie dans la boite déroulante précédente à la troisième proposition. Soit S₁ un point de E tel que sa première coordonnée soit la plus grande possible, et soit (a, b, c) les coordonnées de S₁.

• Quitte à permuter e₂ et e₃, les coordonnées de S₁ sont (a, 1, 0) et il existe trois autres points S₂, S₃ et S₄ de E, de coordonnées (a, -1, 0), (-a, 1, 0) et (-a, -1, 0) :

On sait qu'il est possible de multiplier chaque coordonnée d'un point de E par -1 sans quitter l'ensemble, on en déduit que les quatre points (a, ±b, ±c) sont dans E. Comme ces points sont les plus à droite de E, ils sont situés sur une même face. Aucune face ne contient 4 points, on en déduit que soit b soit c est nul. Quitte à permuter e₂ et e₃, on peut choisir c nul. L'arête à l'extrémité de l'axe de la rotation du groupe de symétrie, dirigée par e₁ possède pour extrémité S₁ de coordonnées (a, b, 0) et S₂ de coordonnées (a, -b, 0). Une arête a pour longueur 2, ce qui montre que b est égal à 1.

Comme il est possible de multiplier par -1 n'importe quelle coordonnée d'un sommet pour obtenir les coordonnées d'un nouveau sommet, les deux points (-a, ±1, 0) sont aussi des sommets.

• Les 4 points supplémentaires S₅ à S₈ de coordonnées respectives (1, 0, a), (-1, 0, a), (1, 0, -a) et (-1, 0, a) sont dans E :

Les points S₁ et S₂ définissent une arête partagée par deux faces du polyèdre. Soit S₅ le troisième sommet de la face se trouvant dans la zone des troisièmes coordonnées positives. Le point S₅ est dans le plan situé à équidistance entre S₁ et S₂. On en déduit que la deuxième coordonnée de S₅ est nulle. Soit (f, 0, g) ces coordonnées, on obtient comme précédemment 4 nouveaux sommets de coordonnées (±f, 0, ±g). Une fois connu f et g, il ne restera plus que 4 points à trouver.

Considérons le dernier sommet d'une face contenant l'arête d'extrémité (f, 0, g) et (a, 1, 0). Sa troisième coordonnée est strictement plus petite que celle de g. La multiplication des coordonnées par ±1 donne les sommets restants. On en déduit que les points S₅ et S₆, de troisième coordonnée égal à g sont les deux plus hauts du polyèdre. Ils forment une arête, ce qui montre que g est égal à 1. Le carré de la norme de S₅ est égal à 1 + f ². Il est encore égal au carré de la norme de S₁, c'est-à-dire 1 + a², car il existe une sphère de centre le vecteur nul, contenant tous les points de E. Comme a et f sont choisis positifs, a est égal à f. Ceci termine la démonstration de la proposition.

• La valeur de a est égale au nombre d'or :

La distance séparant S₁ de S₅ est égale à 2, ce qui donne l'équation suivante :

L'équation précédente admet une unique solution positive. Par définition, cette valeur est égale au nombre d'or.

• Les 4 points S₉ à S₁₂ de coordonnées respectives (0, φ, 1), (0, φ, -1), (0, -φ, 1), (0, -φ, -1) sont des 4 derniers points de E :

Considérons le point S₉ de deuxième coordonnée positive et troisième sommet de la face contenant l'arête [S₅, S₆]. Un argument de symétrie déjà utilisé montre que sa première coordonnée est nulle. Un autre argument déjà utilisé montre que sa deuxième coordonnée est maximale dans les sommets du polyèdre, ce qui montre que sa troisième coordonnée est égale à 1. Comme S₉ est sur la sphère dont le carré du rayon est égal à φ² + 1, et que sa deuxième coordonnée est positive, elle est égale à φ.

Il suffit de multiplier par -1 les différentes coordonnées de S₉ pour trouver les 3 autres.

Pour être rigoureux, il est nécessaire de montrer que l'enveloppe convexe des points de E forme bien un polyèdre régulier. Le calcul direct est un peu fastidieux, le paragraphe suivant offre une preuve alternative. L'analyse des représentations d'un groupe de 60 éléments montre l'existence d'un solide de Platon à 12 sommets et contenant comme faces des triangles équilatéraux et que les 12 sommets sont situés sur une sphère. Il montre aussi l'existence de 3 rotations d'un demi-tour et d'axes orthogonaux deux à deux. Comme les 12 points de E correspondent à l'unique solution, à une rotation près, vérifiant ces propriétés si la longueur d'une arête est égale à 2, son enveloppe convexe est nécessairement un icosaèdre régulier.

Les calculs des coordonnées des sommets montrent, par homothétie de rapport a/2, si a est un réel strictement positif, que les coordonnées d'un icosaèdre régulier convexe sont, dans un repère bien choisi :

• Le rayon de la sphère circonscrite est égal à r_ext, avec :

Les points de plus grandes normes de l'icosaèdre sont les sommets, le rayon r_ext est égal à la norme d'un sommet et :

• Le rayon de la sphère inscrite est égal à r_int, avec :

Les points de plus petites normes de la surface de l'icosaèdre sont les milieux des faces. Le point M de coordonnées données par les calculs suivant est le milieu d'une face :

Un calcul de la norme de M permet de finaliser la détermination :

• L'arête du cube circonscrit est égale à a.φ :

L'arête du cube circonscrit possède une longueur égale à la distance entre deux centres d'arêtes opposées de l'icosaèdre. Le point de coordonnées (a.φ/2, 0, 0) est le centre d'une arête. Le centre de l'arête opposée a pour coordonnées (-a.φ/2, 0, 0), ce qui permet d'en déduire le résultat.

• La surface du polyèdre est égale à 5.√3.a² :

Une face est un triangle équilatéral de côté a. Sa hauteur est donnée par l'application du théorème de Pythagore, on trouve √3.a/2. Sa surface est le produit de la moitié de la longueur d'un côté par la hauteur, on trouve √3.a²/4. La surface du polyèdre est composé de 20 faces, ce qui permet de trouver le résultat.

• Le volume du polyèdre est égal à V, avec :

L'icosaèdre se décompose en 20 cônes de sommet le centre du solide et de base une face de surface S_f. On en déduit la formule, si d désigne la distance entre le centre du solide et celui d'une face :

• Un icosaèdre occupe une fraction V/V_s du volume de la sphère circonscrite, avec :

Le rayon de la sphère circonscrite est égal à r_ext, une valeur déjà calculée. On en déduit le volume V_s de la sphère :

La connaissance du volume de l'icosaèdre permet de finir le calcul :

• Quotient isopérimétrique :

Cette question est traitée dans l'article Isopérimétrie.

L'article groupe alterné montre que le groupe des rotations d'un icosaèdre est le groupe alterné de degré 5. Cette démonstration assure au passage l'existence d'un solide de Platon à 12 sommets. Il reste encore à établir le groupe de symétrie, c'est-à-dire celui contenant non seulement les isométries directes, ou encore de déterminant égal à 1, mais toutes les isométries. Pour déterminer ce groupe, trois lemmes sont utiles :

• Soit H le groupe des rotations d'un polyèdre, le groupe symétrique G est soit H, soit un groupe d'ordre le double de celui de H :

Si le groupe symétrique ne contient pas d'isométrie de déterminant différent de 1, alors le groupe symétrique est H. C'est le cas, par exemple pour le groupe du tétraèdre régulier. Dans le cas contraire, la seule valeur possible du déterminant est -1. En effet, une isométrie est soit une rotation, son déterminant est égal à 1, soit une isométrie de déterminant égal à -1 (cf Automorphisme orthogonal).

Si le groupe G est différent de H, l'application de G dans {-1, 1}, qui à un élément du groupe associe son déterminant est un morphisme de groupe surjectif. L'ordre de l'image est égal à 2, le noyau est égal à H, ce qui montre que 2 que multiplie l'ordre de H, est égal à celui de G, ce qui termine la démonstration du lemme.

Si le groupe de symétrie contient une isométrie de déterminant égal à -1, deux cas se présentent. Soit il existe une isométrie de déterminant égal à -1 qui commutent avec tous les éléments de H, alors le groupe symétrique G est le produit direct de H et d'un groupe cyclique d'ordre 2, soit un tel élément n'existe pas et G est le produit semi-direct des deux groupes précédents. Une seule partie de cette propriété nous intéresse ici.

• Avec les notations précédentes, s'il existe une isométrie σ de déterminant égal à -1 et qui commute avec tous les éléments de H, alors G est isomorphe au produit direct de H et du groupe cyclique d'ordre 2 :

Il suffit de construire l'isomorphisme de groupe. On incarne le groupe cyclique d'ordre 2 avec le groupe C₂ égal à {0, 1}, équipé de l'addition de Z/2Z. Soit p l'ordre de σ, on remarque que σ^p est égal à l'identité et possède en conséquence un déterminant égal à 1 ce qui montre que p est un divisible par un multiple de 2. On note r la plus grande puissance de 2 qui divise p. Soit τ l'automorphisme égal à σ^p/r, cet automorphisme commute avec tous les éléments de H et possède un déterminant égal à -1, car l'entier p/r n'est pas divisible par 2. Soit φ l'application de HxC₂ qui à (h, n) associe le produit de τⁿ par h. On remarque que φ est bien un morphisme dont l'image est un groupe contenant à la fois H et τ qui n'est pas dans H car son déterminant est égal à -1. L'image est un sous-groupe de G dont l'ordre est strictement plus grand que la moitié de celui de G. Le théorème de Lagrange montre que l'image de φ est égale à G. L'application φ est un morphisme surjectif entre deux groupes finis de mêmes ordres, c'est un isomorphisme. L'existence de cet isomorphisme termine la démonstration.

Il ne reste plus qu'à trouver l'isométrie de déterminant égal à -1, qui commute avec tous les éléments de A₅ et qui laisse invariant l'icosaèdre. On démontre ici un lemme un peu plus puissant, aussi utile pour le paragraphe suivant. On appelle e₁ un vecteur de norme 1 situé dans l'axe d'une rotation ρ₁ d'un demi-tour. Cette rotation est choisie dans le groupe des rotations de l'icosaèdre. Une rotation d'un demi-tour est une rotation involutive. Le groupe alterné d'ordre 5 contient de telles involutions, elles sont toutes de la forme (ab)(cd), où a, b, c et d sont quatre éléments distincts pris dans l'ensemble {1, 2, 3, 4, 5}. Pour les notations, voir Groupe symétrique.

• Il existe une base orthonormale (e₁, e₂, e₃) telle que les rotations d'un demi-tour autour d'un axe dirigé par n'importe quel vecteur de la base soient toutes dans le groupe des rotations :

Cette propriété peut se démontrer en établissant que les coordonnées du paragraphe précédent définissent bien un icosaèdre. Il est aussi possible de procéder directement avec des techniques issues de la théorie des groupes.

Soit (ab)(cd), l'équivalent de ρ₁ dans le groupe alterné de degré 5. On remarque que l'élément (ac)(bd) est d'ordre 2 et commute avec (ab)(cd), on en déduit l'existence d'une rotation d'un demi-tour ρ₂ qui commute avec ρ₁. Montrons qu'un vecteur e₂, directeur de l'axe de ρ₂ et de norme 1, est orthogonal à e₁. Comme ρ₁ et ρ₂ commute, on a :

Autrement dit, ρ₁(e₂) est laissé stable par ρ₂, ce qui montre que ce vecteur est colinéaire à e₂ et de norme 1. Ce vecteur est soit égal à e₂ soit à -e₂. La valeur e₂ est impossible car ce vecteur serait colinéaire à e₁. Il existerait un vecteur directeur, à la fois de l'axe de ρ₁ et de celui de ρ₂, ce qui montre que ces deux rotations seraient confondus. Or ces deux éléments sont des copies de (ab)(cd) et de (ab)(cd), qui ne le sont pas. On en déduit que ρ₁(e₂) est égal à -e₂, ce qui montre que e₂ est perpendiculaire à e₁. Il est simple de vérifier que la composition de ρ₁ et de ρ₂ est une rotation d'un demi-tour, d'axe dirigé par un vecteur e₃, orthogonal à e₁ et e₂ et qui peut être choisi de norme 1.

Une fois les trois lemmes établis, il devient aisé de démontrer la proposition de la boite déroulante. Il suffit de montrer que l'homothétie de rapport -1 est élément du groupe de symétrie.

• Le groupe symétrique de l'icosaèdre régulier convexe est le produit direct du groupe alterné de degré 5 et du groupe cyclique d'ordre 2 :

Soit s un sommet quelconque de l'icosaèdre, montrons que -s est aussi élément de l'icosaèdre. Soit Δ l'axe d'une rotation d'un demi-tour, élément du groupe des rotations et tel que l'intersection de Δ et avec une arête contenant s, soit non vide. Le groupe contient une rotation d'un demi-tour d'axe orthogonal à Δ. L'image de s par cette rotation est -s.

L'application, qui à s associe -s laisse globalement invariant l'icosaèdre. C'est une isométrie du groupe symétrique, commutant avec tous les éléments du groupe des rotations et de déterminant égal à -1. Le deuxième lemme permet de conclure.