Série formelle
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En mathématiques, les séries formelles sont un outil qui permet d'utiliser l'arsenal analytique des séries entières sans tenir compte de la notion de convergence. Ces séries sont également très utiles pour décrire de façon concise des suites et pour trouver des formules pour des suites définies par récurrence via ce que l'on appelle les fonctions génératrices.

Considérons un anneau commutatif R. Nous voudrions définir l'anneau des séries formelles sur R de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) X, noté R[[X]] ; n'importe quel élément de cet anneau peut être écrit de façon unique comme une somme infinie de la forme ∑n≥0 an Xn où les coefficients an sont des éléments de R. En fait, R[[X]] est un anneau topologique (En mathématiques, un anneau topologique est un anneau (R,+, ×) muni d'une topologie telle que :) et ces sommes infinies sont définies correctement et convergent ( en astronautique, convergent en mathématiques, suite convergente série convergente ). L'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature,...) et la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) sont les mêmes que pour les séries entières.

Une construction formelle

Considérons l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) RN de toutes les suites infinies à valeurs dans R et définissons la somme de deux telles suites de la façon suivante :

\left( a_n \right) + \left( b_n \right) = \left( a_n + b_n \right)

et leur produit de cette façon :

\left( a_n \right) \times \left( b_n \right) = \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right).

Le produit est appelé produit de Cauchy de deux suites de coefficients et est une sorte de produit de convolution (En mathématiques, le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g se note généralement «  » et s'écrit :) discret. Ces deux opérations font de RN un anneau commutatif dont l'élément neutre pour la multiplication est (1,0,0,...). Nous identifierons l'élément a de R à la suite (a,0,0,...) et nous définissons X comme étant égal à (0,1,0,0,...). Alors tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élément de RN de la forme (a0, a1, a2,...,aN,0,0,...) peut être écrit comme une somme finie de cette façon :

\sum_{n=0}^N a_n X^n

Afin d'étendre ce développement aux séries infinies, nous avons besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes...) d'une distance sur RN : définissons d((an), (bn)) = 2-k, où k est le plus petit entier naturel tel que akbk (si un tel k n'existe pas, alors les deux suites seront dites égales et la distance de l'une à l'autre est par conséquent nulle). C'est une distance qui fait de RN un anneau topologique, et l'expression

\left( a_n \right) = \sum_{n \ge 0} a_n X^n

peut maintenant être écrite de façon rigoureuse en utilisant la notion de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) issue de d ; en fait, tout réarrangement de la série converge vers la même limite.

Cet anneau topologique est l'anneau des séries formelles sur R et se note R[[X]].

Propriétés

R[[X]] est une algèbre associative (En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité et d'associativité.) sur R qui contient l'anneau R[X] des polynômes à coefficients dans R ; les polynômes correspondent aux suites dont le terme vaut 0 à partir d'un certain rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une...).

La formule de la série géométrique est valable dans R[[X]] :

\left( 1 - X \right)^{-1} = \sum_{n \ge 0} X^n

Un élément ∑ an Xn de R[[X]] est inversible dans R[[X]] si et seulement si son coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi de suite....) constant a0 est inversible dans R. Cela implique que le radical de Jacobson de R[[X]] est l'idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il est ainsi possible...) engendré par X et le radical de Jacobson de R.

Les idéaux maximaux de R[[X]] dérivent tous de R de la manière suivante : un idéal M de R[[X]] est maximal si et seulement si MR est un idéal maximal de R et M est engendré en tant qu'idéal par X et par MR.

Plusieurs propriétés algébriques de R sont transmises à R[[X]] :

  • si R est un anneau local, alors il en est de même pour R[[X]]
  • si R est un anneau noethérien, alors il en est de même pour R[[X]]
  • si R est intègre, alors il en est de même pour R[[X]]
  • si R est un corps, alors R[[X]] est un anneau à valuation discrète.

L'espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.) (R[[X]], d) est complet. La topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) sur R[[X]] est la topologie produit sur RNR est muni de la topologie discrète. Par conséquent, d'après le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) de Tychonov, l'espace R[[X]] est compact si et seulement si R est fini. La topologie sur R[[X]] peut également être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme la topologie I-adique, où I = (X) est l'idéal engendré par X (il s'agit de l'idéal formé des séries formelles dont le coefficient d'indice 0 est nul).

Si K=R est un corps, il est possible de considérer le corps des fractions de l'anneau intègre K[[X]] ; il est noté K((X)). Ses éléments sont les séries formelles de Laurent, de la forme :

f = \sum_{n \geq -M} a_n X^n

M est un entier qui dépend de la série de Laurent f. K((X)) est un corps topologique.

Les séries formelles forment une algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les...) de Kleene.

Les séries formelles vues comme des fonctions

En analyse, une série entière convergente définit une fonction à valeurs réelles ou complexes. Les séries formelles peuvent également être vues comme des fonctions dont les ensembles de départ et d'arrivée sont à manier avec précaution. Si f=∑an Xn est un élément de R[[X]], S une algèbre commutative et associative sur R, I un idéal de S tel que la topologie I-adique sur S soit complète, et x un élément de I, alors il est possible de définir :

f(x) = \sum_{n\ge 0} a_n x^n

Cette série converge dans S grâce à l'hypothèse sur x. De plus :

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

et

(fg)(x) = f(x)g(x)

Toutefois, ces formules ne sont pas des définitions et doivent être démontrées.

Puisque la topologie sur R[[X]] est la topologie (X)-adique et que R[[X]] est complet, il est possible d'appliquer une série formelle (En mathématiques, les séries formelles sont un outil qui permet d'utiliser l'arsenal analytique des séries entières sans tenir compte de la notion de convergence....) à une autre série formelle, à condition que les arguments n'aient pas de coefficient constant: f(0), f(X2-X) and f( (1-X)-1 - 1) sont tous bien définis pour toute série formelle fR[[X]].

Avec ce formalisme, nous pouvons donner une formule explicite pour l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1...) (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement,...) multiplicatif) d'une série formelle f dont le coefficient constant a=f(0) est inversible dans R:

f^{-1} = \sum_{n \ge 0} a^{-n-1} (a-f)^n

Si la série formelle g avec g(0) = 0 est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) implicitement par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner...)

f(g) = X

f est une série entière connue vérifiant f(0) = 0, alors les coefficients de g peuvent être calculés explicitement en utilisant le théorème d'inversion de Lagrange.

Dérivation de séries formelles

Si f = ∑ an Xn est un élément de R[[X]], on définit sa dérivée formelle en utilisant l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) D défini par

Df = \sum_{n \ge 1} a_n n X^{n-1}

Cette opération est R-linéaire :

D(af + bg) = aDf + bDg

pour a, b dans R et f, g dans R[[X]].

Beaucoup de propriétés de la dérivation classique des fonctions sont valables pour la dérivation des séries formelles. Par exemple, la règle de dérivation d'un produit est valable :

D(fg) = f(Dg) + (Df)g

ainsi que la règle de dérivation d'une composée :

D(f(u)) = (Df)(u)Du

Dans un certain sens, toutes les séries formelles sont des séries de Taylor, car si f=∑an Xn, en écrivant Dk comme la ke dérivée formelle, on trouve que

(Dkf)(0) = k!ak.

On peut également définir la dérivation pour des séries formelles de Laurent d'une façon naturelle, et dans ce cas, la règle du quotient, en plus des règles énumérées ci-dessus, sera également valable.

Séries formelles de plusieurs variables

La façon la plus rapide de définir l'anneau R[[X1,...,Xr]] des séries formelles sur R en r variables commence avec l'anneau S = R[X1,...,Xr] des polynômes sur R. Soit I l'idéal de S engendré par X1,...,Xr ; considérons alors la topologie I-adique sur S et complétons-la. Le résultat de cette complétion est un anneau topologique complet contenant S et qui est noté R[[X1,...,Xr]].

Pour n=(n1,...,nr)∈Nr, on écrit Xn = X1n1...Xrnr. Alors chaque élément de R[[X1,...,Xr]] de manière unique comme une somme de la façon suivante :

\sum_{\mathbf{n}\in\Bbb{N}^r} a_\mathbf{n} \mathbf{X^n}

Ces sommes convergent pour n'importe quel choix des coefficients anR et l'ordre dans lequel les éléments sont sommés n'a pas d'importance.

Si J est un idéal de R[[X1,...,Xr]] engendré par X1,...,Xr (i.e. J est constitué des séries dont tous les coefficients sont non nuls), alors la topologie sur R[[X1,...,Xr]] est la topologie J-adique.

Puisque R[[X1]] est un anneau commutatif, on peut définir son anneau des séries formelles, noté R[[X1]][[X2]]. Cet anneau est naturellement isomorphe à l'anneau R[[X1,X2]] défini prédemment, mais ces anneaux sont topologiquement différents.

Si K = R est un corps, alors toutes les séries de K[[X1,...,Xr]] sont décomposables en facteurs premiers.

Comme pour les séries formelles à une variable, on peut " appliquer " une série formelle à plusieurs variables à une autre série formelle à condition que son coefficient constant a(0,...,0) soit nul. Il est aussi possible de définir des dérivées partielles de ces séries formelles. Les dérivées partielles commutent comme elles le font pour des fonctions continuement différentiables.

Applications

On peut utiliser des séries formelles pour prouver certaines propriétés en analyse de manière extrêmement simple.

Formules trigonométriques : Considérons les éléments suivants de Q[[X]]:

\sin(X)  := \sum_{n \ge 0} \frac{(-1)^n} {(2n+1)!} X^{2n+1}
\cos(X) := \sum_{n \ge 0} \frac{(-1)^n} {(2n)!} X^{2n}

Alors on peut montrer que

\sin^2 + \cos^2 = 1\,

et

D \sin = \cos\,

aussi bien que

\sin (X+Y) = \sin(X) \cos(Y) + \cos(X) \sin(Y) \,

(La dernière expression étant définie sur l'anneau Q[[X,Y]]).

Détermination du terme général d'une suite : Comme exemple de la méthode de la fonction génératrice (En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (an) est la série formelle définie par), considérons le problème consistant à trouver le terme général de la suite de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom moderne), connu à l'époque sous le nom de Leonardo Pisano (Léonard de Pise), mais aussi de Leonardo Bigollo...) fn définie par f0 = 0, f1 = 1, et fn = fn−1 + fn−2 pour n ≥ 2.

Dans l'anneau R[[X]], on définit la série formelle

f = \sum_{n \ge 0} f_n X^n

f est appelée la fonction génératrice de la suite (fn). La fonction génératrice de la suite (fn−1) est Xf et celle de (fn−2) est X2f. D'après la relation de récurrence sur la suite (fn), nous pouvons écrire que Xf + X2f est identique à f sauf pour les deux premiers coefficients. On obtient alors la relation

f = Xf + X^2 f + X \,

(C'est le point (Graphie) le plus important : une relation de récurrence sur une suite se traduit par une équation sur la fonction génératrice associée). Il suffit alors de résoudre l'équation précédente. On obtient :

f = \frac{X} {1 - X - X^2}

Le dénominateur peut se factoriser en utilisant le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'or et son conjugué (En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.)

\phi_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} et \phi_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}

et la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés...) en éléments simples donne

f = \frac{1 / \sqrt{5}} {1-\phi_1 X} - \frac{1/\sqrt{5}} {1- \phi_2 X}

On reconnaît, dans ces deux séries formelles, des séries géométriques. En identifiant (En informatique, on appelle identifiants (également appelé parfois en anglais login) les informations permettant à une personne de s'identifier auprès d'un système.) leurs coefficients à celui de f, on obtient l'égalité suivante :

f_n = \frac{1} {\sqrt{5}} (\phi_1^n - \phi_2^n)

Propriété universelle

L'anneau des séries formelles R[[X1, ..., Xr]] possède la propriété suivante :

  • Si S est une algèbre commutative et associative sur R
  • Si I est un idéal de S tel que S soit complet pour la topologie I-adique
  • Si x1, ..., xr sont r éléments de I,

Alors, il existe une unique application Φ : R[[X1, ..., Xr]] -> S vérifiant

  • Φ est un homomorphisme d'algèbre
  • Φ est continue
  • Φ(Xi) = xi pour tout i = 1, ..., r.

Séries formelles généralisées

Soit R un anneau commutatif,

Soit G un groupe commutatif muni d'un ordre total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le total des dettes". En physique le total n'est pas...) compatible avec l'addition , c’est-à-dire tel que a < b équivaut à a + c < b + c pour tout c de G.

On considère l'ensemble des sous-ensembles I de G bien ordonnés, c'est-à-dire tels que I ne possède pas de chaine infinie décroissante.

On peut alors construire l'ensemble R((G)) des sommes

\sum_{i \in I} a_i X^i

ai sont des éléments de R et où on suppose que, pour chaque ensemble d'indexation I, si tous les ai sont nul alors la somme est nulle.

Alors R((G)) est l'anneau des séries formelles sur G, car la condition que l'ensemble d'indexation I soit bien ordonné assure que le produit est bien défini. On suppose évidemment que deux éléments qui diffèrent de zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en...) sont égaux.

Diverses propriétés de R peuvent se transférer à R((G).

Si R est un corps, il en est de même de R((G)).
Si R est un corps ordonné, on peut définir sur R((G)) une relation d'ordre en affectant à chaque série le signe de son coefficient dominant : le coefficient associé au plus petit i tel que ai soit non nul.
Si G est un groupe divisible et R un corps ordonné tel que R(\sqrt(-1)) soit algébriquement clos alors il en est de même de R((G))
Enfin, si G est un groupe divisible et R un corps algébriquement clos alors il en est de même de R((G))

Cette théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) a été développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la courbe.) par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une...) autrichien Hans Hahn

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