Polynôme
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Courbe polynomiale cubique
Courbe polynomiale cubique

En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article courbe de Bézier (Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales paramétriques décrites pour la première fois en 1962 par l'ingénieur français Pierre Bézier qui les utilisa pour concevoir des pièces d'automobiles...), décrivant un cas particulier de fonction polynôme).

En algèbre générale (L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, ou encore algèbre universelle est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et des relations entre elles. Le...), un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur...) d'indéterminée (En mathématiques, une indéterminée est le concept permettant de formaliser des objets comme les polynômes formels, les fractions rationnelles ou encore les séries formelles. On la désigne en général par une...) X sur un anneau unitaire est une expression de la forme :

a_0 + a_1 X^1 + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n \,

X est un symbole appelé indéterminée du polynôme.

Si, en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) appliquées, en analyse et en algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations...), il est fréquent de confondre le polynôme avec la fonction polynôme (En algèbre, une fonction polynôme, ou fonction polynomiale est définie comme étant une application associée à un polynôme à coefficients dans un anneau...), il n'en est pas de même en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures...) générale. Cet article traite principalement du polynôme formel.

Considérations historiques

L'histoire des polynômes (L'histoire des polynômes se confond avec celle de l'algèbre et celle de la résolution d'équations. Ils sont les outils privilégiés utilisés pour résoudre les problèmes tels que la...) est inséparable de celle de l'algèbre. Initialement créés pour résoudre des équations, ils se trouvent confondus avec les fonctions polynômes. Les coefficients sont très souvent des réels positifs mais la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre, appelé la...) est permise. Au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île couvre une superficie de 22 km². Elle est située dans la Municipalité de Skive.) et à mesure que les recherches s'approfondissent, il se révèle nécessaire de distinguer plus nettement le polynôme formel de la fonction polynôme. Cette évolution se fait conjointement avec le développement de l'algèbre générale. Les coefficients quittent alors le domaine des réels ou des complexes (polynômes à coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un...) dans un corps) pour appartenir à des anneaux commutatifs unitaires (comme \mathbb Z). Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de variables augmente et on est parfois amené à étudier des polynômes à 2, 3,.., n variables. L'étude des polynômes formels ouvre la porte à celle des séries formelles.

Polynômes formels

Un polynôme f est défini comme une expression formelle de la forme

f = a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \cdots + a_1 X + a_0 \,

où les coefficients a0,.., an sont éléments d'un anneau A, et X est un symbole formel appelé indéterminée du polynôme.

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) des polynômes à coefficients dans un anneau A, noté A[X], n'est autre que l'ensemble des suites d'éléments de A à support fini (suites nulles à partir d'un certain rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau...), appelées également suites presque nulles). Pour une construction de A[X], voir une construction de l'ensemble des polynômes.

Le degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) d'un polynôme est défini, si le polynôme est non nul (c'est-à-dire si ses coefficients ne sont pas tous nuls), par \max\{j\in\N ; a_j\ne 0_A\}, c'est le plus grand exposant (Exposant peut signifier:) de X devant lequel le coefficient n'est pas nul. On note généralement le dégré d'un polynôme P, deg(P) ou \operatorname{d^\circ}(P). Par convention, le degré du polynôme nul vaut -\infty.

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les suites de leurs coefficients sont égales. Les polynômes à coefficients dans A peuvent être ajoutés simplement par l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou...) des coefficients correspondants et multipliés en utilisant la distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z on a la propriété suivante : et de même à droite) de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par rapport à l'addition et les règles suivantes :

X a = a X   pour tous les éléments a de l'anneau A
X k X l = X k + l pour tous les entiers naturels k et l.

On peut alors vérifier que l'ensemble de tous les polynômes à coefficients dans l'anneau A forme lui-même un anneau. L' " anneau des polynômes à coefficients dans A " est désigné par A[X].

Si A est commutatif, alors A[X] est une algèbre sur A.

On peut engendrer l'anneau A[X] à partir de A en adjoignant un nouvel élément X à A et en exigeant que X commute avec tous éléments de l'ensemble A. Pour que l'ensemble obtenu devienne un anneau, toutes les sommes de puissances de X doivent être aussi adjointes à l'ensemble.

Fonctions polynômes

À tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) polynôme f de A[X], on peut associer une fonction polynôme d'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est l'ensemble des antécédents de f, c'est-à-dire l'ensemble des...) et d'arrivée A. On obtient la valeur de cette fonction pour un argument donné a en remplaçant partout le symbole X dans f par a. Les algébristes font une distinction entre un polynôme et une fonction polynomiale car, sur certains anneaux A (par exemple sur les corps finis), deux polynômes différents peuvent avoir la même fonction polynôme associée. Ceci n'est pas le cas sur le corps des réels ou des complexes et donc les " analystes " ne séparent pas les deux concepts.

Exemple : Sur le corps fini \mathbb Z /_{\displaystyle 2 \mathbb Z}, le polynôme X + X2 est non nul, mais sa fonction polynôme associée l'est.

Morphisme d'évaluation : Plus généralement, dans un polynôme f, on peut remplacer le symbole X par n'importe quel élément x_0 \, appartenant à une algèbre E sur A. L'application qui, à tout polynôme f dans A[X], associe l'élément f ( x_0 ) \, de E (défini comme ci-dessus), est appelée morphisme d'évaluation en x_0 \, de A[X] dans E. Un cas très fréquent est celui où A est un corps \mathbb K \,, et E l'algèbre des matrices n × n sur \mathbb K \,, ou bien l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) sur \mathbb K \,. On définit ainsi des polynômes de matrices et d'endomorphismes :

f ( M ) = a_n M^n + a_{n - 1} M^{n - 1} + \cdots + a_1 M + a_0 I_n \,
f ( u ) = a_n u^n + a_{n - 1} u^{n - 1} + \cdots + a_1 u + a_0 Id_{\mathbb K} \,

Divisibilité

En algèbre commutative, c'est-à-dire dans un anneau commutatif unitaire intègre, une attention particulière est portée sur l'étude de la divisibilité entre les polynômes. Des résultats plus forts existent quand les coefficients sont pris dans un corps.

Coefficients dans un anneau commutatif unitaire intègre

Si f et g sont des polynômes dans A[X], nous dirons que f divise g s'il existe un polynôme q dans A[X] tel que f.q = g.

On peut démontrer alors que " chaque racine engendre un facteur linéaire ", ou plus formellement que : si f est un polynôme dans A[X] et a est un élément de A tel que f ( a ) = 0, alors le polynôme ( X - a ) divise f. La réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est aussi vraie. Le quotient peut être calculé en utilisant la méthode de Horner (La méthode de Horner est utilisée dans le calcul polynomial, soit pour calculer la valeur d'une fonction polynomiale en un point, soit pour calculer le quotient d'un polynôme par...).

Certains polynômes aux propriétés particulières se détachent alors :

  • Polynôme inversible : un polynôme P est inversible s'il existe un polynôme Q tel que P.Q = 1.
Les seuls polynômes inversibles de A[X] sont les polynômes constants dont la constante est inversible dans A.
  • Polynôme irréductible : Polynôme dont les seuls diviseurs sont les éléments inversibles ou les polynômes U.P où U est un polynôme inversible.
Un polynôme unitaire du premier degré est irréductible (contre-exemple : 2X+2=2(X+1) n'est pas irréductible dans \mathbb Z[ X ]\,) .
Le polynôme   X 2 + 1   est irréductible dans \mathbb R[ X ] \,, mais pas dans \mathbb C [ X ] \,.
Si A est un anneau factoriel, alors tout polynôme se décompose de manière unique, à un inversible près, en produit de polynômes irréductibles. A[X] est donc aussi factoriel.
  • Polynôme premier : P est un polynôme premier si, pour tout Q et S tel que P divise Q.S , si P ne divise pas Q alors P divise S.
Dans le cas où A est factoriel, les notions de polynôme premier et polynôme irréductible sont équivalentes mais, dans les autres cas, on a seulement la propriété suivante: un polynôme premier est irréductible.
  • Polynôme primitif : Si A est un anneau factoriel, P est un polynôme primitif ssi le pgcd de ses coefficients est 1.

Dans un anneau commutatif unitaire, un polynôme est dit primitif lorsque l'anneau est le plus petit idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il est ainsi possible...) principal contenant les coefficients du polynôme.

  • Polynôme scindé : Un polynôme scindé est un polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré.
  X 2 + 1   est scindé sur \mathbb C \, (il se décompose en (X + i)(X - i)) mais pas sur \mathbb R \,.
  • Polynôme séparable : Polynôme qui peut s'écrire dans un sur-anneau intègre de A comme produit de polynômes du premier degré X - a i où tous les a i sont distincts.
  • Polynômes premiers entre eux : P et Q sont premiers entre eux si, pour tout polynôme S, si S divise P et Q alors S est inversible.
  • Polynôme unitaire : Polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1.
  • Polynôme cyclotomique : pour n \in \mathbb N^*, le n-ème polynôme cyclotomique est le produit des X − ζ avec ζ parcourant les racines n-èmes primitives de l'unité.

Coefficients dans un corps commutatif

Si K est un corps et f et g sont des polynômes dans K[X] avec g ≠ 0, alors il existe des polynômes q et r dans K[X] avec : f = q g + r et tels que le degré de r soit strictement plus petit que le degré de g. Les polynômes q et r sont uniquement déterminés par f et g. C'est ce que l'on appelle la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction...) euclidienne ou "la division suivant les puissances décroissantes" de f par g et cela montre que l'anneau K[X] est un anneau euclidien.

K[X] est donc un anneau euclidien (seul les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps sont des anneaux euclidiens) et cela permet alors de définir les notions de ppcm, de pgcd avec la mise en place d'un algorithme d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un...) de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique désigne...) de pgcd. On retrouve aussi l'identité de Bézout sur les polynômes premiers entre eux : si P et Q sont premiers entre eux, il existe deux polynômes U et V tels que UP + VQ = 1 .

Réductibilité des polynômes de ?[X]

Un polynôme primitif A de \mathbb{Z}[X] est irréductible si et seulement si, considéré comme polynôme de \mathbb{Q}[X], il est irréductible dans \mathbb{Q}[X]. De plus si A = B.C dans \mathbb{Q}[X], il existe un rationnel non nul \quad\lambda tel que \quad\lambda B et \quad \lambda ^{-1} C soient dans \mathbb{Z}[X]

Indications sur la démonstration:

  • Tout d'abord définissons l'application \quad\Gamma de \mathbb{Z} [X] dans \mathbb Z telle que pour \quad A[X] = \sum_{k=0}^n a_k X^{n-k} , \qquad \quad\Gamma (A) = \operatorname{pgcd}(a_0, a_1, ..., a_n).

On vérifiera que pour tous \quad A, B \in\mathbb Z[X] et tout \quad p \in \mathbb Z on a \quad \Gamma (pA)= |p|\Gamma (A) et \quad\Gamma (A.B)=\Gamma (A)\ \Gamma (B).

  • Supposons alors que \quad A = B.C, avec \quad\Gamma (A) = 1, \quad B\ et\ C étant des polynômes de \mathbb Q [X]. En multipliant \quad B\ et\ C par des entiers positifs convenables \quad\beta et \quad\gamma on obtient des polynômes \quad B', C' à coefficients entiers vérifiant \quad\beta \gamma\  A = B'\ C'.

Mais \quad\Gamma (B') \Gamma (C') =\Gamma (B'.C') = \beta\gamma\ \Gamma (A) = \beta\gamma.
En posant \quad B''=B'/\Gamma (B')\ et\ C''=C'/\Gamma (C'), on a les polynômes \quad B'' et \quad C''\in\mathbb Z [X] et l'égalité \quad\beta \gamma\ A = B'.C' entraîne \quad A = B''\ C''.

  • Le cas général où l'on n'a plus nécessairement \quad\Gamma (A) = 1 se déduit sans difficulté.

Remarque: Si \quad A, B, C \in \mathbb Z [X] vérifient \ A=BC et si \quad A est unitaire alors \quad B\ et\ C sont également unitaires (au signe près évidemment).

Constructions de nouvelles structures

Elles sont de deux types : construction d'extensions sur l'anneau A[X] ou extension sur l'anneau de départ.

Corps des fractions

Si A est un anneau commutatif unitaire intègre, il en est de même de son anneau de polynôme, on peut donc construire son corps des fractions, appelé corps des fractions rationnelles à coefficients dans A et d'indéterminée X.

Corps de rupture

La seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure...) structure conduit à tout le domaine des extensions.

Si A est un anneau commutatif unitaire intègre et si P est un polynôme premier de A[X] , on peut construire un anneau commutatif unitaire intègre contenant A dans lequel P possède une racine.

Si P est un polynôme irréductible (i.e. premier) de K[X], on peut construire un corps commutatif contenant K dans lequel P possède une racine. C'est le corps de rupture de P.

La stratégie (La stratégie - du grec stratos qui signifie « armée » et ageîn qui signifie « conduire » - est :) de construction nécessite la maîtrise (La maîtrise est un grade ou un diplôme universitaire correspondant au grade ou titre de « maître ». Il existe dans plusieurs pays et correspond à différents niveaux selon ceux-ci.) des anneaux et de leurs idéaux. On considère l'idéal I engendré par P . Il est premier si les coefficients sont dans un anneau, il est maximal si les coefficients sont dans un corps. On construit alors l'anneau quotient A[X]/I ou K[X]/I qui se trouve être un anneau commutatif unitaire intègre ou un corps.

On plonge alors A dans cet anneau AP par le morphisme injectif qui, à l'élément a, associe \dot a la classe de a. Et on note r la classe de X. Le calcul de P(r) revient à déterminer la classe de P. Comme P est dans l'idéal I, sa classe est nulle donc P(r) = 0.

Il est possible de réitérer ce processus jusqu'à obtenir un corps contenant toutes les racines. Ce corps s'appelle le corps de décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...).

Un corps est algébriquement clos quand, il est inutile de chercher des corps de rupture. C’est-à-dire quand tous les polynômes sont scindés. C'est le cas en particulier de \mathbb C.

Autres opérations sur les polynômes

Polynôme dérivé

Sur A[X], si P est le polynôme défini par P(X) = \sum_{i=0}^n a_iX^i, le polynôme dP défini par {\rm d}P(x) =  \sum_{i=1}^n i a_iX^{i-1} si n est non nul et par 0 sinon s'appelle le polynôme dérivé de P

L'application d de A[X] dans A[X] est un morphisme de modules et donc de groupes vérifiant d(PQ) = PdQ + QdP. À ce titre, c'est une application de dérivation, dans un anneau.

Une propriété importante du polynôme dérivé est le fait qu'une racine est multiple si et seulement si elle est aussi racine du polynôme dérivé. En effet, dire qu'une racine r est multiple pour un polynôme P c'est dire qu'il existe n strictement supérieur à 1 et un polynôme Q[X] tel que P[X] = (Xr)nQ[X]. Un simple calcul de dérivé montre alors que dP[X] = n(Xr)n − 1Q[X] + (Xr)ndQ[X].

Division suivant les puissances croissantes

Si K est un corps, pour tout entier n, et pour tout P et Q de K[X], Q(0) non nul, il existe deux polynômes T et R tels que P = TQ + XnR avec deg(T) < n. Cette décomposition est unique.

Exemple :

\left. \begin{matrix} 1&+3X&+2X^2&-7X^3 & & \\        &+2X&+4X^2&-7X^3 & &      \\        & &+2X^2&-3X^3 & &        \\        & & &-5X^3&+4X^4 &        \\        & & & &+9X^4&-10X^5        \end{matrix} \right| \begin{matrix} 1&+X&-2X^2& \\ 1&+2X&+2X^2&-5X^3 \\ \\ \\ \\ \end{matrix}

donc 1 + 3X + 2X^2 - 7X^3 = (1 + X - 2X^2)(1 + 2X + 2X^2 - 5X^3) + X^4(9 - 10X)\,

Cette opération est très utile dans la recherche d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle ou celle d'un développement limité (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0, est l'écriture d'une fonction sous la forme d'une fonction polynôme et...).

Polynôme à plusieurs indéterminées

Le cas de ces polynômes sera juste évoqué ici car l'anneau A[X, Y] peut tout simplement être considéré comme l'anneau des polynômes de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable...) Y à coefficients dans A[X].

Le degré du polynôme sera alors la plus grande valeur obtenue en faisant les somme des exposants de chaque indéterminée dans chaque monôme (À la fin XIXe siècle, le monôme était une manifestation étudiante sous la forme d'un cortège ou d'une procession en file indienne. Il est généralement...).

X^3 + 3XYZ^2 - 5Y + 7\,

est un polynôme de degré 4 à trois indéterminées

Parmi les polynômes à n indéterminées, l'étude des polynômes symétriques et de leur groupe de permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un changement de l'ordre...) est un domaine important de l'algèbre.

Ces polynômes sont également dits multivariés, par opposition aux polynômes univariés, à une seule variable.

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