Géodésique
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En géométrie, une géodésique désigne le chemin le plus court, ou l'un des chemins s'il en existe plusieurs, entre deux points d'un espace une fois qu'on s'est donné un moyen de mesurer les distances, c’est-à-dire-une métrique. Si on change la notion de distance alors l'allure des géodésique (En géométrie, une géodésique désigne le chemin le plus court, ou l'un des chemins s'il en existe plusieurs, entre deux points d'un espace une fois qu'on s'est donné un moyen de mesurer les...) de l'espace peuvent prendre une allure très différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application...).

Introduction

A l'origine, le terme géodésique vient de géodésie (du grec gaïa " terre " et daiein " partager, diviser "), la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient pour vrai...) de la mesure de la taille et de la forme de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus...). La géodesique désignait donc pour des géomètres le chemin le plus court entre deux points de l'espace (sous entendu géographique).

La transposition aux mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures,...) fait de la géodésique la généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...) de la notion de " ligne droite " aux " espaces courbes ". La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) de la géodésique dépendant donc du type d'" espace courbe ", l'acceptation précedente n'y est plus vraie que localement dans le cas où cet espace dispose d'une métrique.

Le chemin le plus court entre deux points dans un espace courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) peut être obtenu en écrivant l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités...) de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) de la courbe, et en cherchant la valeur minimale pour cette valeur. De manière équivalente, on peut définir une autre valeur, l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) de la courbe et chercher à la minimiser, ce qui aboutit aux mêmes équations pour une géodésique. Intuitivement, on peut chercher à comprendre cette seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une...) formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières...) en imaginant une bande élastique tendue entre deux points, qui, si elle suivait la géodésique, aurait une longueur minimale et donc une énergie minimale.

Les géodésiques sont souvent rencontrées dans le cadre de l'étude de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types...) riemannienne et plus généralement des géométries métriques. En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...), les géodésiques décrivent le mouvement des particules libres, c'est-à-dire lorsqu'elles ne sont pas soumises à une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale »...) externe (autre que la gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) dans le cadre de la relativité générale); en particulier, le chemin suivi par un rocher en chute libre, un satellite (Satellite peut faire référence à :) en orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) ou la forme d'une orbite planétaire (Un planétaire désigne un ensemble mécanique mobile, figurant le système solaire (le Soleil et ses planètes) en tout ou partie....) sont tous décrits par des géodésiques de la théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein...) générale. Par contre la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) d'un spationaute (Un spationaute, terme non utilisé réellement, indique en fait "astronaute" ou "cosmonaute" qui sont utilisés dans le monde. C'est un membre de l'équipage d'un spationef, c’est-à-dire d'un appareil conçu pour...) en route (Le mot « route » dérive du latin (via) rupta, littéralement « voie brisée », c'est-à-dire creusée dans la roche, pour ouvrir le chemin.) pour la Lune (La Lune est l'unique satellite naturel de la Terre et le cinquième plus grand satellite du système solaire avec un diamètre de 3 474 km. La distance moyenne...) dans une fusée (Fusée peut faire référence à :) n'est pas une géodésique en raison de la force de poussée (En aérodynamique, la poussée est la force exercée par le déplacement de l'air brassé par un moteur, dans le sens inverse de l'avancement.) exercée par le moteur (Un moteur (du latin mōtor : « celui qui remue ») est un dispositif qui déplace de la matière en apportant de la puissance. Il effectue ce travail à partir d'une énergie...) de l'engin.

Exemples

Mathématiques euclidiennes

Les exemples les plus familiers de géodésiques sont les lignes droites en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une...). Sur une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les...), les géodésiques sont les grands cercles. Le chemin le plus court entre un point (Graphie) A et un point B sur une sphère est donné par la plus petite portion du grand cercle (En géométrie, un grand cercle est un cercle tracé à la surface d'une sphère qui a le même diamètre qu'elle et la divise en deux hémisphères égaux. D'une manière...) passant par A et B. Si A et B sont aux antipodes (comme le pôle Nord (Le pôle Nord géographique terrestre, ou simplement pôle Nord, est le point le plus septentrional de la planète Terre. Il est défini comme le point d’intersection de...) et le pôle Sud), il existe une infinité de plus courts chemins.

Géographie (La géographie (du grec ancien γεωγραφία - geographia, composé de "η γη" (hê...)

Un repère géodésique (système géodésique) est une façon de repérer un lieu proche de la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...) terrestre (par exemple par la latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.) et la longitude). C'est un repère en trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) (une planisphère (Un planisphère est une représentation plane de l'ensemble de la surface d'une sphère sous la forme de deux hémisphères, en particulier en cartographie (géographique). Le terme de mappemonde est, dans son sens strict, équivalent, mais...) n'en a que deux) dans un repère euclidien.

Si on assimile la Terre à une sphère, les géodésiques sont des arcs de cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...) aussi nommées "arcs de grand cercle", ou "orthodromies". Ce n'est qu'une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une...) de la réalité, la forme de le Terre étant proche de celle d'un ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour...) de révolution.

Physique

Représentation de trois types de géodésique dans un champ de gravitation. La première correspond à un corps initialement au repos et qui tombe directement vers la source du champ de gravitation. La seconde, circulaire, correspond à un corps en orbite, comme une planète autour du Soleil par exemple. La dernière enfin correspond à un corps venant de loin et dont la trajectoire est déviée par la présence d'un champ de gravité. C'est le cas de la lumière d'une étoile passant à proximité du Soleil, c'est l'effet de lentille gravitationnelle.
Représentation de trois types de géodésique dans un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de gravitation. La première correspond à un corps initialement au repos et qui tombe directement vers la source du champ de gravitation. La seconde, circulaire, correspond à un corps en orbite, comme une planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de l'Univers et possédant une masse suffisante pour...) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco, Megatriorchis,...) du Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une étoile de type naine jaune, et composée...) par exemple. La dernière enfin correspond à un corps venant de loin et dont la trajectoire est déviée par la présence d'un champ de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.). C'est le cas de la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière est...) d'une étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une énorme boule de plasma comme le Soleil, qui est l'étoile la plus proche de la Terre.) passant à proximité du Soleil, c'est l'effet de lentille gravitationnelle (Les lentilles gravitationnelles déforment l'image que l'on reçoit d'un objet astronomique comme une galaxie.).

En physique, la géodésique est une généralisation de cette application terrestre. Au lieu d'avoir un obstacle matériel à contourner, il s'agit par exemple d'un champs de force modifiant la trajectoire.

Les sondes Voyager ont, par exemple, suivi un itinéraire spatial courbé (comme sur l'image ci-contre), à chaque passage à proximité d'une planète. Leur trajet, que l'on pourrait comparer à une forme de spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.) est pourtant le chemin le plus rapide.

La relativité restreinte (On nomme relativité restreinte une première version de la théorie de la relativité, émise en 1905 par Albert Einstein, qui ne considérait pas la question des accélérations d'un référentiel, ni les interactions d'origine gravitationnelles....) d'Einstein, en reliant la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La...) à l'énergie a permis d'appliquer le concept de géodésique à des éléments qui jusque-là semblaient y échapper, comme la lumière.

Cela se concrétise par exemple en astrophysique par le fait que la présence d'une étoile entre une source de lumière et un observateur courbe le trajet optimal que la lumière doit effectuer pour arriver jusqu'à lui.

La relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une théorie...), en reliant le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) à un espace courbe à quant à elle permis de lier la notion d'orbite et celle de géodésique.

l'orbite de la terre autour du soleil est alors son chemin logique, dans l'espace temps, qui résulte du mélange (Un mélange est une association de deux ou plusieurs substances solides, liquides ou gazeuses qui n'interagissent pas chimiquement. Le résultat de l'opération est une préparation aussi appelée...) de son élan et de sa chute vers le soleil.

Applications géométriques

Géométrie métrique

En géométrie métrique, une géodésique est une courbe suivant partout localement la distance minimale. Plus précisément, une courbe paramétrique γ: IM depuis l'intervalle unité I vers l'espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est...) M est une géodésique s'il existe une constante v ≥ 0 telle que pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) tI il existe un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme...) J de t dans I tel que pour tous t1, t2J l'on ait :

d(\gamma(t_1),\gamma(t_2))=v|t_1-t_2|.\,

Ceci généralise la notion de géodésique pour les variétés riemanniennes. Cependant, en géométrie métrique, les géodésiques considérées sont presque toujours équipées d'une paramétrisation naturelle, ce qui se définit par le fait que v = 1 et

d(\gamma(t_1),\gamma(t_2))=|t_1-t_2|.\,

Géométrie (pseudo-)riemannienne

Sur une variété pseudo-riemannienne, une géodésique M est définie par une courbe paramétrée régulière γ(t) qui transporte parallèlement son propre vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur,...) tangent.

Pour comprendre intuititvement ce que cela signifie, on peut imaginer un avion de ligne (Un avion de ligne désigne un appareil utilisé pour le transport de passagers sur des bases commerciales. Ils sont, le plus souvent, exploités par des compagnies...) volant à altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau de base. C'est une des composantes géographique et...) constante autour de la Terre, allant de Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre...) à Pékin (Pékin (ou Beijing) (?? ; pinyin : B?ij?ng   Écouter la prononciation en mandarin , « la capitale du nord ») est la capitale et l'un des centres...) par le chemin le plus court. Du point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) des passagers, la direction de l'avion (Un avion, selon la définition officielle de l'Organisation de l'aviation civile internationale (OACI), est un aéronef plus lourd que l'air, entraîné par un organe moteur (dans le cas d'un...) est en permanence la même. À la fin du voyage (Un voyage est un déplacement effectué vers un point plus ou moins éloigné dans un but personnel (tourisme) ou professionnel (affaires). Le voyage...), les passagers n'ont jamais ressenti d'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique,...) qui leur aurait fait changer de direction : d'après eux ils ont pris le chemin le plus court. Néanmoins, si on considère le référentiel centré sur la Terre, le vecteur décrivant la vitesse (On distingue :) de l'avion a changé de direction au court du temps pour suivre la forme de la planète. Cette modification du vecteur vitesse de l'avion de façon adaptée à la géométrie dans laquelle il se déplace correspond précisément à ce qu'on entend par transport parallèle.

En termes mathématiques, ceci s'exprime de la manière suivante, avec γ(λ) la courbe paramétrée représentant la géodésique et en notant

\frac{{\rm d} \gamma(\lambda)}{{\rm d}\lambda} =V=V^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}:

le vecteur tangent à la courbe (le vecteur vitesse si on identifie λ avec le temps dans le référentiel du voyageur) dans le référentiel correspondant aux coordonnées xμ

\frac{{\rm d}}{{\rm d}\lambda} V = \nabla_{V}V = V^{\mu}\nabla_{\mu} V = 0.

où ∇ est la connexion de Levi-Civita sur M (équivalente à la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression...) covariante)

A partir de cette définition et de l'expression en composant de la connexion de Levi-Civita, on obtient l'équation de la géodésique :

\frac{d^2 x^\alpha}{d \lambda ^2} + {\Gamma^{\alpha}}_{\gamma \beta} \frac{dx^\gamma}{d \lambda} \frac{dx^\beta}{d \lambda} = 0

Les géodésiques sont donc, dans la variété, des courbes paramétriques répondant à cette équation différentielle. Les {\Gamma^{\alpha}}_{\gamma \beta} sont les symboles de Christoffel, qui dépendent directement du tenseur métrique : ils représentent la déformation infinitésimale de l'espace par rapport à un espace plat.

Pour comprendre intuitivement la première formulation, l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) V^{\mu}\nabla_{\mu} représente l'accélération le long de γ(λ). L'équation géodésique dit donc que l'accélération du vecteur tangent à la courbe le long de la courbe est nulle.

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