Coordonnées homogènes
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

En mathématique, les coordonnées homogènes, introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif comme les coordonnées cartésiennes le font dans l'espace euclidien. Les coordonnées homogènes sont largement utilisées en infographie (L'infographie (aussi appelée faussement image de synthèse, terme qui se rapporte plus spécifiquement à la création d'images à vocation perspectiviste irréalisables hors de l'informatique)...) et plus particulièrement pour la représentation de scènes en trois dimensions (3D) car elles sont adaptées à la géométrie projective (La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des...) et elles permettent de caractériser les transformations de l'espace. La notation sous forme matricielle est plus particulièrement employée dans les bibliothèques de programmation (La programmation dans le domaine informatique est l'ensemble des activités qui permettent l'écriture des programmes informatiques. C'est une étape importante de la conception de logiciel (voire de matériel,...) graphique 3D telles que OpenGL (OpenGL (Open Graphics Library) est une spécification qui définit une API multiplate-forme pour la conception d'applications générant des images 3D (mais également 2D)....) et Direct3D (Direct3D est un composant de l'API Microsoft DirectX. Direct3D est utilisé uniquement dans les multiples systèmes d'exploitations Windows de Microsoft (Windows 95 et au-delà), ainsi que...).

Premières notations et interprétations

Les coordonnées homogènes (En mathématique, les coordonnées homogènes, introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif comme les coordonnées cartésiennes le font dans...) d'un point (Graphie) de l'espace projectif de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur,...) n sont écrites habituellement comme (x:y:z: ... :w), un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) n+1, autre que (0:0:0: ... :0). Deux ensembles de coordonnées qui sont proportionnels dénotent le même point d'espace projectif : pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre...) non-nul c pris du corps de base K, (cx:cy:cz: ... :cw) est équivalent à (x,y,z,w). Ainsi, ce système de coordonnées introduits des classes d'équivalences constituées de vecteurs colinéaires. Prenant l'exemple de l'espace projectif de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) trois, les coordonnées homogènes seront (x:y:z:w).

L'espace projectif construit permet de caractériser le plan à l'infini. Celui-ci est en règle générale défini par l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des points ou vecteurs ayant pour dernière coordonnée w = 0. Hors de ce plan nous pouvons utiliser (x/w, y/w, z/w) comme un système cartésien ordinaire; donc l'espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des...) complémentaire au plan à l'infini est coordonné dans une forme familière, avec une base correspondant à (1:0:0:1), (0:1:0:1), (0:0:1:1).

Si nous essayons de faire l'intersection de deux plans définis par les équations x = w et x = 2w alors nous dériverons d'abord w = 0 et ensuite x = 0. Cela nous indiquera que l'intersection est contenue dans le plan à l'infini et consiste de tous les points avec des coordonnées (0:y:z:0). C'est une ligne et en fait la ligne joignant (0:1:0:0) et (0:0:1:0). La ligne est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par l'équation :(0:y:z:0) = μ(1 − λ)(0:1:0:0) + μλ(0:0:1:0)µ est un facteur scalaire. Ce dernier peut être ajusté pour normaliser les coordonnés (0:y:z:0), donc éliminant l'un des deux degrés de liberté. Le résultat est un ensemble de points avec un seul degré de liberté (La notion de degré de liberté recouvre plusieurs notions en sciences et ingénierie :) comme cela est attendu d'une ligne.

Combinaisons linéaires de vecteurs décrits avec les coordonnées homogènes

Prenons une paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) de vecteurs A et B dans un espace en trois dimensions projectif, donc les coordonnées homogènes sont

\mathbf{A} : (X_A:Y_A:Z_A:W_A),
\mathbf{B} : (X_B:Y_B:Z_B:W_B).

On souhaite trouver leur combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire a \mathbf{A} + b \mathbf{B}a et b sont des coefficients qui peuvent être ajustés à volonté. Il y a trois cas à considérer:

  • les deux vecteurs dépendent d'un 3-espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :),
  • les deux vecteurs sont infinis,
  • un vecteur est affine et l'autre est infini.

Les coordonnées X, Y, et Z peuvent être considérés comme numérateurs, W comme un dénominateur. Pour ajouter des coordonnées homogènes il est nécessaire que le dénominateur soit commun. Autrement il est nécessaire de redimensioner les coordonnées jusqu'à ce que tous les dénominateurs soient communs.

Les deux points sont affines

Si chacun des deux vecteurs sont dans un 3-espace affine, alors W_A \ne 0 et W_B \ne 0. Leur combinaison linéaire est

a (X_A:Y_A:Z_A:W_A) + b(X_B:Y_B:Z_B:W_B) \
= (a X_A:a Y_A:a Z_A:W_A) + (b X_B:b Y_B:b Z_B:W_B) \
= \left( a {X_A \over W_A} : a {Y_A \over W_A} : a {Z_A \over W_A} : 1 \right) + \left( b {X_B \over W_B} : b {Y_B \over W_B} : b {Z_B \over W_B} : 1 \right)
= \left( a {X_A \over W_A} + b {X_B \over W_B} : a {Y_A \over W_A} + b {Y_B \over W_B} : a {Z_A \over W_A} + b {Z_B \over W_B} : 1 \right) .

Les deux vecteurs sont infinis

Si chacun des deux vecteurs est infini, alors WA = 0 et WB = 0. Leur combinaison linéaire est

a(XA:YA:ZA:WA) + b(XB:YB:ZB:WB) = (aXA:aYA:aZA:0) + (bXB:bYB:bZB:0)
= (aXA + bXB:aYA + bYB:aZA + bZB:0).

Nous obtenons un autre vecteur infini.

Un vecteur est affine et l'autre est infini

Le premier vecteur est dans un 3-espace affine, donc W_A \ne 0. Alors

a(XA:YA:ZA:WA) + b(XB:YB:ZB:0)
= a(0:0:0:0) + b(XB:YB:ZB:0),
= (bXB:bYB:bZB:0),

Nous obtenons un vecteur infini colinéaire au vecteur infini de la combinaison linéaire donc équivalent à ce dernier. Ceci signifie qu'un vecteur à l'infini est " dominant ", en théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) on dit que c'est un élément absorbant.

Notation matricielle

Un point M de l'espace peut être, si W=1, désigné par ses coordonnées homogènes en 3D sous la forme (X:Y:Z:1). Les coordonnées homogènes sont alors utilisées pour appliquer des transformations à un point 3D telles que les changements de repères, les rotations, les translations, les homothéties, les projections ainsi que les compositions de ces différents opérateurs de base. Ces transformations sont alors représentées sous la forme d'une matrice (mathématiques) de taille 4\times4. Nous allons à présent voir comment ces opérateurs de base sont exprimés.

Les translations

La matrice traduisant une translation dans l'espace écrite sous la forme d'un vecteur (tx:ty:tz) est sous la forme :
\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{matrix} \right]
En effet, si l'on calcule les coordonnées du point M' de coordonnées (sX':sY':sZ':s) qui est l'image de M par la translation citée, nous appliquons la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) matricielle suivante :
\left[ \begin{matrix} sX' \\ sY' \\ sZ'\\ s  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} X \\ Y \\ Z \\ 1  \end{matrix} \right] Ce qui nous donne bien : \begin{cases} X' = t_x + X \\ Y' = t_y + Y \\ Z' = t_z + Z \\ s = 1  \end{cases}

Calculer un vecteur

Soient deux points, appelés origine O et extrémité E, de coordonnées homogènes (Xo:Yo:Zo:Wo) et (Xe:Ye:Ze:We), les W n'étant pas nuls puisque les points sont affines, alors le 'vrai vecteur' du plan affine de dimension 3 qui permet de se translater du point O au point E a pour coordonnées : \left( \begin{matrix} \frac{X_e}{W_e}-\frac{X_o}{W_o}\\ \frac{Y_e}{W_e}-\frac{Y_o}{W_o}\\ \frac{Z_e}{W_e}-\frac{Z_o}{W_o} \end{matrix} \right).

Vérification  : L'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation...) matricielle de la translation appliquée au point O correspondant à ce vecteur s'écrit
\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \frac{X_e}{W_e}-\frac{X_o}{W_o} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{Y_e}{W_e}-\frac{Y_o}{W_o} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{Z_e}{W_e}-\frac{Z_o}{W_o} \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} X_o \\ Y_o \\ Z_o \\ W_o  \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} X_o+W_o(\frac{X_e}{W_e}-\frac{X_o}{W_o}) \\ Y_o+W_o(\frac{Y_e}{W_e}-\frac{Y_o}{W_o}) \\ Z_o+W_o(\frac{Z_e}{W_e}-\frac{Z_o}{W_o})\\ W_o  \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} X_e (\frac{W_o}{W_e}) \\ Y_e (\frac{W_o}{W_e}) \\ Z_e (\frac{W_o}{W_e})\\ W_o  \end{matrix} \right) \equiv \left( \begin{matrix} \frac{X_e}{W_e} \\ \frac{Y_e}{W_e} \\ \frac{Z_e}{W_e}\\ 1  \end{matrix} \right)   \equiv \left( \begin{matrix} X_e \\ Y_e\\ Z_e\\ W_e \end{matrix} \right)

La translation appliquée nous permet de retrouver le point d'extrémité E du vecteur.

Relation de Chasles

La relation de Chasles est d'une lecture immédiate sous cette forme :

\left( \begin{matrix} \frac{X_b}{W_b}-\frac{X_a}{W_a}\\ \frac{Y_b}{W_b}-\frac{Y_a}{W_a}\\ \frac{Z_b}{W_b}-\frac{Z_a}{W_a} \end{matrix} \right)  + \left( \begin{matrix} \frac{X_c}{W_c}-\frac{X_b}{W_b}\\ \frac{Y_c}{W_c}-\frac{Y_b}{W_b}\\ \frac{Z_c}{W_c}-\frac{Z_b}{W_b} \end{matrix} \right)  = \left( \begin{matrix} \frac{X_c}{W_c}-\frac{X_a}{W_a}\\ \frac{Y_c}{W_c}-\frac{Y_a}{W_a}\\ \frac{Z_c}{W_c}-\frac{Z_a}{W_a} \end{matrix} \right).

De même, avec cette notation, si l'on considère quatre points A, B, C et D, la commutativité de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les...) des vecteurs et le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) du croisement des équipollences sont évidents.

Les rotations

Une représentation dans l'espace peut être aussi notée sous forme matricielle. L'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) sera de la forme : \left[ \begin{matrix} R_{3\times3} & 0_{3\times1} \\ 0_{1\times3} & 1  \end{matrix} \right]
R_{3\times3} désigne ici une matrice de rotation telle qu'elle est habituellement définie dans l'espace. Si l'on prend un repère de l'espace (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), nous obtenons les rotations suivantes autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis,...) des axes principaux :
Rotation d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) α autour de \vec{i} : \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos( \alpha ) & -\sin (\alpha)  & 0 \\ 0 & \sin( \alpha ) & \cos ( \alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]
Rotation d'angle β autour de \vec{j} : \left[ \begin{matrix} \cos(\beta) & 0 & \sin(\beta) & 0 \\ 0 & 1 & 0  & 0 \\ -\sin( \beta ) & 0 &\cos ( \beta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]

Rotation d'angle γ autour de \vec{k} : \left[ \begin{matrix} \cos(\gamma) & - \sin(\gamma) & 0 & 0 \\ \sin(\gamma) &  \cos(\gamma) &  0  & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]

Les homothéties

Une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est...) sera représentée par la matrice : \left[ \begin{matrix} h_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & h_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & h_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]
Si les facteurs d'échelle hx,hy et hz sont égaux alors il s'agit d'un homothétie au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) strict du terme. Cette formalisation permet d'appliquer différents facteur d'échelle suivant différentes directions de l'espace (dilatation anisotropique).

Les projections

Il existe diverses formulations des projections, suivant le type de projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) considéré. Nous ne verrons ici que les formulations les plus courantes rencontrées en infographie 3D.

La projection perspective

Exemple de projection perspective
Exemple de projection perspective

Nous prendrons ici le cas d'une projection sur un plan (\vec{i},\vec{j}) situé à une distance f de l'origine suivant la direction \vec{k}. Les points projetés sont ici sur la droite passant par l'origine et le point à projeter. La matrice est alors exprimée sous la forme suivante :
\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1/f & 0   \end{matrix} \right]
En effet, si l'on calcule les coordonnées du point projeté M' de coordonnées (sX':sY':sZ':s1) qui est l'image de M par la projection citée, nous obtenons :
\begin{cases} sX' = X \\ sY' = Y \\ sZ' = Z \\ s = Z/f  \end{cases} ce qui donne, après normalisation des coordonnées : \begin{cases} X' = fX/Z \\ Y' = fY/Z \\ Z' = f \\ \end{cases}
Ceci est conforme puisque la troisième coordonnée du point devrait être f, ce qui est le cas.

Comme la troisième coordonnée est toujours connue (égale à f), il est possible de déterminer directement les coordonnées 2D sur le plan lui-même. Nous avons alors le passage de coordonnées homogènes 3D à des coordonnées homogènes 2D. Si l'on prend M' de coordonnées sur le plan (sx',sy',s) image de M de coordonnées (X,Y,Z,1) alors la relation liant (Un liant est un produit liquide qui agglomère des particules solides sous forme de poudre. Dans le domaine de la peinture, il permet au pigment d'une peinture de coller sur le support, il...) les deux points sera écrite sous la forme :
\left[ \begin{matrix} sx' \\ sy'\\ s \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} X \\ Y\\ Z\\ 1\\ \end{matrix} \right] Ce qui est équivalent au système \begin{cases} sx' = fX \\ sy' = fY \\ s = Z \\ \end{cases} soit, après normalisation : \begin{cases} x' = fX/Z \\ y' = fY/Z \\ s = Z \\ \end{cases}
Nous retrouvons alors les mêmes valeurs que précédemment ( x' = X' et y' = Y'). Nous avons donc une formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques,...) qui donne directement les coordonnées du point projeté sur le plan considéré.

Projection orthographique

Exemple de projection orthographique
Exemple de projection orthographique

Dans ce cas, les points sont projetés suivant une direction déterminée sur un plan situé à une distance f de l'origine suivant la direction \vec{k}. La projection orthographique est parfois interprétée comme étant une projection perspective dans laquelle le point de perspective est rejeté à l'infini. La matrice de transformation associée est alors la suivante :
\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & f\\ 0 & 0 & 0 & 1   \end{matrix} \right]

Application au changement de repère isométrique

Les coordonnées homogènes prennent tout leur intérêt dans ce cas précis. En effet, cette notation permet de traduire les changements de repère. Si le nouveau repère est translaté par rapport à l'ancien d'un vecteur t_{3\times1} = (t_x:t_y:t_z) et voit son orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) dans le même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) changée, la rotation étant décrite par la matrice R_{3\times3}, alors les coordonnées du point M notées (sX',sY',sZ',s) dans le nouveau repère seront liées aux coordonnées (X,Y,Z,1) exprimées dans l'ancien repère par la relation :

\left[ \begin{matrix} sX' \\ sY' \\ sZ'\\ s  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}  &  &  &  \\  & R_{3\times3} &  & t_{3\times1} \\  &  &  &  \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} X \\ Y \\ Z \\ 1  \end{matrix} \right]

La transformation inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) sera donnée comme suit, où R_{3\times3}^T représente la matrice transposée de R_{3\times3} :

\left[ \begin{matrix} sX \\ sY \\ sZ\\ s  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}  &  &  &  \\  & R_{3\times3}^T &  & -R_{3\times3}^Tt_{3\times1} \\  &  &  &  \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} X' \\ Y' \\ Z' \\ 1  \end{matrix} \right]
Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs...)
Espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir...) | Base | Dimension | Matrice | Application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui...) | Déterminant | Trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la...) | Rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la...) | Théorème des facteurs invariants | Réduction d'endomorphisme | Réduction de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse...) | Décomposition de Dunford (La décomposition de Dunford s'inscrit dans la problématique de la réduction d'endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel en une somme directe de...) | Valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels...) | Polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme...) | Forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle...) | Espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques...) | Orthogonalité | Produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet de...) | Produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans...) | Polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que...) d'endomorphisme | Polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme, comme...) | Tenseur | Pseudovecteur | Covecteur | Algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie des...)
Page générée en 0.018 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique