Pendule de Foucault
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pendule de Foucault au Panthéon de Paris
pendule de Foucault au Panthéon de Paris
pendule de Foucault au Musée des arts et métiers (Paris)
pendule de Foucault au Musée des arts et métiers (Paris)

Un pendule de Foucault, du nom du physicien français Jean Bernard Léon Foucault, est une expérience conçue pour démontrer la rotation de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus massive des...) par rapport à un référentiel galiléen (En physique, un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel un objet isolé (sur lequel ne s'exerce aucune force ou sur lequel la résultante des forces est nulle) est soit immobile, soit en...) ainsi que l'existence de la force de Coriolis (Dans un système de référence (référentiel) en rotation uniforme, les corps en mouvement, tels que vus par un observateur partageant le même référentiel,...) dans un référentiel non galiléen défini naturellement, à l'endroit où il se trouve, par un observateur terrestre.

Historique : Les académiciens de Florence avaient observé vers 1660 le déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la...) du plan d'oscillation (Une oscillation est un mouvement ou une fluctuation périodique. Les oscillations sont soit à amplitude constante soit amorties. Elles répondent aux...) du pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres pendules, c'est...). Mais ils ignoraient la cause de ce déplacement. Le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les relient. Le mot physicien dérive du grec, qui connaît la...) français, au contraire, qu'il devait avoir lieu comme conséquence du mouvement de la terre. C'est en voyant une tige (La tige est chez les plantes à fleurs, l'axe, généralement aérien, qui prolonge la racine et porte les bourgeons et les feuilles. La tige se ramifie...) cylindrique fixée dans le prolongement de l'arbre (Un arbre est une plante terrestre capable de se développer par elle-même en hauteur, en général au delà de sept mètres. Les arbres...) d'un tour, osciller dans un plan fixe pendant la rotation de l'arbrequ'il conçut la possibilité de prouver la rotation de la terre au moyen du pendule.[1]

La première démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un ensemble de...) date de 1851, le pendule étant accroché à la voûte (Une voûte (ou voute) est un élément architectural de couvrement intérieur d'un édifice présentant un intrados. La...) du Panthéon de Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre...). L'intérêt du pendule imaginé et réalisé par Foucault, est qu'il met en évidence la rotation de la Terre par une expérience locale aisément reproductible et que l'on peut également déterminer en quelques heures, par mesure de la déviation au sol du plan d'oscillation, la latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.) du lieu de l'expérience sans aucune observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très grande...) astronomique extérieure.

Un pendule de Foucault au pôle nord. Le pendule oscille dans un plan fixe par rapport aux étoiles alors que dessous, la Terre tourne indépendamment.
Un pendule de Foucault (Un pendule de Foucault, du nom du physicien français Jean Bernard Léon Foucault, est une expérience conçue pour démontrer la rotation de la Terre...) au pôle nord (Le pôle Nord géographique terrestre, ou simplement pôle Nord, est le point le plus septentrional de la planète Terre. Il est défini comme le point d’intersection de l'axe de...). Le pendule oscille dans un plan fixe par rapport aux étoiles alors que dessous, la Terre tourne indépendamment.
A. Animation d'un pendule de Foucault qui serait attaché à la coupole (67 mètres de haut) du Panthéon de Paris (latitude de 48° nord) mais où la rotation de la Terre est très exagérée. Le pendule est tendu (ici à 50 mètres à l'est du centre) par une corde qu'on brûle pour le libérer après l'arrêt de toute oscillation du cable. Le pendule se dirige alors vers le centre mais en prenant de la vitesse (panache de couleur rouge) et en raison de la rotation de la Terre, la force de Coriolis fait dévier la trajectoire initiale vers le nord. En remontant, le pendule perd de la vitesse et la force de déviation s'atténue également. Il s'arrête donc le long d'une direction qu'il reprend dans l'autre sens. Le point de rebroussement de la trajectoire au sol est visualisé en vert. Au retour le pendule est dévié vers le sud, il passe ainsi au sud du centre qui est visualisé dans l'animation par un poteau central éclairé par le soleil de midi. Une rotation de la Terre s'effectuant beaucoup plus lentement que dans l'animation, ce poteau central devrait être extrêmement fin et de l'ordre du millimètre de diamètre et ne figure pas au Panthéon. Le pendule s'arrête de nouveau à l'est mais la direction a subi une légère rotation vers le sud. Cette rotation est moindre que la rotation de la Terre durant la même période comme l'indique la rotation de l'ombre du poteau au sol et est inversement proportionnelle au sinus de la latitude. Dans le plan de rotation, le pendule oscille également de part et d'autre en effectuant ainsi un ellipse visualisé en bleu. Voir également l'animation B
A. Animation (L'animation consiste à donner l'illusion du mouvement à l'aide d'une suite d'images. Ces images peuvent être dessinées, peintes, photographiées, numériques, etc.) d'un pendule de Foucault qui serait attaché à la coupole (Une coupole est une voûte hémisphérique, de profil semi-circulaire, elliptique ou polygonal, parfois exhaussée par un tambour. La toiture de cette voûte est un...) (67 mètres de haut) du Panthéon de Paris (latitude de 48° nord) mais où la rotation de la Terre est très exagérée. Le pendule est tendu (ici à 50 mètres à l'est du centre) par une corde qu'on brûle pour le libérer après l'arrêt de toute oscillation du cable. Le pendule se dirige alors vers le centre mais en prenant de la vitesse (On distingue :) (panache de couleur (La couleur est la perception subjective qu'a l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes lumineuses, avec une (ou des) amplitude(s)...) rouge) et en raison de la rotation de la Terre, la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles...) de Coriolis fait dévier la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) initiale vers le nord (Le nord est un point cardinal, opposé au sud.). En remontant, le pendule perd de la vitesse et la force de déviation s'atténue également. Il s'arrête donc le long d'une direction qu'il reprend dans l'autre sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...). Le point (Graphie) de rebroussement de la trajectoire au sol est visualisé en vert (Le vert est une couleur complémentaire correspondant à la lumière qui a une longueur d'onde comprise entre 490 et 570 nm. L'œil humain possède un récepteur, appelé cône M, dont la bande...). Au retour le pendule est dévié vers le sud (Le sud est un point cardinal, opposé au nord.), il passe ainsi au sud du centre qui est visualisé dans l'animation par un poteau (Un poteau est un organe de structure d'un ouvrage sur lequel se concentrent de façon ponctuelle les charges de la superstructure (par exemple via un réseau de poutres chargées par les dalles d'un...) central éclairé par le soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une étoile de type naine jaune, et composée...) de midi. Une rotation de la Terre s'effectuant beaucoup plus lentement que dans l'animation, ce poteau central devrait être extrêmement fin et de l'ordre du millimètre de diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la...) et ne figure pas au Panthéon. Le pendule s'arrête de nouveau à l'est mais la direction a subi une légère rotation vers le sud. Cette rotation est moindre que la rotation de la Terre durant la même période comme l'indique la rotation de l'ombre (Une ombre est une zone sombre créée par l'interposition d'un objet opaque (ou seulement partiellement opaque) entre une source de lumière et la...) du poteau au sol et est inversement proportionnelle au sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent...) de la latitude. Dans le plan de rotation, le pendule oscille également de part et d'autre en effectuant ainsi un ellipse visualisé en bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs primaires. Sa longueur d'onde est comprise approximativement entre 446 et...). Voir également l'animation B

Si l'on considère le plan déterminé par :

  • le point de fixation du pendule (la voûte du Panthéon par exemple),
  • sa position au repos, donc la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) du lieu où il est suspendu,
  • le point d'où il est lâché sans vitesse initiale (sans vitesse relative locale),

l'expérience met en évidence :

  • que le plan d'oscillation du pendule est en rotation autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les...) de l'axe de la verticale du lieu,
  • que ce plan d'oscillation tourne dans le sens horaire dans l'hémisphère nord et dans le sens inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...) dans l'hémisphère sud (L'hémisphère sud ou hémisphère austral est la moitié du globe terrestre qui s'étend entre l'équateur et le pôle Sud. En astronomie, ce terme désigne la partie du...).
  • que le plan d'oscillation effectue un tour complet en 24 heures aux pôles (ou plus exactement en un jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à...) sidéral), mais qu'ailleurs la période est plus longue et doit être divisée par le sinus de la latitude. A une latitude de 30°, la période est donc de 2 jours et à 45° de latitude de 1,4 jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit...). A l'équateur le pendule y oscille dans un plan fixe.

Cette expérience historique, répétée par la suite en de nombreux endroits, a permi de vérifier le bien-fondé des lois de Newton.

En 1851, les lachers du pendule avaient un certain cérémonial : le pendule était tendu par une corde qui faisait un aller-retour autour de la boule. On attendait la fin des oscillations du cable, puis on brûlait un des deux brins de la corde de sorte que le pendule soit libéré avec une vitesse nulle.

Aujourd'hui on trouve généralement un mécanisme magnétique qui permet d'entretenir le mouvement car en raison du frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.) de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est nécessaire de pressuriser les cabines des avions et autres...) celui du Panthéon n'oscille que durant 6 heures.

L'expérience du pendule du Panthéon n'était pas suffisamment convaincante pour beaucoup de contemporains ce qui a poussé Foucault à inventer l'année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.) suivante le gyroscope (Un gyroscope (du grec « qui regarde la rotation ») est un appareil qui exploite le principe de la conservation du moment angulaire en physique (ou encore stabilité gyroscopique ou effet gyroscopique).) dont l'axe reste parallèle à une direction fixe par rapport aux astres et cela quelle que soit la latitude.

Mise en équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...)

Pour simplifier, nous supposerons l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) des oscillations suffisamment faibles pour admettre que la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du...) oscillante du pendule se déplace horizontalement. Notons Oxy ce plan horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la gauche vers la droite » ou vice versa.), avec O position de la masse au repos, Ox axe horizontal dirigé vers l'est (et donc tangent au parallèle), et Oy dirigé vers le nord (et donc tangent au méridien). Le troisième axe Oz sera vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.), dirigé vers le haut.

Cas du pendule simple (Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une liaison rigide sans masse de longueur l pouvant tourner dans un plan vertical. Le point matériel en G, de...)

Sans tenir compte de la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen, les équations du mouvement sont celles du pendule simple, à savoir : \left \{ \begin{matrix} \ddot{x} = - \omega^2 x\\ \ddot{y}= - \omega^2 y \end{matrix} \right. où ω est la pulsation propre du pendule simple, soit : \omega = \sqrt{g/l}g est l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une...) de la pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi qu'en un lieu donné tous les corps libres...) et l la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle...) du pendule. A titre d'exemple, si à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) t = 0, le pendule passe en O avec la vitesse V0 selon l'axe Ox, alors, la solution à ce système est :

\left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega} \sin(\omega t) \\ y = &0 \end{matrix} \right.

Cas du pendule de Foucault

Avec la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen, il faut tenir compte de la force de Coriolis dont l'accélération s'écrit 2 \Omega (\vec{v} \wedge \vec{k})\vec{v} est la vitesse du pendule, \vec{k} est le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple...) unitaire porté par l'axe de rotation terrestre et Ω la vitesse de rotation angulaire de la Terre (à savoir un tour en un jour sidéral). Cette vitesse de rotation Ω est beaucoup plus faible que la pulsation propre ω du pendule.

Si on se trouve à la latitude θ, alors le vecteur \Omega \vec{k} a pour composantes dans le repère Oxyz \begin{pmatrix} 0\\ \Omega \cos{\theta} \\ \Omega \sin{\theta} \end{pmatrix}. \vec{v} a pour composantes \begin{pmatrix} \dot{x}\\ \dot{y} \\ 0 \end{pmatrix}, de sorte que l'accélération de Coriolis aura pour composantes \begin{pmatrix} 2\dot{y} \Omega \sin{\theta}\\ - 2\dot{x} \Omega \sin{\theta} \\ 2\dot{x} \Omega \cos{\theta} \end{pmatrix}.

Les équations du mouvement dans le plan Oxy deviennent : \left\{\begin{matrix} \ddot{x} = - \omega^2 x + 2\dot{y} \Omega\sin{\theta}\\ \ddot{y} = - \omega^2 y - 2\dot{x} \Omega \sin{\theta}\end{matrix}\right..

En utilisant la notation complexe z = x + iy, le système à résoudre s'écrit : \ddot{z}+2i\Omega\sin{\theta} \dot{z} + \omega^2 z = 0

Proposons une solution classique de la forme z(t) = ert, on en déduit que le complexe r doit vérifier l'équation du second degré : r2 + 2iΩsin(θ)r + ω2 = 0 qui s'écrit aussi : \left(r+i\Omega\sin(\theta)\right)^2- i^2\omega^2\left(1+\sin^2(\theta)\frac{\Omega^2}{\omega^2}\right)=0

En notant \omega_0 = \sqrt{\omega^2 + \Omega^2 \sin^2(\theta)}, les deux solutions de l'équation du second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) sont : r=-i(\Omega\sin(\theta) \pm \omega_0) et on peut alors en déduire que la solution générale du système est de la forme :

z(t)= e^{-i \Omega \sin{\theta} t} \left(c_1 e^{i\omega_0t} + c_2e^{-i\omega_0t}\right) \qquad\qquad(1)

c1 et c2 sont deux constantes, éventuellement complexes, qu'on peut déterminer par deux conditions initiales comme par exemple, la position du pendule et sa vitesse à la date t = 0 qui conduisent aux deux équations :

\left \{ \begin{align} z(0) = & c_1 +c_2 \,,\\ \dot{z}(0) = &-i \left( \Omega\sin(\theta) z(0) - \omega_0 (c_1-c_2) \right) \end{align}\right. \,.

En remplaçant les expressions trouvées pour les deux constantes dans l'équation (1), on peut alors écrire une équation plus aisément interprétable :

z(t) =e^{-i \Omega \sin{\theta} t} \left[z_0\left(\cos(\omega_0 t) +i \frac{\Omega \sin(\theta)}{\omega_0}\sin(\omega_0 t) \right) + \frac{\dot{z}_0}{\omega_0} \sin(\omega_0 t)\right] \qquad\qquad(2)

Ainsi, si \dot{z}_0 est nulle et z0 un réel pur, la trajectoire au sol du pendule dans un repère tournant selon une pulsation Ωsin(θ) est une ellipse parcourue en une période de \frac{2\pi}{\omega_0}.

Si \dot{z}_0 est non nulle mais un imaginaire pur, le mouvement elliptique est pertubé par une oscillation perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la généralisation de la notion de...) au plan principal d'oscillation et de même fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi...) \omega_0\,.

Examinons alors deux manières de lancer le pendule :

Animation d'un pendule de Foucault dans l'hémisphère sud qui serait propulsé à partir du point d'équilibre et non laché à vitesse nulle.
Animation d'un pendule de Foucault dans l'hémisphère sud qui serait propulsé à partir du point d'équilibre et non laché à vitesse nulle.
  • Supposons que le pendule soit propulsé depuis la position d'équilibre (z(0) = 0 vers l'est à la vitesse \dot{z}(0)=V_0 et nous obtenons le mouvement décrit par l'équation :
z(t)= \frac{V_0}{\omega_0} \sin(\omega_0 t) e^{-i\Omega\sin(\theta)t }
Le pendule repasse exactement par sa position d'équilibre à chaque oscillation comme l'indique l'animation ci-dessus. L'animation est fictive et correspond à une rotation très rapide de la Terre et dans l'hémisphère sud.
Mais on ne voit pas comment un tel mouvement peut être initié de manière simple.
  • Supposons maintenant, comme le fit Foucault, que le pendule soit écarté de sa position d'équilibre par une corde tendue (par exemple vers l'est : z0 mètres) et qu'on la brûle afin de libérer le pendule avec une vitesse initiale nulle (\dot{z}_0=0), on obtient la solution suivante :
z(t)= z_0 e^{-i\Omega\sin(\theta)t} \left[ \cos(\omega_0t) + i \frac{\Omega\sin(\theta)}{\omega_0} \sin(\omega_0 t) \right]\qquad\qquad(3)
et il suffit de tracer la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) paramétrée par la partie réelle (longitude est) et la partie imaginaire (latitude nord) pour obtenir le tracé A beaucoup plus réaliste (cliquer sur la figure pour lire le programme de tracé en langage Gnuplot (Gnuplot est un programme souple qui peut produire des représentations graphiques en deux ou trois dimensions de fonctions numériques. Le programme fonctionne sur tous les ordinateurs et systèmes d'exploitation...) correspondant) même si la vitesse de rotation de la Terre est encore fictive et de l'ordre d'une rotation en 110 secondes au lieu d'une rotation par 24 heures.

Si on met une caméra (Le terme caméra est issu du latin : chambre, pour chambre photographique. Il désigne un appareil de prise de vues animées, pour le cinéma, la télévision ou la vidéo.) dans le plan d'oscillation du pendule, on obtient l'animation B où le référentiel terrestre tourne. On peut remarquer que le pendule n'oscille pas rigoureusement dans le plan mais de part et d'autre du plan selon l'ellipse décrite plus haut. La longueur du fil étant fixe, on calcule pour chaque projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) au sol x(t),y(t) la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) correspondante h(t) du pendule par rapport au sol.

B Pendule de Foucault de 67 mètres laché au Panthéon de Paris à une distance de 50 mètres à l'est du point d'équilibre avec une vitesse initiale nulle. La vitesse de rotation de la Terre est exagérée (1 tour en 110 secondes). Vue d'une caméra liée au plan d'oscillation.
B Pendule de Foucault de 67 mètres laché au Panthéon de Paris à une distance de 50 mètres à l'est du point d'équilibre avec une vitesse initiale nulle. La vitesse de rotation de la Terre est exagérée (1 tour en 110 secondes). Vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) d'une caméra liée au plan d'oscillation.

Il est également possible de voir le même pendule depuis le soleil, c’est-à-dire depuis une caméra fixe par rapport aux étoiles.

C Pendule de Foucault de 67 mètres laché au Panthéon de Paris à une distance de 50 mètres à l'est du point d'équilibre avec une vitesse initiale nulle. La vitesse de rotation de la Terre est exagérée (1 tour en 110 secondes). Vue d'une caméra liée au soleil.
C Pendule de Foucault de 67 mètres laché au Panthéon de Paris à une distance de 50 mètres à l'est du point d'équilibre avec une vitesse initiale nulle. La vitesse de rotation de la Terre est exagérée (1 tour en 110 secondes). Vue d'une caméra liée au soleil.

Le pendule de Foucault du Panthéon à Paris oscille sur notre vraie planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de l'Univers et possédant une masse suffisante pour que sa gravité la maintienne en...) Terre avec une pulsation propre ω0 extrêmement proche celle du pendule simple ω (les 8 premiers chiffres sont identiques) puisque Ω est très petit devant ω. La période d'oscillation, \frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} vaut, si la longueur du fil fait 67 mètres, 16,42 secondes.

Le rapport du petit côté de l'ellipse sur le grand côté a pour expression \frac{\Omega \sin(\theta)}{\omega_0} et est très petit. Le pendule de Foucault oscille donc quasiment dans un plan qui tourne en raison de la rotation de la Terre. Mais le plan n'effectue un tour complet en 24 heures qu'aux pôles. A une latitude θ donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...), la période, \frac{2\pi}{\Omega \sin(\theta)}, inversement proportionnelle au sinus de cette latitude, est plus longue. Le sinus de 30° valant 1/2, un pendule de Foucault implanté à une latitude de 30° effectuerait un tour complet en 48 heures. La durée d'une rotation complète d'un pendule de Foucault situé à une latitude autre que l'équateur permet ainsi de déterminer cette latitude indépendamment de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) autre mesure.

A la latitude nord de 48°52' du Panthéon à Paris, le plan tourne donc de -\frac{2\pi}{\Omega\sin(\frac{(48+52/60)\times 2 \pi}{360})}\frac{360}{2\pi}3600=-11°19' en une heure (L'heure est une unité de mesure  :).

La Terre ne tournant pas uniquement sur elle-même, mais également autour du Soleil et d'autres astres l'influençant, la rotation du référentiel terrestre n'est pas de 24 heures par jour, mais de 23 heures 56 minutes ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un acte. Cartographie géologique ; la minute de terrain est la carte originale, au crayon, levée sur le terrain. ...) par jour sidéral (Un jour sidéral, qui signifie littéralement temps d'étoile, est la durée que met une planète pour faire un tour sur elle-même, indépendamment de sa...).

Nous avons ainsi représenté sur la figure ci-après les 3 premières oscillations après un lacher à vitesse nulle à une distance de 6 mètres à l'est du centre de la coupole du Panthéon. Etant donnée la faible déviation vers le nord par rapport au déplacement est-ouest du pendule durant ces trois premières oscillations, l'échelle de l'ordonnée (sud-nord) est multipliée par 1000 ce qui correspond à un déplacement en millimètre. La force de Coriolis, perpendiculaire au déplacement et proportionnelle à la vitesse, fait dévier le pendule de son plan d'oscillation initial vers le nord ; elle est maximale lorsque que la vitesse est maximale c’est-à-dire lorsque le pendule passe près du point d'équilibre, qu'il dépasse à 0,86 mm au nord (z_0\frac{\Omega\sin(\theta)}{\omega_0}). Le pendule s'arrête au bout d'une demie période (donc 8,21 secondes) à l'opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même...) et a encore été dévié vers le nord. Au retour, le sens de la vitesse est inversé et la force de Coriolis fait déplacer le pendule vers le sud. Il passe à 0,86 mm au sud du point d'équilibre puis s'arrête à 5,4 mm au sud du point de lancement à la fin de la période d'oscillaton soit après 16,42 secondes. La vitesse du pendule par rapport à notre repère terrestre étant alors nulle, la force de Coriolis est donc nulle et le pendule repart dans la même direction en effectuant un point de rebroussement.

Lacher du pendule de Foucault à 6 mètres à l'est du centre de la coupole du Panthéon à Paris : traces au sol des 3 premières oscillations (longitudes en mètres, latitudes en millimètres)
Lacher du pendule de Foucault à 6 mètres à l'est du centre de la coupole du Panthéon à Paris : traces (TRACES (TRAde Control and Expert System) est un réseau vétérinaire sanitaire de certification et de notification basé sur internet sous la responsabilité de la Commission...) au sol des 3 premières oscillations (longitudes en mètres, latitudes en millimètres)

Le pendule revisité : quel système de référence ?

Le pendule de Foucault pose la question de la nature du repère qui sert de référence. En effet, tout mouvement est relatif. Si la Terre est en rotation, elle l'est par rapport à quelque chose. On ne peut pas parler d'un mouvement sans définir un cadre de référence. Ce cadre est un référentiel galiléen, mais comment ce référentiel est-il défini ? Plaçons le pendule Foucault au pôle. La Terre tourne par rapport à un repère galiléen selon l'axe terrestre avec la pulsation Ω. Le pendule tourne par rapport à la Terre avec une pulsation qui vaut au pôle − Ω, selon la verticale du lieu qui est également l'axe terrestre. Le pendule oscille donc dans un plan fixe par rapport à un repère galiléen.

Dans une première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation soit le plus...), le plan du pendule est fixe par rapport au Soleil. Mais, si Foucault avait réussi à construire un pendule capable d'osciller suffisamment longtemps, disons pendant un mois (Le mois (Du lat. mensis «mois», et anciennement au plur. «menstrues») est une période de temps arbitraire.), il se serait aperçu que le plan d'oscillation dérivait également par rapport à la position du Soleil. Notre étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une énorme boule de plasma comme le Soleil, qui est l'étoile la plus proche de la Terre.) ne fait donc pas partie du système de référence en question.

Peut-être faut-il alors considérer les étoiles proches du Soleil ? Mais là aussi, si l'expérience pouvait durer suffisamment longtemps, elle montrerait que le plan des oscillations se déplace nettement par rapport aux étoiles après quelques années. Quel objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une...) choisir dans ce cas ? Le centre galactique, la galaxie (Galaxies est une revue française trimestrielle consacrée à la science-fiction. Avec ce titre elle a connu deux existences, prenant par ailleurs la suite de deux autres Galaxie, cette fois au singulier.) d'Andromède, le Groupe Local (Le Groupe local est l'ensemble d'une trentaine de galaxies auquel appartient notre Galaxie. Son diamètre est d'environ 3 millions de parsecs.), le superamas (En astronomie, un superamas est une association d'amas et de groupes de galaxies.) local ? Chacun de ces objets donnerait l'illusion d'être fixe par rapport au plan des oscillations, mais finirait, après un temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de plus en plus long, par révéler une dérive.

Si l'expérience pouvait être menée suffisamment longtemps en considérant comme référence les objets les plus lointains de l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), les galaxies ou quasars situés à des milliards d'années-lumière, on pourrait constater encore une infime dérive du plan d'oscillation.

Finalement, l'ultime recours serait de considérer comme référence le rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de transmission d'énergie impliquant une particule porteuse.) de fond de l'univers . Avec ce système de référence, et si l'expérience de Foucault était réalisable, le plan des oscillations serait enfin fixe et il n'y aurait plus de dérive. Ce n'est donc qu'en fonction de l'Univers dans son ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...), que nous pouvons définir un référentiel galiléen par rapport auquel le plan des oscillations est fixe.

Le pendule de Foucault se moque donc de la présence du Soleil ou de la Galaxie (Une galaxie est, en cosmologie, un assemblage d'étoiles, de gaz, de poussières et de matière noire et contenant parfois un trou noir supermassif en son...). Son mouvement lui est directement dicté par l'Univers entier. Cette expérience met en évidence une sorte de lien mystérieux entre chaque point et l'Univers tout entier et Ernst Mach s'est posé la question de savoir quelle serait la Mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de...) dans un Univers vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) (voir Principe de Mach). Jusqu'à nouvel ordre, la nature de ce lien reste inconnue.

Effets parasites

La mise en évidence de la rotation terrestre par le pendule de Foucault est une expérience très délicate. Le plan d'oscillation du pendule tourne de quelques degrés par heure (L’heure est une unité de mesure du temps. Le mot désigne aussi la grandeur elle-même, l'instant (l'« heure qu'il...) (maximum, 15° au Pôle). Plusieurs phénomènes risquent de masquer ce que l'on veut mettre en évidence :

  • l'amortissement du pendule par le frottement dans l'air. Il est proportionnel à la section du pendule, son poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est...) est proportionnel au volume : on choisira un objet dense et lourd.Il faut une sphéricité parfaite, un cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c),...) est parfois plus approprié pour de petites amplitudes ; ne surtout jamais utiliser une lentille de franc-comtoise.
  • l'asymétrie (L'asymétrie est l’absence de symétrie, ou son inverse. Dans la nature, les crabes violonistes en sont des exemples spectaculaires.) du pendule. Celui-ci doit être parfaitement symétrique pour ne pas partir dans un sens ou dans l'autre. Il ne doit pas non plus pivoter sur lui-même : l'effet Magnus (L’effet Magnus, découvert par Heinrich Gustav Magnus (1802-1870), physicien allemand, permet notamment d’expliquer les effets de balle dans le sport.) le dévierait de son plan d'oscillation.Néanmoins bien sûr il tourne légèrement sur lui-même, à raison de sa précession ! Il faut aussi veiller au point d'attache.
  • Il doit être lancé sans composante perpendiculaire au plan d'oscillation. Comme il s'agit d'un pendule sphérique (On appelle pendule sphérique un dispositif formé d'une tige de masse nulle de longueur accrochée à un point fixe et à laquelle est fixée à l'autre extrémité une masse , habilité à se mouvoir en...), on doit effectuer la correction d'erreur systématique : Victor Puiseux a montré que si le pendule effectuait une ellipse, celle-ci entraînait un effet de précession (La précession est le nom donné au changement graduel d'orientation de l'axe de rotation d'un objet ou, de façon plus générale, d'un vecteur sous l'action de...) proportionnelle à son aire et inversement proportionnelle au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre...) de la longueur du pendule.\omega_{puiseux} = {{3 \over 8}.{{a.b} \over {L^2}}.\omega_{pendule}}. Il faut utiliser un pendule long et le lancer sans vitesse initiale, au mieux par rapport au laboratoire : la trajectoire sera donc légèrement elliptique, mais toute la manipulation est alors reproductible et on peut corriger les artefacts systématiques.
  • l'astuce de l'anneau de Fernand Charron est peu connue (cf Bulletin de la SAF de novembre 1931) mais pourtant très efficace : on entretient le mouvement du pendule par un electroaimant très pointu (Le pointu est une famille de barques de pêche traditionnelles de Méditerranée.), et le cylindre est lui-même muni d'une pointe qui vient quasiment en contact de celle de l'électroaimant : celui-ci est banalement alimenté par du 9V continu haché de la façon suivante : l'anneau de Charron (C) est placé à quelques décimètres du point d'oscillation O ( pour une longueur de 1,70 m environ): Quand le fil de suspension ( Le fait de suspendre des particules En chimie, la suspension désigne une dispersion de particule. En géomorphologie, la suspension est un mode de transport des sédiments. Le fait de suspendre un objet En...) métallique touche l'anneau très bien centré, le courant passe : il y a force électromagnétique (La force électromagnétique est, avec la force de gravitation, l'interaction faible, et l'interaction forte, l'une des quatre forces fondamentales de la physique. Lorsque l'on tient...) attractive : donc retard vers la montée, mais avance sur la descente, puis rien, puis symétriquement pour l'autre côté. L'astuce est que la self entraîne un retard dans le courant et donc il y a bien gain d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) au total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le total des dettes". En physique le...). L'amplitude des oscillations (2 degrés environ) est imposée par le bilan énergétique : l'énergie perdue pendant une oscillation, qui croit avec l'amplitude est exactement compensée par l'énergie fournie par l'électroaimant (Un électro-aimant est un organe électrotechnique produisant un champ électromagnétique lorsqu'il est alimenté en électricité. Il est constitué d'un bobinage et souvent d'une...). Certes la période du pendule est composée de deux mouvements : l'un autour de O et l'autre autour de (C)( de rayon très petit, 0,5 mm environ) : on peut le vérifier par la mesure de T (en effectuant évidemment toutes les corrections qui s'imposent (en particulier fil d'acier (L’acier est un alliage métallique utilisé dans les domaines de la construction métallique (voir aussi l’article sur la théorie du soudage de l’acier) et de la construction mécanique.) maintenu en O par un mandrin cylindrique). L'originalité du système n'est pas qu'il entretienne le pendule, MAIS que LE FROTTEMENT SOLIDE du fil sur l'anneau (C) pendant une partie du mouvement, loin de perturber la précession, est au contraire un très subtil moyen pour supprimer l'influence des conditions de lancement de départ qui sont si critiques. Celui du Palais de la Découverte (Le Palais de la découverte est un musée et centre culturel scientifique parisien. Il est situé dans le VIIIe arrondissement, avenue...) marchait sur ce principe.
  • Rappelons enfin que la thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est l'affirmation ou la prise de position d'un locuteur, à l'égard du sujet ou du thème qu'il évoque.) de Heike Kamerlingh Onnes portait sur l'expérience de Foucault et nos collègues hollandais ont bien de la chance d'avoir tous les calculs faits, dans toutes les situations possibles.

-- A améliorer/vérifier...

Divers

pendule de Foucault du Franklin Institute de Philadelphie
pendule de Foucault du Franklin Institute de Philadelphie (Philadelphie (en anglais Philadelphia) est une ville de l'État de Pennsylvanie, aux États-Unis. Quatrième agglomération du pays, Philadelphie comptait 1 463 281 habitants dans la ville même et 5 976 500...)
  • Le pendule que Foucault a installé au Panthéon en 1851 mesurait 67 mètres et portait une masse de 28 kilogrammes (Le kilogramme (symbole kg) est l’unité de masse du Système international d'unités (SI).). Une fois lancé, ce pendule oscille pendant 6h. La période (aller-retour) étant de 16,5 s, le pendule dévie de 11° par heure. Depuis 1995, ce pendule est à nouveau au Panthéon.
  • Du 7 au 19 mars 2005 : dans le cadre de 2005 : Année Mondiale de la Physique, un pendule de Foucault de 25 mètres et d'une masse de 42 kilogrammes a été installé dans la collégiale (Une collégiale est une église qui a été confiée à un collège de clercs ou chapitre collégial, c'est-à-dire à une réunion de chanoines (de nombre...) Sainte-Waudru à Mons.
  • Du 26 au 28 mai 2005 : en la cathédrale (Une cathédrale est, à l'origine, une église chrétienne où se trouve le siège de l'évêque (la cathèdre) ayant en charge un diocèse. Toutefois, il existe aujourd'hui des...) d'Auch, le pendule installé faisait 25 m de long pour une masse de 20 kg.
  • En 2005, un pendule de Foucault a été installé à Bruxelles, au fond de l'avenue (Une avenue est une grande voie urbaine. Elle est en principe plantée d'arbres, et conduit à un monument.) de Beaulieu.
  • Du 1er février au 31 octobre 2006, un pendule de Foucault est installé à Padoue, au palazzo della Ragione.
  • On peut voir un pendule de Foucault au Deutsches Museum de Munich.
  • Un pendule de Foucault est installé au Musée des Arts et Métiers de Paris.
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