Courbe
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En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.

La notion générale de courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les...) se décline en plusieurs objets mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...) ayant des définitions assez proches : arcs paramétrés, lignes de niveau, sous-variétés de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) 1. Schématiquement, ces différents modes d'introduction donnent des éclairages complémentaires sur la notion générale de courbe :

  • une courbe peut être décrite par un point (Graphie) qui se meut suivant une loi déterminée. La donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) d'une valeur du paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) permet alors de repérer un point sur la courbe. Intuitivement, cela signifie que les courbes sont des objets de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est...) 1 ;
  • une courbe peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme un domaine du plan ou de l'espace qui vérifie un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) suffisant de conditions, lui conférant encore un caractère unidimensionnel.

Ainsi une courbe plane (En géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement contenue dans un (unique) plan, et qui est identifiable à une fonction continue :) peut être représentée dans un repère cartésien par la donnée de lois décrivant abscisse et ordonnée en fonction du paramètre (équation paramétrique)

\begin{cases}x&=\xi(t)\\ y &=\eta(t)\end{cases},

ou encore par la donnée d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) cartésienne, ou implicite : F(x,y)=0\,

Première approche des invariants associés aux courbes

La géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles...) a pour objectif d'associer aux courbes des objets mathématiques permettant de décrire le mouvement. Les plus intéressants sont ceux qui sont attachés à la courbe, indépendamment de la façon dont elle est parcourue : on définit notamment la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) d'un arc de courbe, et les concepts de tangente à la courbe, de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins...).

Tangente à la courbe

La tangente est limite des sécantes
La tangente est limite des sécantes

On commence par définir la droite sécante (En géométrie, la position relative de deux droites, ou d'une droite et d'une courbe, peut être qualifiée par l'adjectif sécante. Celui-ci vient du latin secare, qui signifie couper. En termes...) entre deux points M et N de la courbe : c'est la droite qui les relie. La tangente en M peut alors être définie comme la position limite de la sécante lorsque le point N tend vers M.

La tangente en M est également la droite " la plus proche possible " de la courbe au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici...) de M. C'est ce qui explique la proximité entre la notion géométrique de tangente à une courbe, et de dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le...) d'une fonction, ou encore de développement limité (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0, est l'écriture d'une fonction sous la forme d'une fonction polynôme et d'un reste .) à l'ordre 1 d'une fonction.

La courbe reste très souvent d'un seul côté de sa tangente, au moins au voisinage du point M. Cependant, en certains points particuliers, appelés points d'inflexion elle traverse (Une traverse est un élément fondamental de la voie ferrée. C'est une pièce posée en travers de la voie, sous les rails, pour en maintenir l'écartement et l'inclinaison, et transmettre au ballast les charges des véhicules...) sa tangente.

Cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...) osculateur et courbure

Cercle osculateur
Cercle osculateur

On peut également définir le cercle osculateur de la courbe au point M comme le cercle " le plus proche possible " de M, au voisinage de M. On peut montrer que ce cercle embrasse mieux la courbe que ne le fait la tangente, d'où le mot osculateur (dont l'étymologie est " petite bouche "). Mais pour donner un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) précis à cette affirmation il faut introduire la notion de contact.

Le centre du cercle osculateur est appelé centre de courbure, son rayon rayon de courbure. La courbure est, par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x...) du rayon de courbure. La courbure au point M est d'autant plus forte que la courbe effectue en M un virage serré.

Torsion (La torsion est la déformation subie par un corps soumis à l'action de deux couples opposés agissant dans des plans parallèles.) d'une courbe gauche et généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...)

La tangente décrit bien le comportement de la courbe au premier ordre : la tendance globale de la courbe est d'avancer dans la direction de sa tangente. Le cercle osculateur et la courbure donnent un comportement de deuxième ordre, venant préciser l'information précédente, en donnant la tendance à tourner d'un côté ou de l'autre de la tangente.

Pour les courbes de l'espace à trois dimensions, il est possible d'aller plus loin. La courbe, à l'ordre deux, a tendance à avancer en tournant en restant dans le plan contenant le cercle osculateur (appelé plan osculateur). Une correction, d'ordre 3, vient s'ajouter, qui correspond à une tendance à s'écarter du plan osculateur. L'invariant correspondant est la torsion de la courbe. La torsion est donc ce qui fait que la courbe est non plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet...).

Il serait possible de poursuivre plus avant avec des courbes dans des espaces de dimension supérieure à trois, et une famille d'invariants généralisant courbure et torsion, et qui décrivent la courbe à des ordres d'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien...) de plus en plus grands. Il convient enfin de noter que tous ces calculs, pour être réalisés, demandent la vérification d'un certain nombre de conditions de régularité des fonctions, et l'exclusion de points ayant un comportement exceptionnel.

Modes de définition d'une courbe plane

Il existe pour les courbes planes plusieurs modes d'introduction traditionnels. On se place ici dans le plan de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...), muni d'un repère orthonormé (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}). On fait l'hypothèse générale que les fonctions qui apparaissent sont dérivables. La raison de cette limitation apparaîtra un peu plus bas.

Équation paramétrique

Une courbe définie par une équation paramétrique est le lieu des points M(x,y), où x et y sont des fonctions d'un paramètre t prenant ses valeurs dans une partie de \R

\overrightarrow{OM}=x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j}.

En un point où le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) dérivé

\overrightarrow{OM}'= \frac{d \overrightarrow{OM}}{d t} = x'(t) \overrightarrow{i} + y'(t) \overrightarrow{j}

est non nul, il y a une tangente à la courbe, dirigée par ce vecteur.

L'interprétation cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement...) classique est de considérer le paramètre t comme le temps, le vecteur dérivé est alors le vecteur vitesse (On distingue :).

Il convient alors de distinguer

  • la courbe, qui est souvent appelée trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.), et qui est un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des éléments...) du plan ;
  • l'arc paramétré proprement dit qui est la courbe munie de sa " loi de temps ", c'est-à-dire le couple de fonctions x(t),y(t).

Remarque : La représentation graphique d'une fonction y=f(x) peut être vue comme un cas particulier de courbe paramétrée : en prenant comme paramètre l'abscisse elle-même (t=x), on a x(t)=t, y(t)=f(t).

Équation polaire

On utilise pour ce type de courbe les coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.). La courbe est alors définie par une fonction \rho(\theta)\, et ses points ont pour coordonnées polaires (\theta, \rho(\theta))\,.

On peut facilement se ramener à une courbe paramétrée, d'équations x=\rho(\theta)\cos\theta, y=\rho(\theta)\sin\theta\,. Mais les mathématiciens traitent ces courbes par des méthodes adaptées, en introduisant en premier lieu la notion de repère mobile.

Équation cartésienne

Étant donnée une fonction f de x et de y, on appelle courbe d'équation cartésienne f(x,y)=C l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) des points M(x,y) dont les coordonnées vérifient cette équation.

On parle aussi pour cet ensemble de la ligne de niveau C de la fonction f. Si la fonction f représente une altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau de base. C'est une des composantes géographique et...), on retrouve le concept familier de courbe de niveau d'une carte de géographie (La géographie (du grec ancien γεωγραφία - geographia, composé de "η γη" (hê gê) la Terre et...).

Par exemple la ligne de niveau R>0 pour la fonction f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} est le cercle de centre O et de rayon R.

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) des fonctions implicites permet de trouver l'équation de la tangente à cette courbe en un point donné. Précisément, un point M=(x,y) appartenant à la courbe est dit régulier quand le gradient de f est non nul en ce point. Et dans ce cas, la tangente est orthogonale au vecteur gradient.

Définition des courbes gauches

On se place cette fois dans l'espace à trois dimensions usuel, muni d'un repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j},\vec{k}).

Équation paramétrique

L'équation paramétrique prend cette fois la forme

\vec{OM}=x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t)\vec{k}.

Le principe du calcul de la tangente est le même : en un point où le vecteur dérivé

\vec{OM}'= \frac{d \vec{OM}}{d t} = x'(t) \vec{i} + y'(t) \vec{j}+ z'(t)\vec{k}

est non nul, il y a une tangente à la courbe, dirigée par ce vecteur.

Équations cartésiennes

Une équation de la forme F(x,y,z)=C définit un ensemble appelé surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...) de niveau de la fonction F. Sous certaines conditions, l'intersection de deux surfaces de niveau définit une courbe et permet le calcul de sa tangente.

Voici le détail de ces conditions pour l'intersection

\begin{cases}F(x,y,z)=C\\ G(x,y,z)=D\end{cases}.

Si les fonctions F et G sont différentiables et que les vecteurs gradients de F et G en un point M de l'intersection sont des vecteurs indépendants, alors la courbe d'intersection possède une tangente dirigée par le vecteur

\vec{T}=\vec{\nabla} F \wedge  \vec{\nabla} G.

Avec les coniques, on a un exemple très classique d'introduction des courbes par intersection de surfaces : ce sont les courbes obtenues par intersection d'un cône de révolution et d'un plan.

Considérations topologiques

Lorsqu'on relâche l'exigence de dérivabilité des fonctions définissant les courbes, la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu...) peut singulièrement se compliquer.

Un exemple surprenant : la courbe de Peano

En 1890, Peano découvrit une " courbe " aux propriétés étranges :

  • elle est définie par une application continue de [0,1] dans le plan ;
  • sa trajectoire est l'ensemble des points du carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et un...) [0,1]x[0,1].

L'illustration représente les premières étapes de la construction de cette courbe, qu'on range aujourd'hui dans la catégorie des fractales.

Avec cet exemple, ou en considérant d'autres constructions de courbes fractales telles que le flocon de Koch ou la courbe du dragon, la notion de dimension semble perdre de sa pertinence. Il est possible en effet que l'image du segment [0,1] par une application continue ait une dimension de Hausdorff strictement supérieure à 1, ou même une mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.) différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de...) de 0.

Théorème de Jordan

Même dans le cadre très général des courbes continues, un résultat de topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) à l'énoncé apparemment élémentaire reste vérifié : une boucle délimite un intérieur et un extérieur.

Dit en termes moins vagues, si une courbe continue f:[a,b]\to \R^2 est fermée (les deux extrémités coïncident) et simple (la fonction est injective sur [a,b[, c'est-à-dire la courbe ne se recoupe pas elle-même) alors elle sépare le plan en deux composantes connexes, l'une bornée (l'intérieur), l'autre non bornée (l'extérieur). De plus la courbe est la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une...) (au sens topologique) de chacune de ces deux parties.

Ce théorème, ne connut une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées...) que tardivement (en 1905 par Oswald Veblen) après plusieurs tentatives incomplètes. Il convient de noter que la courbe de Peano n'est pas une courbe simple, même si les fonctions obtenues à chaque étape de sa construction le sont

Plongement, nœud

Exemple de nœud

Soit I un intervalle. L'application f:I\to \R^3 est appelée plongement lorsqu'elle réalise un homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.) de I sur son image f(I). De même on parle de courbe fermée plongée pour une application f:{\mathbb S}^1 \to \R^3 définie sur le cercle unité et qui constitue un homéomorphisme sur son image.

Il est possible de plonger le cercle de plusieurs façons, non équivalentes, dans l'espace de dimension trois. La classification des plongements possibles constitue la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) des nœuds.

Courbes algébriques

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