Valeur propre, vecteur propre et espace propre - Définition et Explications

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Introduction

Fig. 1. Cette application linéaire déforme la statue de David. Les vecteurs bleus ont pour images les vecteurs verts. Ils gardent la même direction, ce sont des vecteurs propres. La valeur propre associée est proche de -1/2. Dans ce cas particulier l'espace propre est l'espace entier.

En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte...) d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression constante ou...), multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique vecteurs propres, réunis en un espace propre. Le graphique de la figure 1 illustre ces notions.

La connaissance des vecteurs et valeurs propres offre une information clé sur l'application linéaire considérée. Il existe de plus de nombreux cas où cette connaissance caractérise totalement l'application linéaire.

Ce concept appartient à l'origine à une branche des mathématiques appelée algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les...). Son utilisation, cependant, dépasse maintenant de loin ce cadre. Il intervient aussi bien en mathématiques pures qu'appliquées. Il apparaît par exemple en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) dans l'étude des formes quadratiques, ou en analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été...). Il permet de résoudre des problèmes appliqués aussi variés que celui des mouvements d'une corde vibrante, le classement des pages web par Google (Google, Inc. est une société fondée le 7 septembre 1998 dans la Silicon Valley en Californie par Larry Page et Sergey Brin, auteurs du moteur de recherche Google. Depuis 2001, Eric Schmidt en est le PDG (CEO). La...), la détermination de la structure de l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé...) en théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont fait un important champ d'étude, tant théorique qu'expérimental.) générale, ou l'étude de l'équation de Schrödinger (L'équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fondamentale en physique quantique non-relativiste. Elle...) en mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à...).

  • Pour un article synthétique sur le sujet ne traitant que du contenu mathématique, voir : Valeur propre (synthèse)

Histoire

Genèse

René Descartes (René Descartes, né le 31 mars 1596 à La Haye en Touraine (localité rebaptisée Descartes par la suite) et mort à Stockholm dans le palais royal de Suède le...) associe algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon...) et géométrie et démarre l'algèbre linéaire.

S'il est habituel de prendre pour acte de naissance officiel de l'algèbre la publication du livre d'Al-Khuwārizmī , qu'il décrit lui même comme « un abrégé englobant les plus fines et les plus nobles opérations du calcul », le domaine linéaire doit attendre le XVIe siècle pour dépasser le simple cadre de quelques équations.

L'association entre la géométrie et l'algèbre, à travers la notion de coordonnées, fut introduite en 1637 par René Descartes et Pierre de Fermat (Pierre de Fermat, né dans la première décennie du XVIIe siècle, à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et mort le 12 janvier 1665 à...) . Le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui...) est donné pour l'apparition de premiers résultats d'algèbre linéaire comme le calcul d'un déterminant. Ces résultats serviront par la suite d'outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus...) d'analyse des valeurs propres. Cependant, les mathématiques de cette époque ne disposent pas encore des notions indispensables de l'algèbre linéaire, comme une géométrie correspondant à notre espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.), où les éléments sont définis par leurs opérations.

Le début du XIXe siècle voit l'apparition d'outils importants pour la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) des valeurs propres. En 1799, Carl Friedrich Gauss (Johann Carl Friedrich Gauß (traditionnellement transcrit Gauss en français) (30 avril 1777 — 23 février 1855) est un mathématicien, astronome et physicien allemand. Doté...) démontre la clôture algébrique (En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.) des nombres complexes. Des espaces vectoriels plus vastes sont étudiés. Gauss formalise le problème de la résolution d'un système d'équations linéaires avec la méthode du pivot en retrouvant une méthode décrite par un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale....) chinois Liu (Liu (chinois : 柳宿, pinyin : liǔ xiù) est une loge lunaire de l'astronomie chinoise. Son étoile référente (c'est-à-dire celle qui...) Hui (IIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et...) après J.C) près de 1600 ans auparavant.

Des problématiques où les valeurs propres représentent la bonne approche sont étudiées. Joseph Fourier étudie une solution de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...) de propagation à l'aide d'un outil que l'on appellera plus tard une base de vecteurs propres. Enfin en 1834, Hamilton utilise, un polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes...) pour trouver ce que l'on appelle maintenant les valeurs propres associées à l'endomorphisme d'une équation différentielle linéaire issue de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou transmet un mouvement,...). Cependant, l'absence de formalisation suffisante de la notion d'espace vectoriel empêche l'apparition claire du concept.

Origine du mot

L'Allemand Hilbert donne la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés...) anglosaxone : eigenvalue provenant de Eigenwert.

La formalisation algébrique d'un espace vectoriel apparait vers le milieu du siècle. Arthur Cayley initie l'étude des espaces vectoriels de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) n et de leurs applications linéaires. Grassmann formalise le concept. Même si, en tant que mathématicien il est peu reconnu à cette époque, dès 1845, des idées analogues sont reprises par Cauchy et publiées sous une forme plus définitive neuf ans plus tard. Sylvester en collaboration avec Cayley utilise pour la première fois le terme de matrice en 1850. Il utilise la notion de valeur propre dans le cas des formes bilinéaires pour la résolution de problèmes sur le principe mécanique de l'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne...) deux ans plus tard. La notion de matrice est finalement définie de manière générale et abstraite par Cayley en 1858.

Le Français Jordan donne la formulation française : valeur propre.

Jordan publie un livre définitif sur les endomorphismes en dimension finie et pour une large famille de nombres, dont les complexes et réels. Jordan analyse le rôle des vecteurs propres et de leur exact domaine d'application dans une théorie maintenant connue sous le nom de réduction d'endomorphisme. La finalité de son texte n'est pas l'algèbre linéaire mais la théorie des groupes et de leurs représentations. La théorie est ainsi présentée dans le contexte des corps finis. Il termine le chapitre des valeurs propres dans le cas de la dimension finie et des corps de nombres algébriquement clos. La terminologie française provient des travaux de Jordan.

Le début du XXe siècle apporte un regard nouveau sur la géométrie. La résolution de l'équation intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle...) amène certains mathématiciens à considérer une géométrie sur les ensembles de fonctions. Frigyes Riesz utilise des systèmes orthogonaux de fonctions. Erhard Schmidt soutient sa thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est l'affirmation ou la prise de position d'un locuteur, à l'égard du...) sur un sujet analogue et sous la direction de David Hilbert (David Hilbert (23 janvier 1862 à Königsberg en Prusse-Orientale – 14 février 1943 à Göttingen, Allemagne) est un mathématicien allemand. Il est souvent considéré comme un des...) . Les travaux de Hilbert apportent à la notion de valeur propre une nouvelle profondeur. Ils correspondent à la formalisation de la démarche intuitive qui avait amené Fourier à la résolution de l'équation de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !). Les ensembles de fonctions deviennent un espace vectoriel dont la géométrie est calquée sur celle d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à...). L'équation intégrale devient l'analogue d'un système linéaire et l'application linéaire prend le nom d'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.). Une nouvelle branche des mathématiques est née : l'analyse fonctionnelle. Elle devient rapidement le cadre général de résolution d'une large famille de problèmes mathématiques, en particulier l'analyse, les équations différentielles ou les équations aux dérivées partielles. Les valeurs propres sont un des outils essentiels à la résolution de ces problèmes. Elles s'avèrent indispensables en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un...) pour des théories comme la mécanique quantique ou la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une théorie...). Pendant une longue période les anglosaxons utilisent indifféremment les termes de proper value et eigenvalue, provenant respectivement de la traduction des textes de Jordan et de Hilbert. Le vocabulaire est maintenant fixé au bénéfice de la deuxième expression.

Valeur propre et XXe siècle

À la fois dans le contexte de la dimension finie et pour le cas général, le XXe siècle voit un développement massif (Le mot massif peut être employé comme :) de ces théories. Le cas de dimension finie subit deux évolutions : cette théorie est généralisée à d'autres ensembles de nombres que les réels ou les complexes. De plus, des mathématiciens comme Issai Schur, A. Krilov, W. E. Arnoldi ou N. Dunford développent quantités d'algorithmes pour permettre la détermination des valeurs propres. Le cas général est cependant le plus étudié. Il ouvre la voie à une branche importante tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) au long de ce siècle, l'analyse fonctionnelle. La théorie des valeurs propres est alors généralisée à la théorie spectrale. Paul Dirac (Paul Adrien Maurice Dirac (8 août 1902 à Bristol, Angleterre - 20 octobre 1984 à Tallahassee, Floride, États-Unis) est un physicien et...) et John von Neumann (John von Neumann (né Neumann János, 1903-1957), mathématicien et physicien américain d'origine hongroise, a apporté d'importantes contributions tant en mécanique quantique, qu'en analyse...) étudient ce concept dans un cadre servant de modélisation à la physique. Israel Gelfand, Mark Naimark et Irving Segal appliquent ces concepts à des univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) plus vastes, les C* Algèbres. Sur la base de résultats de géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement, s'est d'abord intéressé à des objets géométriques (courbes, surfaces...) dont les...) trouvés par Alexandre Grothendieck (Alexandre Grothendieck, né le 28 mars 1928 à Berlin, est un mathématicien apatride qui a passé la majorité de sa vie en France. Lauréat de la médaille Fields en 1966, refondateur de...), Alain Connes (Alain Connes est un mathématicien français, né le 1er avril 1947 à Draguignan (Var).) développe un cas particulier de C* Algèbres, les géométries non commutatives. La théorie spectrale reste encore un large champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'investigations mathématiques, et nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de problèmes sont toujours ouverts dans ce domaine.

Les valeurs propres, et dans son cas le plus général, la théorie spectrale ouvrent de nombreux champs d'applications à la fois théoriques et appliqués. En mathématique, cette approche permet par exemple la résolution d'équations différentielles, ou d'équations aux dérivées partielles. La physique utilise très largement la théorie spectrale : elle sert de cadre général à la mécanique quantique et permet par exemple l'étude de l'équation de Schrödinger. Les solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) sont des vecteurs propres. Les théories physiques de la fin du XXe siècle comme les supercordes utilisent largement les notions de spectre dans des cadres mathématiques avancés, par exemple les géométries non commutatives. Les sciences de l'ingénieur (« Le métier de base de l'ingénieur consiste à résoudre des problèmes de nature technologique, concrets et souvent complexes, liés à la conception, à la réalisation et à la mise en œuvre...) ne sont pas en reste, même si elles se cantonnent en général à une approche de dimension finie. Elles utilisent quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou...) d'algorithmes issus des calculs de valeurs propres et vecteurs propres. Cette approche permet de résoudre de multiples problèmes tirés par exemple de la mécanique statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :) ou dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :), des systèmes électriques et même dans d'autres secteurs comme l'économie.

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