Extension algébrique
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les éléments sont algébriques sur K c’est-à-dire sont racines d'un polynôme non nul à coefficients dans K. Dans le cas contraire, l'extension est dite transcendante.

Cette approche permet dans un premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de pallier les insuffisances de certains corps, par exemple celui des Nombres réels quant aux solutions des équations polynômiales. Elle offre enfin une structure adaptée pour mieux comprendre la structure d'un corps. Les extensions algèbriques sont le support des analyses qui permettent par exemple de résoudre les problèmes de l'antiquité comme la Duplication du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus...) ou la résolution d'équations polynômiales par radicaux décrit dans le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) d'Abel.

Motivations

La première formalisation de la notion d'extension algébrique (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les éléments sont algébriques sur K...) provient d'une tentative par Ernst Kummer (1810-1893) de démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à...) du dernier théorème de Fermat. Un article de 1846 définit la notion de nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la...) qui aboutira à la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de Richard Dedekind (1831-1916) du concept d'idéal en 1871. Kummer analyse les propriétés d'une extension algébrique engendrée par une racine de l'unité, ce qu'on appelle aujourd'hui extension kummerienne. La formalisation définitive est publiée en 1857[1]. Cet outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la...) permet par exemple de prouver le théorème de Fermat pour une certaine classe de nombres premiers, les nombres premiers réguliers, qui comprend tous les premiers plus petits que 100, à l'exception de 37, 59 et 67 (et bien sûr 2).

Cette démarche consiste à définir des structures algébriques abstraites comme les groupes, les anneaux les corps ou les espaces vectoriels. Elle s'inscrit dans une mouvement qui démarre avec les travaux d'Évariste Galois (1811-1832) où est définie la première structure abstraite : celle des groupes[2]. Ces travaux sont à l'origine de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures...) moderne. Les travaux de Kummer prennent tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) leur sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) comme complément de ceux de Galois, et une extension algébrique particulièrement importante est l'extension de Galois. Les propriétés générales de ces structures permettent de résoudre des problèmes de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne)...), d'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On...) ou d'algèbre ouverts depuis longtemps.

En géométrie, trois des quatre grands problèmes de l'antiquité sont résolus à l'aide de cette approche. Ils proviennent tous de constructions à l'aide de la rêgle et du compas. On y trouve la trisection de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.), la duplication du cube et la constructibilité des polygones réguliers. Toute démonstration moderne de ces trois propriétés utilise l'algèbre abstraite (L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, ou encore algèbre universelle est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et des relations entre elles. Le terme algèbre abstraite est utilisé...) et la notion d'extension algébrique. À la fin du XIXe siècle l'intégralité de la géométrie est fondée sur des structures algébriques abstraites.

En arithmétique, les tentatives de démonstration du dernier théorème de Fermat sont à l'origine des plus nombreuses avancées. La formalisation de la notion d'extension algébrique devient indispensable pour de nombreuses valeurs de n (le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les...) de Fermat). Cette structure permet de marier les différentes structures abstraites pour établir les théorèmes. Une extension algébrique est un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de...), c'est aussi un corps, il est défini grâce à une structure d'anneau euclidien et un groupe opère naturellement sur ce corps. L'extension algébrique devient alors la structure de base de la théorie algébrique des nombres.

En algèbre, l'extension algébrique est la structure de base de la résolution d'un vieux problème, celui de la résolution d'une équation polynômiale à l'aide de radicaux. Si la structure clé est celle de groupe fini, initialement mis en évidence comme un sous-groupe de permutations, elle apparaît plus simple et plus naturelle dans sa formalisation moderne. Le groupe est alors un groupe fini opérant sur une extension algébrique.

Approche par l'exemple

Une extension simple construite à l'aide d'un sur-corps

L'idée est de construire le plus petit sur-corps L de \mathbb{Q} contenant le réel \sqrt{2}. Puisque L est stable par la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) et par l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs...), tout élément de la forme a + b\sqrt{2} avec a et b appartenant à \mathbb{Q} appartient à L.

On montre facilement que l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) K de ces éléments s'écrivant a + b\sqrt{2} avec a et b dans \mathbb{Q} forment eux-mêmes un corps commutatif. Par la propriété de minimalité de L, on conclut que K=L. K est stable pour l'addition:

a + b\sqrt{2}+ a' + b'\sqrt{2} = a + a' + (b + b')\sqrt{2}

Les éléments neutres de l'addition et de la multiplication sont clairement élément de l'ensemble.

Tout élément possède dans K un opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes...):

-a - b\sqrt{2}

Le produit (c'est là la seule finesse) est aussi stable par la multiplication.

(a + b\sqrt{2})(a ' + b'\sqrt{2}) =  aa' + 2bb'  +(ba' + ab')\sqrt{2}

Enfin, tout élément non nul de K admet un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y =...):

\frac{1}{a + b\sqrt{2}} = \frac{a - b\sqrt{2}}{a^2-2b^2} = \frac{a}{a^2-2b^2} - \frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}

remarque : pour a et b rationnels non tous les deux nuls a² - 2b² est non nul car \sqrt{2} n'est pas un rationnel.

Par construction, ce corps est le plus petit sous-corps des nombres réels contenant à la fois les nombres rationnels et \sqrt{2}. Plus petit signifie ici que tout sous-corps des nombres réels contenant à la fois les nombres rationnels et \sqrt{2} contient aussi L=K.

L possède un certain nombre de propriétés intéressantes:

  • L est un espace vectoriel sur les nombres rationnels. Cet espace est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur,...) finie égale à 2. On parle alors d'extension quadratique.
  • L, en tant qu'espace vectoriel possède une base constituée de puissances de \sqrt{2}, à savoir (1, \sqrt{2}). On parle alors d'extension simple.
  • Si x est un élément de L alors la famille (1, x, x2) est liée car de cardinal supérieur à celui de la dimension. Il existe donc un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une...) à coefficients dans les nombres rationnels ayant x pour racine.

Une approche intuitive montre qu'une structure de type L est un candidat intéressant pour bâtir une théorie. En revanche, il n'est pas très satisfaisant d'avoir utilisé un sur-corps des nombres rationnels, à savoir les nombres réels, pour une telle construction. Si, dans la pratique, quel que soit le corps K il est toujours possible de montrer l'existence d'un sur-corps Ω possèdant les propriétés nécessaires, il existe une autre approche qui ne nécessite pas l'existence d'un tel sur-corps a priori.

Construction à l'aide des polynômes

On démontre que l'ensemble des polynômes à coefficients dans \mathbb{R}: \mathbb{R}[X] est un anneau commutatif unitaire euclidien et principal. On peut créer une notion de divisibilité, parler de division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la...) euclidienne, de polynômes premiers (irréductibles) et d'identité de Bézout. On peut même définir, comme dans \mathbb{R}, une congruence modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le...) P[X] (où P[X] est un polynôme) de la manière suivante: P1 et P2 sont congrus modulo P[X] ssi il existe un polynôme S[X] tel que P_1[X] - P_2[X] = S[X]\times P[X].

Cette congruence est une relation d'équivalence \mathcal{R} compatible avec l'addition et la multiplication dans \mathbb{R}[X]. On peut donc construire l'ensemble quotient L = \mathbb{R}[X]/P[X]. Cet ensemble est encore un anneau commutatif unitaire. Si P[X] est un polynôme irréductible, par exemple égal à X2+1, l'identité de Bézout permet de dire que L est un corps. L'ensemble L défini précédemment est un corps. On plonge naturellement le corps \mathbb{R} dans ce corps L en associant à chaque réel, sa classe d'équivalence. Si l'on note traditionnellement i la classe de X, alors L est une extension quadratique des nombres réels tel que l'équation X2+1 = 0 admette deux racines i et -i. L correspond donc à la construction des nombres complexes (Le but de cet article est de présenter, d'une part la construction, facile, des nombres complexes, et d'autre part, la démonstration, parfois un peu...).

Si P[X] est choisi comme étant égal à X2-2 et si le corps est choisi égal à celui des nombres rationnels, on obtient une extension des rationnels isomorphe au sous-corps des nombres réels du paragraphe précédent.

Définitions et premières propriétés

Soit K un corps et L une extension de corps.

  • Un élément l de L est dit algébrique sur K si et seulement si il existe un polynôme non nul à coefficients dans K ayant l pour racine.
  • L'extention L est dite algébrique si et seulement si tout élément de L est algébrique sur K.
  • L dispose d'une structure d'espace vectoriel sur K. Si cette structure confère à L une structure d'espace vectoriel de dimension finie, on parle alors d' extension finie. La dimension est souvent notée [L:K]
  • S'il existe un élément l de L tel que les puissances de l forment une famille génératrice de L alors l'extension est dite simple.
  • L'ensemble F des nombres algébriques de L sur K est un sous-corps de L appelé fermeture (Le terme fermeture renvoie à :) algébrique de K dans L.
  • Soit K un corps, il existe un corps L, extension algébrique de K, tel que tout polynôme irréductible de L est de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) 1. L est appelé la clôture algébrique (En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.) de K.

Les extensions algébriques L possèdent quelques propriétés élémentaires:

  • Si L est de dimension finie notée [L:K] alors L est une extension algébrique de K.
  • Si L est une extension finie de K de dimension finie [L:K] et si K est une extension finie de H, alors L est une extension finie de H de dimension [L:K].[K:H].


Extension algébrique et polynôme

Article détaillé Corps de rupture

Soit K un corps et P[X] un polynôme à coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une...) dans K. Alors il existe une extension algébrique de K contenant au moins une racine de P[X]. Cette extension est appelée corps de rupture. Dans le cas où le polynôme est irréductible de degré n alors le corps de rupture possède une dimension, en tant qu'espace vectoriel sur K égale à n.

  • Soit P[X] un polynôme sur K, alors il existe une extension finie L' de K tel que le polynôme P[X] admet toutes ses racines dans L' . On dit alors que le polynôme est scindé dans L' .


Extension algébrique et sur-corps

Si l'on considère un polynôme à coefficients rationnels, alors le paragraphe précédent montre qu'il est possible de construire des extensions de \mathbb{Q} contenant une ou plusieurs racines du polynôme. Par exemple le polynôme irreductible dans \mathbb{Q} défini par P[X] = X2 + 2 est scindé dans le corps L égal à \mathbb{Q}[X]/P[X]. Or, dans \mathbb{C} P[X] est aussi scindé. Une nouvelle question apparaît. Existe-t-il une relation entre une extension de cette nature et \mathbb{C}? De manière plus générale, si K est un corps, P[X] un polynôme à coefficients dans K, L une extension de K contenant une ou plusieurs racines de P[X] et F un sur-corps de K contenant une ou plusieurs racines, existe-t-il une relation entre L et F? La réponse est positive. Elle est décrite par les propositions suivantes:

  • Soit P[X] un polynôme irréductible de degré n sur K, L une extension finie de dimension n sur K contenant une racine du polynôme et F une extension contenant au moins une racine de P[X]. Alors F est une extension de L.
  • Soit P[X] un polynôme sur K, alors il existe une extension finie minimal L' de K tel que le polynôme P[X] admet toutes ses racines dans L' . Minimal signifie ici que toute extension F contenant toutes les racines de P[X] est une extension de L. Cette extension est appelée corps de décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...) de P[X].

Cette analyse des sur-corps permet de démontrer les propositions suivantes:

  • Si L est une extension algébrique d'un corps K et si (a1, a2, ..., an) est une famille de L, alors il existe un plus petit sous-corps de L contenant la famille, et ce sous-corps est une extension finie de K. On note ce sous-corps K(a1, a2, ..., an).
  • Si K est une extension algébrique d'un corps H et si L est une extension algébrique de K, alors L est une extension algébrique de H.

Soit L une extension finie de K. Soit l un élément de L. On appelle polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un...) de l le polynôme unitaire (c’est-à-dire dont le monôme (À la fin XIXe siècle, le monôme était une manifestation étudiante sous la forme d'un cortège ou d'une procession en file indienne. Il est généralement...) dominant a pour coefficient 1) qui engendre l'idéal annulateur c’est-à-dire l'idéal des polynômes qui possède l pour racine. C'est le polynôme de plus petit degré qui possède l pour racine.

  • Le degré du polynôme minimal de l divise [L:K].


Extensions particulières

Extension quadratique

article détaillé: Extension quadratique

Les extensions quadratiques interviennent notamment pour la résolution des problèmes de l'antiquité sur les nombre constructibles. Ces nombres forment un corps inclu dans les nombres réels et stable par la fonction racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est...), c’est-à-dire que la racine carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure....) d'un nombre constructible (Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle et au compas.) positif est aussi constructible (On qualifie de constructible une chose qui peut être construite ou qui peut accueillir une construction (matérielle ou non).). Une identification du plan euclidien et des nombres complexes montre que les nombres constructibles forme le plus petit corps contenant i le nombre imaginaire pure, les nombres rationnels et stable par la fonction conjugée et la fonction racine carrée.

Un tel corps peut se construire à l'aide d'une suite infinie d'extensions quadratiques des nombres rationnels (K0, K1, ... , Kn, ...) où K0 est le corps des nombres rationnels et Kn est une extension quadratique du corps Kn-1 si n est strictement positif. Tout nombre constructible s'obtient comme élément d'un corps construit à partir d'une suite finie de corps construits comme extension quadratique du corps précédent dans la suite. On parle alors de tour d'extensions quadratiques.

Une fois cette propriété démontrée, il devient aisé de résoudre les problèmes de l'antiquité comme la duplication du cube. En effet, la duplication du cube demande de construire un nombre d dont le polynôme minimal est de degré trois. Or la dimension de toute extension contenant d est du type 2p ou p est un entier. Comme le degré du polynôme minimal d'un élément d'une extension algébrique divise toujours la dimension de l'extension algébrique, le problème n'a pas de solution.

Une approche analogue montre l'impossibilité de la résolution dans le cas général de la Trisection de l'angle par les méthodes de la rêgle et du compas et permet de déterminer les polygones réguliers constructibles.

Extension de Galois

Article détaillé : Extension de Galois

Un autre outil est essentiel pour l'analyse des extensions L d'un corps K, il correspond aux automorphismes de L laissant le corps K invariant. L'ensemble des automorphismes munis de la loi de composition interne (L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux opérations qui peuvent s’y effectuer. Elle recherche les conséquences générales qui découlent des propriétés de ces...) des fonctions forme une structure de groupe. Cet outil est particulièrement efficace dans le cas des extensions finies par exemple sur le corps des rationnels dans le cas d'un corps de décomposition. Un élément de ce groupe restreint à un ensemble de racines d'un polynôme correspond à une permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un changement de l'ordre de succession de ces n objets.) de cet ensemble de racines. Dans le cas des extensions finies, il correspond à un groupe fini appelé Groupe de Galois.

Pour que cet outil soit pleinement pertinent, il faut en fait que les polynômes minimaux de l'extension n'aient pas de racines multiples. Ce qui est le toujours le cas pour des extensions sur les corps des rationnels ou pour les extensions dans le cas d'un corps de caractéristique nulle. Dans ce cadre, il est par exemple possible de montrer qu'il existe un élément a dit primitif tel que l'extension soit une extension simple égal à K(a). Il faut de plus que l'extension contienne suffisamment de racines. Il faut en fait que le cardinal du groupe soit égal à la dimension de l'extension. Si ces deux hypothèses sont vérifiées, on parle alors d'extension de Galois.

Le groupe de Galois permet de comprendre finement la structure de l'extension. Par exemple, il existe une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble...) entre ses sous-groupes et les sous-corps de l'extension. Il est utilisé pour la détermination des polygones constructibles à la rêgle et au compas ou pour le théorème d'Abel sur la résolution d'équations polynomiales par radicaux.

Clôture (Une clôture désigne tout obstacle naturel ou fait de la main de l'homme (barrière) et suivant tout ou partie du pourtour d'un terrain afin de matérialiser ses limites ou d'empêcher des personnes...) algébrique

Article détaillé : Clôture algébrique

Il existe une extension algébrique particulière, celle qui ne possède pour polynôme minimaux que les polynômes de degré 1. C'est l'extension pour lequel tous les polynômes de degré différent de zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole...) admettent au moins une racine. Dans le cas des nombres réels, l'extension finie décrite plus haut suffit pour obtenir une clôture algébrique. Dans le cas des nombres rationnels, la clôture algébrique s'obtient soit par l'ensemble des nombres algèbriques des nombres complexes (on vérifie aisément que cet ensemble forme un corps) soit comme union dénombrable d'une suite croissante d'extensions. Si la clôture algébrique des nombres réels est un espace de dimension deux sur les réels, en revanche l'extension algébrique des nombres rationnels est de dimension infinie. Il suffit pour s'en convaincre de remarquer que pour tout entier, il existe un polynôme minimal de degré strictement supérieur à cet entier, la dimension est donc supérieure à tout entier. La preuve de la clôture algébrique du corps des nombres complexes est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par le théorème de d'Alembert-Gauss, il n'existe aucune preuve connue purement algébrique, l'utilisation d'outils topologiques est jusqu'à maintenant toujours nécessaire.

Dans le cas général, tout corps possède comme une extension la clôture algébrique. Néanmoins, la preuve de ce théorème nécessite généralement d'admettre l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit...) du choix. Elle est en effet souvent obtenue par une suite infinie d'extensions algébriques emboîtées.

Il n'existe aucun corps fini algébriquement clos. En effet, le produit ∏ (Xi - ai ) + 1 est un polynôme irreductible si les ai parcourent l'ensemble du corps.

Enfin, soit une extension finie L d'un corps K, elle est alors isomorphe à un sous-corps de la clôture algébrique Ω de K. Pour s'en convaincre, il suffit de considérer une suite (l1, l2, ... ,ln)d'éléments générateurs de L. Une récurrence sur le nombre d'éléments de la suite permet de conclure. Si elle ne contient qu'un élément l1 soit P1[X] le polynôme minimal de l1 dans K. Soit λ1 une racine de P1[X] dans Ω, alors K(l1) dans L est isomorphe à K(λ1) dans Ω. Dans le cas général, K(l2, ... ,ln) est une extension de K(λ1) générée par n-1 éléments, la récurrence permet de conclure.

Page générée en 0.438 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique