Géométrie projective
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La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection.

Considérations historiques

La géométrie projective (La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection.) trouve ses origines dans le travail de Pappus (Pappus d'Alexandrie vécut au IVe siècle après J.C. Il est un des plus important mathématiciens de la Grèce antique, connu pour son ouvrage Synagoge (“Collection”).) (IIIe avant Jésus-Christ) qui introduit le rapport anharmonique (Le rapport anharmonique ou birapport est un outil puissant dans la géométrie, en particulier la géométrie projective. Le nom de rapport anharmonique a été créé par...) et fait référence à un travail d'Apollonius de Perga (Apollonius de Perga ou Perge (v. 262 – v. 190 av. J.-C.) était un géomètre grec et un astronome, célèbre pour ses écrits sur les sections coniques. Ce fut Apollonius...).

Elle a ensuite été étudiée au XVIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée...) par des mathématiciens comme Pascal ou Desargues, avant de tomber dans l'oubli. C'est Poncelet dans son traité des propriétés géométriques des figures qui lui donne son véritable essor dans les débuts du XIX° siècle, en partant de considérations de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) pure. En effet la géométrie affine (La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler...) n'aurait pas permis cette découverte puisqu'elle interdisait l'intersection des droites parallèles (Deux droites sont dites parallèles si elles n'ont aucun point commun ou si elles sont confondues. Deux droites ayant un et un seul point commun sont dites sécantes.), notion essentielle en géométrie projective.

Par suite la géométrie pure va fortement prédominer pendant tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le XIX° siècle jusqu'à ce que des méthodes analytiques soient enfin découvertes par August Ferdinand Möbius et Julius Plücker. Mais c'est Felix Klein qui, à la fin du XIXe siècle, clarifie le lien entre géométrie projective et géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative...).

C'est aussi à la même époque qu'eût lieu une évolution conceptuelle majeure ; auparavant la géométrie était la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que...) des figures, les géomètres du tournant du siècle se concentrèrent sur les transformations desdites figures, les lois de composition internes des diverses transformations, la structure de certains groupes de transformations (questions de la commutativité, de l'associativité, de la transformation inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel...), etc.), les invariants de telle ou telle famille de transformations, les axiomes minimaux permettant ces propriétés de transformations. Elle est aujourd'hui largement utilisée par les systèmes de vision par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant...) et de rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie) d'une scène créée dans un logiciel de modélisation 3D comportant...) graphique (OpenGL).

Aperçu élémentaire

Pour ceux qui ne désirent qu'un aperçu élémentaire de ce qu'est la Géométrie Projective par rapport à la Géométrie Euclidienne ordinaire on peut dire que la Géométrie Projective est la science des figures qui ne se tracent qu'avec la règle seule alors que la géométrie euclidienne est en quelque sorte la science des figures qui se tracent à la règle et au compas.

La Géométrie Projective ignore les droites parallèles, les droites perpendiculaires, les isométries, les cercles, les triangles rectangles, isocèles , équilatéraux, etc. Dans sa définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) elle comporte moins d'axiomes que la géométrie euclidienne et par suite elle est plus générale.

Enfin elle est remarquable par le fait qu'il est possible de poser certaines conventions de langage ( par exemple appeler parallèles deux droites qui se coupent sur une droite choisie du plan) qui permettent par la géométrie projective de retrouver les résultats de la Géométrie Euclidienne. ( Voir ci dessous le lien géométrie projective > géométrie euclidienne)

Espace projectif

Voir article détaillé : Espace projectif.

Un espace projectif est défini en mathématiques comme l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) des droites vectorielles d'un espace vectoriel ; on peut imaginer l'œil d'un observateur placé sur l'origine d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de...), et chaque élément de l'espace projectif correspond à une direction de son regard.

Un espace projectif se démarque d'un espace vectoriel par son homogénéité : on ne peut distinguer en son sein aucun point (Graphie) particulier comme l'origine d'un espace vectoriel. En cela il se rapproche d'un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles remettaient en...).

Définition vectorielle

Soit E \,\! un K-espace vectoriel (K est un corps, en général \R \,\! ou \mathbb{C} \,\!), non réduit à {0}. On définit sur E - \{0\} \,\! la relation d'équivalence suivante :

x \sim y  \Leftrightarrow \exists \lambda \in K^*, x=\lambda y \,\!.

Alors on appelle espace projectif sur E \,\! l'ensemble quotient de E - \{0\} \,\! par la relation d'équivalence \sim \,\! : P(E) = (E - \{0\}) / \sim \,\!.

Pour chaque élément x \neq 0 \,\! de E \,\! on notera \pi(x) \in P(E) \,\! sa classe d'équivalence : \pi(x) = \{ \lambda x , \lambda \in K \} \,\!. On a donc : \pi(x) = \pi(y) \,\! si et seulement si x \,\! et y \,\! sont colinéaires.

L'application \pi : E \rightarrow P(E)\,\! est appelée projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) canonique.

Plus simplement l'espace projectif P(E) \,\! est l'ensemble des droites vectorielles de E \,\! ; l'élément \pi(x) \,\! de l'espace projectif est la droite vectorielle de E \,\! dont un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur,...) directeur est x \,\!.

Si E \,\! est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) finie n \,\! alors on dit que P(E) \,\! est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre...) finie et on note n-1=dim \, P(E) \,\! la dimension de l'espace projectif. En particulier :

  • Si n=1 alors P(E) \,\! est un singleton (dimension nulle) ;
  • Si n=2 alors E \,\! est un plan vectoriel et P(E) \,\! est appelé droite projective.
  • Si n=3 alors P(E) \,\! est appelé plan projectif ; c'est le cadre le plus courant pour faire de la géométrie.

Si l'espace E \,\! est l'espace vectoriel de dimension n \,\! " typique ", c'est-à-dire K^n \,\! alors on a une notation particulière pour l'espace projectif : P^{n-1}(K) \,\! au lieu de P(K^n) \,\!.

Définition affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :)

Espace projeté dans un plan projectif
Espace projeté dans un plan projectif

Cette définition très formelle d'un espace projectif ne doit pas faire oublier que cette notion est née de la projection centrale et est, avant tout, une notion géométrique. Pour prendre l'exemple de l'espace projectif de \mathbb{R}^3, on peut observer le dessin ci-contre où les points m, n et r appartiennent au plan (P'). Il faut imaginer un observateur placé en O. Cet observateur voit tous les points de la droite (OM) en m , ceux de la droite (OR) en r et ceux de la droite (ON) en n. les droites (d) du plan (P) ne sont pas vues comme des points de (P'). Il y a donc bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que...) entre les droites vectorielles de \mathbb{R}^3 non parallèles à (P) et les points du plan (P').

L'espace projectif de \mathbb{R}^3 est donc en bijection avec le plan affine (P') auquel on ajoute l'ensemble des droites vectorielles de (P). Un plan projectif \tilde{P'} est donc constitué d'un plan affine (P') qui contient l'ensemble des points propres de \tilde{P'} auquel on adjoint toutes les droites vectorielles (ou directions) de (P'). Chaque point du deuxième ensemble s'appelle point impropre de \tilde{P'} ou point à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.).

Cette notion permet, par exemple, de parler, dans un plan, d'intersection entre deux droites quelconques : les droites seront sécantes en un point propre de (P') ou bien en un point impropre dans le cas où les droites sont parallèles.

Cette notion se généralise à tout espace projectif \tilde P de dimension n : c'est un espace affine (P) de dimension n auquel on adjoint l'ensemble des directions de (P).

En particulier, si (P) = K, la droite projective associée est l'ensemble \tilde{K} = K \cup {\infty} \,\!\infty est un point extérieur à K \,\!, prolongeant les opérations algébriques de la manière suivante :

  • pour tout x de K, x/\infty =0
  • pour tout x de K * , x/0 =\infty

Cette double relation, d'une part avec un espace vectoriel quotienté, d'autre part avec un espace affine complété fait la richesse de l'étude de la géométrie projective. De même, ce double aspect sera important à conserver quand il s'agira (Agira est une commune italienne de la province d'Enna dans la région Sicile en Italie.) de donner des coordonnées aux points de l'espace projectif.

Repérage

Coordonnées homogènes (En mathématique, les coordonnées homogènes, introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif comme les coordonnées cartésiennes le font dans l'espace euclidien. Les coordonnées...)

Voir article détaillé : coordonnées homogènes.

Dans un espace projectif de dimension n, donc associé à un espace vectoriel de dimension n + 1, chaque point m de P(E) est associé à une famille de vecteurs de E tous colinéaires. Si E est muni d'une base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on...), on appelle coordonnées homogènes du point m, les coordonnées d'un vecteur quelconque x tels que \pi(x) = m\,. Un point possède donc une famille de coordonnées toutes proportionnelles entre elles. Autrement dit, si (x_1, x_2, ....., x_{n+1})\, est un système de coordonnées homogènes de m, il en est de même de (kx_1, kx_2, ....., kx_{n+1})\, pour tout élément k non nul de K.

Parmi toutes ces coordonnées, il arrive souvent que l'on en privilégie une pour retrouver un espace affine de dimension n. Parmi tous les représentants de m, on privilégie celui dont la dernière coordonnée, par exemple, vaut 1. Cela revient à dire que l'on a projeté l'espace dans l'hyperplan (En algèbre linéaire, les hyperplans sont définis dans la théorie des espaces vectoriels.) d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) x_{n+1} = 1\,. Si (x_1, x_2 ..., x_{n+1})\, est un système de coordonnées de m, on privilégie le système de coordonnées ({x_1\over x_{n+1}}, {x_2 \over x_{n+1}}, ..., {x_n \over x_{n+1}} , 1)\, . Cela ne vaut évidemment que si m est un point propre de P(E).

Les points impropres sont représentés par des systèmes de coordonnées homogènes dont la dernière coordonnée est nulle.

On remarque alors bien là la correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.) entre

  • les point propres de P(E) et les points d'un espace affine de dimension n
  • les points impropres de P(E) et les directions d'un espace vectoriel de dimension n

Choisir arbitrairement de mettre une coordonnée à 1 dans les coordonnées homogènes permet de définir des cartes différentes.

Repère d'un espace projectif

Voir l'article détaillé: Repère projectif.

Un espace vectoriel de dimension n se repère par une base de n vecteurs indépendants. Un espace affine de dimension n se repère à l'aide de n + 1 points non liés. Un espace projectif de dimension n se repère à l'aide de n+2 points. On pourrait penser que n+1 points seraient suffisants en prenant par exemple (\pi(e_1), \pi(e_2),...,\pi(e_{n+1}))\,(e_i)_{i \in \{1 ; n+1\}} forme une base de l'espace vectoriel de dimension n+1 associé à l'espace projectif. Les coordonnées d'un point m dans ce repère seraient alors (x_1, ..., x_{n+1}) \,(x_1, ..., x_{n+1})\, sont les coordonnées de x tels que \pi(x)= m\, mais il faudrait que ces coordonnées soient indépendantes du représentant choisi pour les vecteurs de la base : \pi(e_1)\,, par exemple, a un autre représentant qui est 2e_1\,. Et dans la base (2e_1, e_2, ..., e_{n+1})\, x n'a pas le même système de coordonnées (x_1/2, x_2, ..., x_{n+1)}\,.

Il faut donc empêcher cette ambiguïté et limiter le choix d'autres représentants des vecteurs de base à des vecteurs colinéaires aux précédents mais de même coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace...) de colinéarité (En géométrie vectorielle, deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement s'il existe un scalaire k tel que ou .). Il suffit pour cela de définir un n+2 ième point correspondant à \pi(e_1 + e_2 + ...+ e_{n+1})\,. Ainsi, si on choisit d'autres représentants de \pi(e_1) ...\pi(e_{n+1})\, avec des coefficients de colinéarité différents, le vecteur k_1e_1 + ... + k_{n+1}e_{n+1}\, ne sera plus un représentant de \pi(e_1 + e_2 + ...+ e_{n+1})\,.

Sous-espace projectif

Voir l'article détaillé : Sous-espace projectif.

Comme il existe des sous-espaces vectoriels d'espace vectoriel ainsi que des sous-espaces affine d'espace affine, il existe de même des sous-espaces projectifs d'espace projectif. Ils sont constitués des projetés des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel associé. On parlera donc de droite projective dans un plan projectif, de plan projectif dans un espace projectif. La règle des dimensions et l'existence de points à l'infini permettent de simplifier les règles d'incidence.

Birapport sur une droite projective

Voir article détaillé : rapport anharmonique.

Si a, b, c et d sont 4 points (a,b et c distincts) d'une droite projective D, il existe un unique isomorphisme de D sur \tilde K, fa,b,c tel que

  • f_{a, b, c}(a) = \infty
  • f_{a, b, c}(b) = 0\,
  • f_{a, b, c}(c) = 1\,

On appelle birapport de a, b, c, d, noté [a:b:c:d] la valeur de fa,b,c(d).

Si a, b, c et d sont 4 points propres distincts de D, on retrouve la définition ancienne du birapport ou rapport anharmonique :

\frac{\overline {ca}\, / \,\overline {cb}}{\overline {da}\, / \,\overline {db}}

Transformation projective ou homographie

Voir l'article : Application projective.

Les transformations projectives ou homographies sont des transformations étudiées en géométrie projective. Elles s'obtiennent comme composée d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de projections centrales. Elles décrivent ce qui arrive aux positions observées de différents objets quand l'œil de l'observateur change de place. Les transformations projectives ne conservent par toujours les distances ni les angles mais conserve les propriétés d'incidence et le birapport - deux propriétés importantes en géométrie projective. On trouve des transformations projectives sur des droites, dans des plans et dans l'espace.

Propriété fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) : En dimension finie, une transformation projective est entièrement déterminée par l'image d'un repère de l'espace projectif.

Définition analytique d'une homographie

Soient 2 espaces projectifs \mathcal P_1 et \mathcal P_2 associés respectivement aux espaces vectoriels \quad E_1 et \quad E_2. On désigne par \quad \pi_1 et \quad \pi_2 les projections canoniques de \quad E_1 (resp. \quad E_2) sur \mathcal P_1 (resp.\mathcal P_2).

On peut alors effectuer un " passage au quotient " des applications linéaires injectives de \quad E_1 dans \quad E_2. Une telle application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition...) \quad \varphi étant donné on peut définir une application \quad h de \mathcal P_1 dans \mathcal P_2 transformant le point \quad M en h(M)=\pi_2 \circ \varphi (m),\quad m désignant un représentant de \quad M. Naturellement pour que cette définition soit cohérente, nous devons vérifier qu'elle ne dépend pas du représentant choisi, ce qui est immédiat vu la linéarité de \varphi et la définition de \quad \pi_2.

L'application \quad h est l'homographie associée à \quad \varphi . Elle est de façon plus concise définie par l'égalité: \pi_2 \circ \varphi = h \circ \pi_1.

On peut aussi parler plus généralement d'application projective, en n'exigeant pas l'injectivité de l'application linéaire \quad \varphi initiale ; le même procédé de passage au quotient fournira une application définie seulement sur une partie de \mathcal P_1 : \mathcal P_1-\pi_1^{-1}(\ker(\quad \varphi)), et à valeurs dans \mathcal P_2. On ne parlera pas alors d'homographie.

Il existe une infinité d'applications linéaires associées à une homographie mais ces applications linéaires forment une droite vectorielle de \mathcal L(E_1,E_2) puisque \quad h_1=h_2 entraîne \pi_2 \circ \varphi _1=\pi_2 \circ \varphi _2.

En dimensions finies p,n, si on dispose d'un système de coordonnées homogènes, une homographie pourra être définie par une classe de matrices non nulles de format (n+1)*(p+1) toutes multiples de l'une d'elles. A étant une de ces matrices et X une matrice-colonnes de coordonnées homogènes de \quad M, AX sera matrice colonne de coordonnées homogènes de \quad h(M) (tout ceci étant donc défini à un facteur près).

Exemple et discussion (géométrie plane).
Nous prenons pour \quad E_1 et \quad E_2 l'espace \mathbb R^3. \mathcal P_1 = \mathcal P_2 est le plan projectif \mathcal P. Envisageons une homographie \quad h définie par la matrice 3*3 A que nous supposons diagonalisable. On peut donc calculer les coordonnées homogènes des transformés de tout point.
Les 3 directions propres sont indépendantes et définissent 3 points invariants par \quad h de \mathcal P. Ces 3 points ont respectivement comme matrices-colonne de coordonnées homogènes X1,X2,X3 (vecteurs propres de la matrice, à un facteur non nul près).
Inversement la connaissance de ces 3 points invariants détermine-t-elle l'homographie, c'est-à-dire A, à un facteur près ? Pour cela il faudrait pouvoir calculer les valeurs propres de A (à un facteur de proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité.) près toujours). Or on n'a évidemment aucun moyen pour cela en ne connaissant que les directions propres.
Par contre si on se donne par exemple le transformé du point de coordonnées homogènes X1 + X2 + X3 en le point de coordonnées homogènes Y, on aura en désignant par λ123 les valeurs propres de A: \lambda_1X_1+\lambda_2X_2+\lambda_3X_3=kY,\quad k quelconque non nul, ce qui permet bien de calculer en résolvant le système les valeurs propres à un coefficient de proportionnalité près.
Les 4 points (les 3 points invariants plus le 4e défini ci-dessus) définissent un repère projectif (voir plus haut) et la connaissance de la transformation de ce repère projectif détermine entièrement l'homographie.
Exemple d'homographie
Les transformations par polaires réciproques.

Topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).)

Voir l'article détaillé : Topologie en géométrie projective.

Si E est un espace vectoriel sur \mathbb R ou \mathbb C de dimension finie, on peut définir sur E une topologie issue de la distance induite par la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une...) ||x|| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + .... + x_n^2} dans le cas réel et ||x|| = \sqrt{x_1\overline{x_1} + x_2\overline{x_2} + .... + x_n\overline{x_n}} dans le cas complexe.

Cette topologie permet de définir sur l'espace quotient P(E)=E-{0}/\sim une topologie, dite topologie quotient. Si p:E\setminus\{0\}\rightarrow P(E) désigne l'application de passage au quotient, on dira qu'une partie A\subset P(E)\, est ouverte si son image réciproque (L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : .) p^{-1}(A)\, est ouverte dans E\setminus\{0\}\,. On vérifie que l'on définit bien ainsi un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent...)

On montre que P(E)\, est compact.

On munira donc l'espace projectif P(E) de cette topologie. Elle permet de parler d'homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la...) et de remarquer, par exemple, que la droite projective réelle est homéomorphe à un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci...), la droite projective complexe étant homéomorphe à une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point...) (voir l'article sphère de Riemann (En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière à ce que certaines expressions...) pour un homéomorphisme explicite).

Dualité

Voir l'article détaillé : Dualité (géométrie projective).

Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie n, son dual E* est aussi un K-espace vectoriel de dimension n. On peut donc associer à l'espace projectif P(E), son dual P(E*). Une droite de P(E*) correspondra à un faisceau d'hyperplans dans P(E). Le passage au dual permet d'inverser un grand nombre de propriétés géométriques.

À quoi sert la géométrie projective ?

  1. La géométrie projective a permis de simplifier grandement des théorèmes de géométrie plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le...) comme le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) de Pappus ou le théorème de Desargues.
  2. Muni d'une topologie, l'espace projectif est le point de départ de l'étude de la géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets...).
  3. Enfin, avec le développement de la représentation en 2D d'objets en 3D, la géométrie projective a montré la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) des outils de dessin assisté par ordinateur qui ont été mis en place.
  4. Si l'espace projectif, comparé à l'espace usuel, c'est-à-dire l'espace affine, peut sembler être un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est...) plus compliqué, il est indéniable que pour de nombreuses situations, l'espace projectif est le bon cadre pour travailler. Pour donner un exemple, si C et C' sont deux courbes planes (complexes) de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) respectif d et d' alors, si on voit ces courbes comme des sous-variétés du plan affine, le théorème de Bezout dit que le nombre de points d'intersection entre C et C' est toujours inférieur ou égal à dd'. En revanche, si on voit ces courbes comme des sous-variétés du plan projectif, alors le théorème dit que le nombre de points d'intersection (comptés avec multiplicité) est égal à dd'. Il y a de nombreuses autres situations où les théorèmes s'énoncent sous un forme plus belle en géométrie projective.
  5. En sus des aspects utilitaires, on peut insister sur la gymnastique intellectuelle et sur le sentiment de perfection esthétique que procurent certains théorèmes et certains axiomes de plans projectifs.

Bibliographie

  • Michèle Audin, Geometry, Universitext, Springer, ISBN-13: 978-3540434986
  • Marcel Berger (Un berger (une bergère) est une personne chargée de guider et de prendre soin des troupeaux de moutons (quand il n'y a pas de complément de nom, il s'agit toujours de troupeaux de moutons), ou par extension de...), Géométrie [détail des éditions] (Tome 1)
  • De la Géométrie Projective à la Géométrie Euclidienne L'Hexagramme Mystique de Pascal
  • Petite encyclopédie de mathématique (Ed. Didier)
  • Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel
  • D. Lehmann et R. Bkouche, Initiation à la géométrie, PUF 1988, ISBN 2 13 040160 0
  • J.-C. Sidler, Géométrie projective, InterEditions 1993


Articles de géométrie
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