Pi
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Introduction

Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.

Pi (ou parfois constante d'Archimède) est un nombre, généralement représenté par la lettre grecque du même nom π, et généralement défini comme étant le rapport entre la circonférence d’un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle....) quelconque et son diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment. Pour indiquer qu'une valeur...), en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces...). On peut également le définir comme le rapport entre la superficie (L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent cette mesure par le terme « surface » lui-même (par...) d'un cercle et le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles...) de son rayon. La valeur de pi arrondie à 10^-6 est 3,141593 en écriture décimale. De nombreuses formules, dans des domaines tels que la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la nature ;...), l'ingénierie (L'ingénierie désigne l'ensemble des fonctions allant de la conception et des études à la responsabilité de la construction et au contrôle des équipements d'une installation technique ou industrielle.) et bien sûr les mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...), impliquent π, qui est une des constantes les plus importantes des mathématiques.

π est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) irrationnel, c'est-à-dire qu'on ne peut pas l'exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n'est ni finie, ni périodique. C'est aussi un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n'existe pas de polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent...) non nul à coefficients entiers dont π soit une racine ; la preuve de ce résultat en 1882 est due à Ferdinand von Lindemann. La détermination d'une valeur approchée suffisamment précise de π et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l'histoire des mathématiques ; la fascination exprimée par certains envers ce nombre l'a même fait entrer dans la culture (La Culture est une civilisation pan-galactique inventée par Iain M. Banks au travers de ses romans et nouvelles de science-fiction. Décrite avec beaucoup de...) populaire.

L'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) en ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) de la lettre grecque π, première lettre de « περίμετρος » — périmètre en grec, n'est apparu qu'au XVIIIe siècle.

Définition et premières propriétés

Définition

Circonférence = π × diamètre

Dans les dictionnaires et ouvrages généralistes, π est défini comme le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre (forcément dans le plan usuel qui est le plan euclidien).

 \pi = \frac{C}{d}.

Ce rapport ne dépend pas du cercle choisi, en particulier de sa taille. Tous les cercles du plan euclidien sont semblables. Par exemple, si un cercle a le double du diamètre d d'un autre cercle, il aura aussi le double de sa circonférence C.

On démontre que π est aussi le rapport entre la superficie d'un cercle et le carré de son rayon :

 \pi = \frac{A}{r^2}.

Il s'avère que cette définition géométrique, la première historiquement et très intuitive, n'est pas la plus directe pour les mathématiciens quand ils veulent définir π en toute rigueur. Les ouvrages plus spécialisés définissent π par l'analyse réelle à l'aide des fonctions trigonométriques elles-mêmes introduites sans référence à la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces (géométrie...) (voir plus bas).

Définitions alternatives

Un choix fréquent est de définir π comme le double du plus petit nombre positif x tel que cos(x) = 0. Une autre définition possible est envisageable en considérant les propriétés exp(z+w)=exp(z)exp(w) et exp(0)=1 qui découlent de la définition analytique de l’exponentielle et qui font que l’application \scriptstyle t \mapsto \exp(it) est un morphisme de groupes continu du groupe \scriptstyle (\R,+) vers le groupe \scriptstyle (\mathbb{U},\times) (où \scriptstyle \mathbb{U} est l’ensemble des complexes de module égal à 1). On démontre alors que l’ensemble des nombres réels t tels que exp(it) = 1 est de la forme \scriptstyle a\Za est un réel strictement positif. On pose alors π = a / 2. Le calcul intégral (Le calcul intégral est la deuxième des idées du calcul infinitésimal.) permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la géométrie euclidienne.

Le groupe Bourbaki propose une définition alternative (Alternatives (titre original : Destiny Three Times) est un roman de Fritz Leiber publié en 1945.) très voisine en démontrant l’existence d’un morphisme de groupe f continu de \scriptstyle (\R,+) vers \scriptstyle (\mathbb{U},\times) tel que f(1/4) = i. Il démontre que ce morphisme est périodique de période 1, dérivable et qu’il existe un réel a tel que, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) réel x, f'(x) = 2iaf(x). Il définit π comme le réel ainsi trouvé.

Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à calculer le périmètre du cercle, qu'on a défini par la fonction \scriptstyle t \mapsto e^{it}, ou la fonction \scriptstyle t \mapsto e^{2i\pi t}

Mais on peut aussi définir π grâce au calcul intégral en posant :

 {\pi \over 4} =\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx\,

ce qui revient à calculer l’aire d’un quart de disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en...) de rayon 1.

Ou bien à l’aide du dénombrement, en appelant \scriptstyle \varphi(n) le nombre de couples d’entiers naturels (k, p) tels que \scriptstyle k^2+p^2 \le n^2 et en définissant :

\frac{\pi}{4}= \lim_{n \mapsto \infty} \frac{\varphi(n)}{n^2}

ce qui est une autre méthode pour calculer la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet...) du quart de disque.

Irrationalité

π est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu'on ne peut pas écrire π=p/qp et q seraient des nombres entiers. Al-Khawarizmi, au IXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge du...), est persuadé que π est irrationnel. Moïse Maïmonide fait également état de cette idée durant le XIIe siècle. Ce n'est cependant qu'au XVIIe siècle que Johann Heinrich Lambert (Johann Heinrich Lambert (26 août 1728 à Mulhouse - 25 septembre 1777 à Berlin) est un mathématicien, physicien et astronome alsacien du XVIIIe siècle, en fait suisse et allemand...) prouve ce résultat.

C'est en 1761 que ce dernier étudie, dans son ouvrage « Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques », le développement en fraction continue de la fonction trigonométrique (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des côtés d'un...) tan et montre que le développement en fraction continue de tan(m/n), avec m et n des nombres entiers non nuls, est illimité. Il s'écrit plus précisément

\tan \left(\frac mn\right) = \frac{m \mid}{\mid n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 3n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 5n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 7n} + \cdots

Or, on sait qu’un nombre dont le développement en fraction continue est illimité est irrationnel, donc quand x est un rationnel non nul, tan(x) est irrationnel. Or, tan(π/4) vaut 1, c’est un rationnel. Par contraposée, on prouve que π/4, et donc π, n’est pas rationnel.

Au cours du XXe siècle, d'autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du calcul intégral. L'une d'entre elles, due à Ivan Niven, est très largement connue. Une preuve similaire avait été trouvée quelques temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) auparavant par Mary Cartwright.

Transcendance

π est aussi un nombre transcendant, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de polynôme à coefficients rationnels dont π soit une racine.

C'est au XIXe siècle que ce résultat est démontré. En 1873, Charles Hermite prouve que la base du logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a...) népérien, le nombre e, est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann généralise son raisonnement en un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) (le Théorème d'Hermite-Lindemann) qui stipule (En botanique, les stipules sont des pièces foliaires, au nombre de deux, en forme de feuilles réduites située de part et d'autre du pétiole, à sa base, au point d'insertion sur la tige.) que, si x est algébrique et différent de zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une...), alors ex est transcendant. Or e = -1 donc e n’est pas transcendant. Par contraposée, iπ n’est pas algébrique et π est transcendant.

Une conséquence importante de la transcendance de π est que celui-ci n'est pas constructible (On qualifie de constructible une chose qui peut être construite ou qui peut accueillir une construction (matérielle ou non).). En effet, le théorème de Wantzel (Le théorème de Wantzel précise les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre soit constructible. Il peut s'énoncer de la manière suivante) énonce en particulier que tout nombre constructible (Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle et au compas.) est algébrique. En raison du fait que les coordonnées de tous les points pouvant se construire à la règle et au compas sont des nombres constructibles, la quadrature du cercle est impossible ; autrement dit, il est impossible de construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont la superficie serait égale à celle d'un cercle donné.

Représentation décimale

Les 100 premiers chiffres de l'écriture décimale de π sont :

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 , puis voir pour plus de décimales.

Alors qu'en 2007, on connaît plus de 1012 décimales de π, de nombreuses applications n'ont besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les besoins secondaires et les...) que d'une dizaine de chiffres, comme l'estimation de la circonférence d'un cercle. Par exemple, la représentation décimale de π tronquée à 39 décimales est suffisante pour estimer la circonférence d'un cercle dont les dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) sont celles de l'univers observable (L'univers observable est un terme utilisé en cosmologie pour décrire la partie visible de notre Univers. Par définition même, la limite de cette partie visible est...) avec une précision comparable à celle du rayon d'un atome (Un atome (grec ancien ἄτομος [atomos], « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un...) d'hydrogène (L'hydrogène est un élément chimique de symbole H et de numéro atomique 1.).

Étant donné que π est un nombre irrationnel, sa représentation décimale n'est pas périodique et ne prend pas fin. La séquence des décimales de π a toujours fasciné les mathématiciens et les amateurs, et beaucoup d'efforts ont été mis en œuvre afin d'obtenir de plus en plus de décimales et d'en rechercher certaines propriétés. Malgré les importants travaux d'analyse effectués et les calculs qui ont réussi à déterminer plus de 200 milliards de décimales de π, aucun modèle simple n'a été trouvé pour décrire la séquence de ces chiffres. Les chiffres de la représentation décimale de π sont disponibles sur de nombreuses pages web, et il existe des logiciels de calcul des décimales de π qui peuvent en générer des milliards et qu'on peut installer sur un ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits...) personnel.

Par ailleurs, le développement décimal (En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des nombres réels positifs à l'aide des puissances de 10 (négatives ou...) de π ouvre le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) à d’autres questions, notamment celle de savoir si π est un nombre normal, c'est-à-dire que ses chiffres en écriture décimale sont équirépartis. On peut aussi se demander si π est un nombre univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), ce qui signifie qu'on peut trouver dans son développement décimal n’importe quelle séquence de chiffres. En 2006, il n'existe pas de réponse à ces questions.

Représentation fractionnaire

Les fractions de nombres entiers suivantes sont utilisées pour mémoriser ou approximer Pi dans des calculs (nombre de chiffres significatifs entre parenthèses): 3 / 1 (1); 22 / 7 (3); 333 / 106 (5); 355 / 113 (7); 103993 / 33102 (9); 104348 / 33215 (10); 208341 / 66317 (10), à comparer à PI=3,141 592 653 589 793 238 462 ...

Voir ci dessous pour d'autres approches fractionnaires (Histoire,Approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une...) numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à...), fractions continues et Pi#Mémorisation de π).

Approximation de π

On peut trouver une valeur approchée de π de façon empirique, en traçant un cercle, puis en mesurant son diamètre et sa circonférence, puis en divisant la circonférence par le diamètre. Une autre approche géométrique, attribuée à Archimède, consiste à calculer le périmètre Pn d'un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments...) régulier à n côtés et à mesurer le diamètre d de son cercle circonscrit, ou celui de son cercle inscrit. Plus le nombre de côtés du polygone est grand, meilleure est la précision obtenue pour la valeur de π.

Archimède a déterminé la précision de cette approche en comparant les résultats obtenus par la formule en utilisant deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, et pour lesquels le cercle est pour l'un cercle circonscrit, et pour l'autre cercle inscrit. Il a réussi, avec un polygone à 96 côtés, à déterminer que 3 + 1071 < π < 3 + 17.

On peut également obtenir des valeurs approchées de π en mettant en œuvre seulement des méthodes purement mathématiques. La plupart des formules utilisées pour calculer π se basent sur ses propriétés mathématiques et demandent pour les comprendre des connaissances en trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et...) et en calcul intégral. Cependant, certaines n'ont pas ce défaut, comme la formule de Leibniz :

\pi = 4\sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}\cdots.\!

Cette série converge si lentement que près de 300 termes sont nécessaires pour calculer π à 2 décimales près. Cependant, il est possible de définir une suite similaire qui converge vers π beaucoup plus rapidement, en posant

\pi_{0,1} = \frac{4}{1},\ \pi_{0,2} =\frac{4}{1}-\frac{4}{3},\ \pi_{0,3} =\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5},\ \pi_{0,4} =\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}, \cdots\!

et en définissant :

\pi_{i,j} = \frac{\pi_{i-1,j}+\pi_{i-1,j+1}}{2}\text{ pour tout }i,j\ge 1.

Le calcul de π10,10 demande alors un temps similaire à celui requis pour calculer les 150 premiers termes de la série initiale, mais la précision est bien meilleure car \pi_{10,10}=3.141592653\ldots approche π à 9 décimales près.

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