Produit vectoriel - Définition et Explications

Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...). Les travaux de Hermann Günther Grassmann (Hermann Günther Grassmann (15 avril 1809 à Stettin -...) et William Rowan Hamilton sont à l'origine du produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel...) défini par Gibbs[2],[3].

Histoire

Résumé[2]

En 1843, Hamilton inventa les quaternions qui permettent de définir le produit vectoriel. Indépendamment et à la même période (1844) Grassmann définissait dans Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik un " produit géométrique " à partir de considérations géométriques ; mais il ne parvient pas à définir clairement un produit vectoriel. Puis Grassmann lit Hamilton et s'inspire de ses travaux pour publier en 1862 une deuxième version de son traité qui est nettement plus claire[4]. De même, Hamilton a lu les travaux de Grassmann et les a commentés et appréciés[5]. Plus tard Maxwell commença à utiliser la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des quaternions pour l'appliquer à la physique. Après Maxwell, Clifford modifia profondément le formalisme de ce qui devenait l'analyse vectorielle (L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de...). Il s'intéressa aux travaux de Grassmann et Hamilton avec une nette (Le terme Nette est un nom vernaculaire attribué en français à plusieurs espèces...) préférence pour le premier[3]. En 1881, Gibbs publia Elements of Vector Analysis Arranged for the Use of Students of Physics s'inspirant des travaux déjà réalisés notamment ceux de Clifford et Maxwell. Si les physiciens se sont empressés d'utiliser le formalisme de Gibbs, celui-ci ne fut accepté en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) que bien plus tard après plusieurs modifications.

Anecdote

Peter Guthrie Tait dans la préface de la troisième édition de son traité sur les quaternions qualifia le nouveau formalisme créé par Gibbs de " monstre hermaphrodite, composé des notations de Hamilton et Grassmann "[6].

Notation

Plusieurs notations sont en concurrence pour le produit vectoriel :

  • En France, le produit vectoriel de u et de v est noté u\wedgev où le V inversé se lit wedge. Cette notation a été initiée par Cesare Burali-Forti et Roberto Marcolongo en 1908[7]. Son inconvénient est de rentrer en conflit avec la notation du produit extérieur.
  • Dans la littérature anglophone, le produit vectoriel est noté u×v. Cette notation est due à Josiah Willard Gibbs[6]. Son inconvénient est d'induire une confusion éventuelle avec le produit des réels, le produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé...) ou le cross produit. Mais ces produits ne portent pas sur des objets de même nature.
  • Une troisième notation est l'utilisation des crochets de Lie : \left[\vec u\, , \vec v\right][8].

Dans cet article, on utilise la première convention.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...)

Produit vectoriel

Soit E un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) euclidien orienté de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 3. Par le choix d'une base orthonormée, E peut être identifié avec l'espace R3, mais cette identification n'est pas obligatoire pour définir le produit vectoriel.

D'un point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) géométrique, le produit vectoriel de deux vecteurs \vec u et \vec v de E se définit comme l'unique vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) \vec w tel que :

  • le vecteur \vec w est orthogonal aux deux vecteurs donnés ;
  • la base (\vec{u},\vec{v}, \vec{w}) est de sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) direct ;
  • \|\vec w\| = \|\vec u\| \cdot \|\vec v\| \cdot \sin(\widehat{\vec u,\vec v}).

La notion d'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil...) peut ici être comprise de manière élémentaire en utilisant la règle de la main (La main est l’organe préhensile effecteur situé à...) droite : le pouce, l'index et le majeur écartés en un triède indiquent respectivement le sens de u, de v et de w. Cette définition, utilisée dans l'enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une...) secondaire, n'est pas totalement satisfaisante.

Définition par le produit mixte

Une seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) définition utilise la théorie des déterminants et la notion de produit mixte comme point de départ. Le produit mixte de trois vecteurs u,v,w, noté [u,v,w], est le déterminant de ces trois vecteurs dans une base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une...) directe quelconque. La formule de changement de base montre que ce déterminant est indépendant du choix de la base ; géométriquement il est égal au volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) orienté du parallélépipède (En géométrie dans l'espace, les parallélépipèdes sont des hexaèdres dont les six faces sont...) appuyé sur les vecteurs u, v, w. Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est l'unique vecteur u\wedgev tel que, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) w, on a :

\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w\,.

L'existence et l'unicité d'un tel vecteur sont un cas particulier simple du théorème de Riesz (Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien...). Le produit vectoriel s'interprète comme les variations du volume orienté d'un parallélépipède en fonction du troisième côté


Calcul en composantes

Le choix d'une base orthonormée directe donne une identification de E et de R3. Notons les coordonnées u=(u1,u2,u3) et v=(v1,v2,v3). Leur produit vectoriel est donné par :

u\wedge v=\begin{pmatrix} u_2v_3-u_3v_2\\ u_3v_1-u_1v_3\\ u_1v_2-u_2v_1 \end{pmatrix}

Cette identité pourrait être prise comme une troisième définition, à condition de prouver que le vecteur obtenu est indépendant de la base orthonormale directe choisie pour le calculer.


Propriétés

Propriétés algébriques

Le produit vectoriel est un produit distributif, anticommutatif, non associatif :

  • Distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z...) sur l'addition :
    \vec u\wedge(\vec v+\vec w) = \vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w,
  • Compatibiité avec la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) par un scalaire :
    \lambda (\vec u\wedge\vec v) = \lambda\vec u\wedge\vec v = \vec u\wedge\lambda\vec v,
  • Anticommutativité :
    \vec u\wedge\vec v = -\vec v\wedge\vec u
  • Non-associativité :
    \vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w) \ne (\vec u\wedge\vec v)\wedge\vec w

Ces propriétés découlent immédiatement de la définition du produit vectoriel par le produit mixte et des propriétés algébriques du déterminant.

Comme crochet de Lie, le produit vectoriel satisfait l'identité de Jacobi :

  • \vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w) + \vec w\wedge(\vec u\wedge\vec v) + \vec v\wedge(\vec w\wedge\vec u) = \vec 0

D'autre part, il satisfait aux identités de Lagrange :

\vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w) = (\vec u\cdot\vec w)\vec v - (\vec u\cdot\vec v)\vec w
(\vec u\wedge\vec v)\wedge\vec w = (\vec u\cdot\vec w)\vec v - (\vec v\cdot\vec w)\vec u

En partant de l'identité algébrique :

\left((bc'-b'c)^2+(ca'-c'a)^2+(ab'-a'b)^2\right) + (aa'+bb'+cc')^2 = (a^2+b^2+c^2)\cdot (a'^2+b'^2+c'^2),

on peut démontrer facilement l'égalité (aussi appelée identité de Lagrange) :

\|\vec u\wedge\vec v\|^2 + (\vec u\cdot\vec v)^2 = \|\vec u\|^2\cdot \|\vec v\|^2

que l'on peut aussi écrire sous la forme :

\left(\frac{\|\vec u\wedge\vec v\|}{\|\vec u\|\cdot \|\vec v\|}\right)^2 + \left(\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\cdot \|\vec v\|}\right)^2 = 1\,

ce qui équivaut à l'identité trigonométrique :

\sin^2(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) + \cos^2(\widehat{\vec{u},\vec v}) = 1,

et qui n'est rien d'autre qu'une des façons d'écrire le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...).

Invariance par isométries

Le produit vectoriel est invariant par l'action des isométries vectorielles directes. Plus exactement, pour tous vecteurs u et v de E et pour toute rotation f de E, on a :

f\left[u\wedge v\right]=f(u)\wedge f(v).

Cette identité peut être prouvée différemment suivant l'approche adoptée :

Définition géométrique : L'identité est immédiate avec la première définition, car f préserve l'orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire...), l'orientation et les longueurs.

Produit mixte : L'isomorphisme linéaire f laisse invariant le produit mixte de trois vecteurs. En effet, le produit mixte de f(u), f(v), f(w) peut être calculé dans l'image par f de la base orthonormée directe dans la quelle le produit mixte de u, v et w est calculé. De fait, l'identité précédente s'obtient immédiatement :

(f(u)\wedge f(v))\cdot f(w)=[f(u),f(v),f(w)]=[u,v,w]=(u\wedge v)\cdot w\,.

Définitions alternatives (Alternatives (titre original : Destiny Three Times) est un roman de Fritz Leiber publié...)

Comme produit de Lie

Toute isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie...) directe de R3 est une rotation vectorielle. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des isométries directes forme un groupe de Lie (En mathématiques, un groupe de Lie est un groupe qui est continu, c'est-à-dire que chaque...) classique noté SO(3) (autrement dit, un sous-groupe fermé de GL3(R)). Son algèbre de Lie (En mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien...), notée so(3) est la sous-algèbre de Lie de gl3(R) définie comme l'espace tangent de SO(3) en l'identité. Un calcul direct montre qu'il est l'espace des matrices antisymétriques de taille 3. Cet espace est a fortiori stable par le crochet de Lie.

Toute matrice antisymétrique (En algèbre linéaire, une matrice carrée A est dite antisymétrique si sa transposée est égale...) M de taille 3 s'écrit de manière unique :

M=\begin{pmatrix} 0 & a & -b\\ -a & 0 & c\\ b & -c & 0 \end{pmatrix}.

En identifiant (En informatique, on appelle identifiants (également appelé parfois en anglais login) les...) M et le vecteur (a,b,c), on définit un isomorphisme linéaire entre so(3) et R3. Le crochet de Lie se transporte via cet isomorphisme, et R3 hérite d'une structure d'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) de Lie. Le crochet [u,v] de deux vecteurs est précisément le produit vectoriel de u et de v.

En effet, si u1=(a1, b1, c1), et u2=(a2, b2, c2), leur crochet se calcule en introduisant les matrices antisymétriques correspondantes M1 et M2 :

[M_1,M_2]=M_1M_2-M_2M_1=\begin{pmatrix} 0 & bc'-b'c & ac'-a'c\\ b'c -bc' & 0 & ab'-a'b\\ a'c-ac' & a'b-ab' & 0 \end{pmatrix}

Le vecteur correspondant, à savoir [u,v], a donc pour coordonnées (bc'-b'c,ca'-c'a,ab'-a'b). Cette approche redéfinit donc le produit vectoriel.

Si on suit cette approche, il est possible de prouver directement l'invariance du produit vectoriel par isométries

f\left[u\wedge v\right]=f(u)\wedge f(v).

En tant qu'algèbres de Lie, so(3) a été identifié à R3. L'action (linéaire) de SO3(R) sur R3 s'identifie à l'action par conjugaison sur so(3). SO3(R) opère donc par automorphisme d'algèbres de Lie. Autrement dit, l'identité ci-dessus est vérifiée.

Comme produit de quaternions imaginaires

Il est possible de retrouver produit vectoriel et produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) à partir du produit de deux quaternions purs. Pour rappel, le corps (non commutatif) des quaternions H est l'unique extension de R de dimension 4. Sa base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière...) est (1,i,j,k) où le sous-espace engendré par i, j, k forme l'espace des quaternions purs, canoniquement identifié avec R3. Ces éléments vérifient :

i^2 = j^2 = k^2 = -1\, ;
ij=-ji=k\quad ;\quad jk=-kj=i\quad ;\quad ki=-ik=j.

Si q1=a1i+b1j+c1k et q2 = a2i+b2j+c2k, le produit q1q2 se calcule immédiatement :

q1q2 = − (a1a2 + b1b2 + c1c2) + (b1c2b2c1)i + (c1a2c2a1)j + (a1b2a2b1)k.

La partie réelle est au signe près le produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) de q1 et de q2, la partie imaginaire est un quaternion (Un quaternion est un type de nombre hypercomplexe. L'ensemble des quaternions, noté ,...) pur qui correspond au produit vectoriel, après identification avec R3.

Cette coïncidence trouve ses explications dans le paramétrage (En mathématiques, le paramétrage est un des procédés fondamentaux de...) du groupe SO(3) par les quaternions unitaires.


Il est de nouveau possible de justifier l'invariance par isométrie. Toute isométrie de l'espace des quaternions imaginaires s'écrit comme la conjugaison par un quaternion unitaire. Si q est un quaternion unitaire, et q1, q2 sont des quaternions imaginaires, il suffit de constater :

\left[qq_1\overline{q}\right].\left[qq_2\overline{q}\right]=q(q_1q_2)\overline{q}

pour en déduire l'invariance par isométrie du produit vectoriel.

Par le produit tensoriel (Tenseur)

Soient deux vecteurs à trois composantes ui et vj. On peut définir le tenseur (Tenseur)

u\otimes v =\begin{pmatrix} u_1 v_1 & u_1 v_2 & u_1 v_3 \\ u_2 v_1 & u_2 v_2 & u_2 v_3 \\ u_3 v_1 & u_3 v_2 & u_3 v_3 \\ \end{pmatrix}

qui, en notation tensorielle, s'écrit simplement :

[u\otimes v]_{ij}= u_i\cdot v_j

Ce tenseur peut se décomposer en la demi-somme de deux tenseurs, l'un complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) symétrique :

[u\odot v]_{ij}=u_i\cdot v_j + u_j\cdot v_i

qui a 6 composantes indépendantes, et l'autre complètement anti-symétrique :

[u\wedge v]_{ij}=u_i\cdot v_j - u_j\cdot v_i

qui a 3 composantes indépendantes. On peut alors " transformer " ce tenseur anti-symétrique en un vecteur à trois composantes en utilisant le symbole de Levi-Civita (Le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un indicateur...) \varepsilon_{ijk} (ce dernier est un pseudo-tenseur dont la définition fait intervenir la métrique et l'orientation) :

z_k = \varepsilon_{ijk} \cdot (u_i\cdot v_j - u_j\cdot v_i )

(selon la convention de sommation d'Einstein, on somme sur i et sur j dans la formule ci-dessus). Le vecteur zk est le produit vectoriel de ui et vj.

On voit que si l'on échange les indices i et j, le signe change, ce qui illustre l'antisymétrie du produit vectoriel. En outre le résultat est un " pseudovecteur " puisqu'il est renversé si on change l'orientation de l'espace.

Applications

On définit l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) rotationnel comme suit :

\overrightarrow\operatorname{rot} \ \vec u = \vec \nabla \wedge \vec u=\begin{vmatrix}  \vec i & \vec j & \vec k \\  \partial_x  & \partial_y & \partial_z   \\  u_x & u_y & u_z  \end{vmatrix}.
En mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) du solide, c'est une opération très employée notamment dans la relation de Varignon qui lie les deux champs vectoriels d'un torseur (Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide...). D'autre part, les lois de Maxwell sur l'électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude...) s'expriment à travers l'opérateur rotationnel, ainsi que les équations de la mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides...), notamment celles de Navier-Stokes.

Le moment d'une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) est défini comme le produit vectoriel de cette force \scriptstyle\vec F par le vecteur \scriptstyle\vec{AP} reliant son point d'application A au pivot P considéré :

\vec M_{\vec F/P} = \vec F\wedge\vec{AP} = \vec{PA}\wedge\vec F.
C'est une notion primordiale en mécanique du solide.
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