Fondements des mathématiques
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Cet article discute des fondements des mathématiques. Le problème de la fondation, ou des fondements, des mathématiques est celui des principes et de leur vérité. À partir de quels principes peut-on développer des connaissances mathématiques ?

Le problème des fondements des mathématiques (Cet article discute des fondements des mathématiques. Le problème de la fondation, ou des fondements, des mathématiques est celui des principes et de leur vérité....)

Les mathématiques, ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des sciences ayant pour objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini...) le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».), la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou...), l’étendue et l’ordre, constituent apparemment le modèle de toute science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient pour vrai au sens large. L'ensemble de connaissances,...). Avec les Grecs, les mathématiques changent de statut : elles passent des calculs empiriques aux démonstrations rationnelles ; un détachement par rapport aux objets particuliers s’opèrent ; le concept de démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) s’élabore avec le développement des maths. Avec Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle, célèbre pour avoir jeté les fondements...), les mathématiques sont appliquées systématiquement à la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un...), d’où le renforcement du prestige de cette science.

Il est possible de mettre en évidence trois caractéristiques des mathématiques :

  1. Ce sont des démonstrations rigoureuses : le passage d’un chaînon au suivant ne laisse aucune place au doute, et contraint par là l’assentiment universel.
  2. Elles utilisent un langage univoque, artificiel et conventionnel, afin d’échapper aux confusions sous-tendues par le langage ordinaire.
  3. Par principe, les mathématiques sont une science hypothético-déductive : tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ce qui est établi procède d’enchaînements déductifs ; un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers...) est une proposition dont la démonstration est possible par déductions successives. Ces chaînes déductives s’enracinent dans des vérités posées par hypothèse. Ces vérités sont les postulats, les axiomes et les définitions.

Dès lors, si l’on considère, du point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) épistémologique, le réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets »,...) de croyances – ou attitudes propositionnelles d’un agent – constitutif des mathématiques, celui-ci renvoie à deux modèles distincts de la connaissance : le modèle fondationaliste et le modèle cohérentiste.

Le modèle fondationaliste repose sur la distinction entre les croyances de base (ou fondationnelles) et les croyances dérivées. L’enjeu du fondationalisme est de répondre au problème spécifique suivant : " Comment établir les croyances de base ? " Les propriétés épistémiques des croyances dérivées relèvent en effet de celles des croyances de base. Les croyances de base sont des points terminaux dans une chaîne (Le mot chaîne peut avoir plusieurs significations :) des raisons ; elles sont immunisées à l’égard du doute.

Selon le modèle cohérentiste, d’autre part, toutes les croyances propositionnelles ont prima facie, le même statut épistémologique. Les propriétés épistémiques d’une croyance propositionnelle donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement,...) dépendent des propriétés épistémiques, non seulement d’autres croyances propositionnelles qui la justifient, mais encore, du réseau de croyances dans son ensemble. Les croyances propositionnelles n’ont aucune propriété intrinsèque, permettant d’opérer une distinction entre croyance de base et croyance dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique)...). Toute croyance est par conséquent, sujette à révision ou pour le moins, révisable.

Ainsi, dans le cas du théorème, la vérité est donnée par préservation : étant donné les prémisses du raisonnement et la vérité de ces prémisses, la vérité du théorème est établie. La propagation de la vérité à travers le système relève de procédés essentiellement d’ordre syntaxique. Ce type de proposition peut être appelée : C-propositions (propositions cohérentes), c’est-à-dire des propositions dont la valeur de vérité (La notion de valeur de vérité consiste à attribuer aux énoncés des valeurs numériques au travers de fonctions dont il faudra définir les règles de composition : c'est le...) est obtenue par préservation. D’autre part, la vérité des axiomes résulte d’un autre type d’attribution : elles est déclarée. Le procédé de déclaration de la vérité ne signifie rien d’autre que ceci : ce qui rend vrai un axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité...) ne trouve aucune expression dans les limites du langage formel (Dans de nombreux contextes (scientifique, légal, etc.) l'on désigne par langage formel un mode d'expression plus formalisé et plus précis (les deux n'allant pas nécessairement de...) donné. Il n’est pas nécessaire d’interroger les axiomes sur leurs origines. Les motifs et les justifications pour accepter la vérité d’une proposition à titre d’axiome ne sont pas pertinents. Seul compte le fait de déclarer la vérité de la proposition. Ce type de propositions peut être appelé : F-propositions (propositions fondationnelles), c’est-à-dire une proposition dont la valeur de vérité est obtenue par déclaration. Alors que les C-propositions permettent de propager et de garantir la consistance, les F-propositions introduisent la vérité dans le système.

De là, il s’ensuit une interrogation permanente au sujet des fondements des mathématiques : quelle est la solidité des F-propositions ? Ne sont-elles pas de simples suppositions ? Trois conceptions s’opposent par rapport au problème des fondements des mathématiques :

Le logicisme

Le logicisme a été prôné notamment par Gottlob Frege et Bertrand Russell. La mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) pure présente deux caractéristiques : la généralité de son discours –- la considération des particuliers existants est exclue -- et la déductibilité du discours mathématique –- les inférences qui structurent le discours mathématique sont des implications formelles (elles affirment non pas les propositions elles-mêmes, mais la nécessité de leur connexion) --. En ce que le discours mathématique ne prétend qu’à une vérité formelle, il est possible de réduire les mathématiques à la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans...), les lois logiques étant les lois du " vrai ". Par exemple, la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) logique du nombre, loin d’être réduite à l’opération concrète (La concrète est une pâte plus ou moins dure obtenue après extraction d’une matière première fraîche d’origine végétale (fleurs, feuille) par solvants volatils (non aqueux). Le...) de dénombrement d’objets, consiste en la référence à l’égalité numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) de deux classes (deux classes ont le même nombre s’il est possible d’instaurer entre leurs éléments respectifs une relation bijective). Le logicisme rencontre néanmoins de réelles difficultés en tant qu’il s'engage ontologiquement par rapport aux classes. Or, la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent...) des classes conduit à des paradoxes logiques.

Le formalisme

Le formalisme soutenu par David Hilbert : les mathématiques se présentent comme une pure construction de l’esprit. La tâche des mathématiciens est de déduire des théorèmes à partir d’axiomes qui ne sont ni vrais ni faux. La validité ne repose plus que sur la structure des énoncés, et non sur la nature de ce dont ils parlent. La vérité des mathématiques est réduite à leur cohérence interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le "Diplôme...), la non contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) des propositions. Cette conception formaliste est pourtant mise à mal par le théorème d'incomplétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être ajouté,...) de Gödel qui affirme que tout système formel (Un système formel est un ensemble de formules, ou expressions formelles, que l’on peut interpréter comme des noms, des phrases, ou de toute autre façon. Ils sont des ensembles fondamentaux pour la logique et...) qui contient l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la...) possède une proposition valide (ou disons " vrai ") qui n’est ni démontrable, ni réfutable.

L'intuitionnisme

L’intuitionnisme défendu de manière paradigmatique par Brouwer : les mathématiques ont un fondement intuitif. Sans l’intuition, la logique s’avère stérile. Défendre une conception intuitionniste a des conséquences importantes. Ainsi, selon la logique intuitionniste, on ne peut pas éliminer la double négation (ce que fait la logique classique) : " non non p " ne se réduit pas à " p ". Il s’ensuit que " non p ou p " n'est pas un théorème. Ces refus sont justifiés par le fait qu'en logique intuitioniste " q implique r " signifie que " d'une démonstration de q je peux construire une démonstration de r ", or l'affirmation " non non p implique p" ne permet pas de construire une démonstration de p à partir d'une démonstration de " non non p ".

Les fondements de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...)

L’œuvre de Hilbert est très représentative de la crise des fondements qui s’est produite en mathématiques pendant le XIXe et au début du XXe siècle.

Hilbert, comme d’autres logiciens et mathématiciens de son temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), s’est rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie) d'une scène créée dans un logiciel de...) compte que la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation...) était incomplète, pas au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) où l’axiome des parallèles n’y est pas déductible, mais parce que tous les géomètres depuis Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique ayant probablement...) se servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) dans leurs preuves d’axiomes qui n’avaient jamais été explicités. À la suite des travaux de Pasch, Hilbert a donné une formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières...) presque complète de la géométrie euclidienne, dans son livre Les Fondements de la géométrie, pour laquelle aucun axiome géométrique n’était laissé dans l’ombre.

Ce programme de fondation de la géométrie n’était cependant pas achevé pour deux raisons. D’une part, les règles de raisonnement admises étaient encore laissées dans l’ombre. D’autre part, un des axiomes de la géométrie, relatif à la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x,...) de l’espace, posait des problèmes d’interprétation associés à ceux de la définition des nombres réels et de la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) de Cantor.

Les fondements de l’analyse et la théorie des ensembles

L’analyse, que l’on peut aussi appeler calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires:), ou calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) et intégral, repose maintenant sur la définition de l’ensemble des nombres réels. Depuis les découvertes de Newton et Leibniz, il avait fallu sortir du cadre des Éléments d'Euclide.

Les mathématiciens du XIXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être...), notamment Cauchy et Weierstrass, pour l'analyse proprement dite, puis Dedekind et Cantor ont donné une formulation précise de principes qui permettent de raisonner avec rigueur et exactitude sur les nombres réels. Ceux-ci sont définis par Dedekind comme des ensembles de nombres rationnels. Peano a donné des axiomes et des méthodes formelles pour développer d’une façon logiquement rigoureuse l’arithmétique et celle-ci suffit pour fonder la théorie des nombres rationnels.

La théorie des ensembles de Cantor, qui n'était pas vraiment formalisée, semblait cependant le cadre idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il est ainsi possible...), paradisiaque selon l’expression de Hilbert, pour fonder l’analyse et plus généralement les mathématiques. Frege, de son côté avait donné des règles formelles précises et explicites pour une théorie logique qui devait permettre de fonder les mathématiques. On pouvait espérer une base solide.

Mais cette base n'a pas tardé à montrer ses faiblesses. La découverte du paradoxe de Burali-Forti (En mathématiques le paradoxe de Burali-Forti, paru en 1897, désigne une construction qui, conduit dans certaines théories des ensembles ou théories des types trop naïves à une antinomie, c’est-à-dire que la théorie est...) (l'ensemble de tous les ordinaux est bien ordonné, ce bon ordre est supérieur à tous les ordinaux, donc à son propre ordinal), puis celle du paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une...) de Russell, proche sur le principe mais nettement plus simple (l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas à eux-mêmes est un ensemble, il ne peut ni s'appartenir, ni ne pas s'appartenir à lui-même), montrent l'incohérence des ces deux théories (Russell a donné son paradoxe initialement pour la théorie de Frege).

Des solutions pour éviter ces paradoxes furent rapidement trouvées. L'une, initiée par Russell, et développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites...) dans les Principia Mathematica, stratifie les prédicats grâce à la notion de type : on ne peut plus écrire qu'un ensemble appartient à lui-même. L'autre, initiée par Zermelo, restreint la définition des ensembles par compréhension, c'est-à-dire par une propriété de ses éléments : la propriété de ne pas appartenir à soi-même ne définit plus un ensemble.

Mais pouvait-on s'assurer que l'on ne puisse pas dériver de nouveaux paradoxes dans ces théories ?

Le programme de Hilbert

Pour répondre à la crise des fondements des mathématiques, Hilbert avait conçu un programme dont il établit les prémisses en 1900 dans l'introduction à sa célèbre liste de problèmes, le second problème étant justement celui de la cohérence de l'arithmétique. Il développe ce programme avec ses collaborateurs, parmi lesquels Bernays et Ackermann, essentiellement dans les années 1920. L'idée est grossièrement la suivante.

Tant que l'on manipule le fini, les mathématiques sont sûres. L'arithmétique élémentaire (en un sens qui doit se préciser) est sûre. Pour justifier l'utilisation d'objets abstraits ou idéaux, en particulier infinis, il suffit de montrer que la théorie qui les utilise est cohérente, mais bien-sûr cette cohérence doit elle-même être démontrée par des moyens finitaires. On peut alors affirmer l'existence de ces objets. C'est la position formaliste (à ne pas confondre avec le finitisme qui considère que seules les constructions directement finitaires ont un sens).

Le système dans lequel on pourrait formaliser les mathématiques finitaires n'est pas clair. A l'époque, il semble que Hilbert pensait, sans l'avoir explicitement formalisé, à un système plus faible que l'arithmétique de Peano, l'arithmétique primitive récursive : toutes les définitions de fonctions récursives primitives sont dans le langage, la récurrence est restreinte aux formules sans quantificateurs (disons aux égalités pour faire simple), donc très immédiate. Peu importe en fait : le second théorème d'incomplétude de Gödel, montre que l'on ne pourra même pas prouver dans la théorie arithmétique en question sa propre cohérence, et donc certainement pas celle de théories plus fortes qui assureraient la fondation des mathématiques (Cet article discute des fondements des mathématiques. Le problème de la fondation, ou des fondements, des mathématiques est celui des principes et de leur vérité. À partir de...).

Le programme de Hilbert n'est donc pas réalisable, en tout cas pas sans une révision drastique. Des logiciens comme Gentzen, et Gödel lui-même, ont pensé à rétablir ce programme en étendant la notion de méthodes finitaires, celles-ci ne pouvant cependant pas être définies une fois pour toutes par une théorie toujours à cause du second théorème d'incomplétude. Ainsi Gentzen a donnée en 1936 une preuve de cohérence de l'arithmétique de Peano dans un système forcément plus fort, où l'on raisonne par induction sur un ordre bien fondé (dénombrable mais plus grand que l'ordre des entiers), mais où l'induction est cependant restreinte à des formules sans quantificateurs, donc plus "immédiate". Si l'intérêt mathématique des méthodes mise en œuvre par Gentzen ne fait aucun doute, l'interprétation de ses preuves de cohérence, en tant que preuves "absolues" (ce sont bien sûr indubitablement des preuves de cohérence relative) reste très discutable.

Il reste que, malgré son échec, le programme de Hilbert a joué un rôle décisif dans le développement de la logique mathématique (La logique mathématique est née à la fin du XIXe siècle de la logique au sens philosophique du terme. Ses débuts furent marqués par la rencontre entre deux idées...) moderne.

La méthode formelle

Il ne faudrait pas confondre formalisme, et méthode formelle. La méthode formelle est essentielle pour comprendre les mathématiques contemporaines.

Définir un théorie formelle, c'est :

  • se donner des symboles (a, b, = , + , = > , etc) ;
  • se donner une syntaxe pour construire des " phrases ". Par exemple on peut écrire a = > b mais pas ab = >  ;
  • se donner une méthode pour déduire des phrases à partir d'autres phrases. Par exemple, si on a a\geq b et b\geq c alors on a aussi la " phrase " a\geq c.

Définir une théorie de façon formelle est essentiel pour en donner des propriétés : cohérence ou incohérence, complétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui...) ou incomplétude etc. Tant qu’on a pas formalisé une théorie, on ne sait pas exactement si une formule appartient ou non à la théorie.

Les règles de déduction de la logique classique sont désormais complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la...) connues et formalisées au sein de la logique mathématique. Toutes les connaissances mathématiques peuvent être prouvées avec ces règles et des axiomes convenablement choisis.

C'est probablement dans cette catégorie que l'on doit classer les mathématiques à rebours d'Harvey Friedman.

Les théories des ensembles

Les mathématiques actuelles sont basées sur la notion d' ensemble. En fait, tout objet mathématique ou presque peut être défini comme un ensemble. Par exemple, " 23 " peut être défini comme un ensemble qui contient 23 éléments.
De même, \ _\mathbb N peut être construit à partir d'ensembles comme suit :

  • 0 = \varnothing
  • \forall\ n  (  \ ( n + 1 ) = n \cup \{ n \}  )

(voir à ce sujet l'article sur la construction des entiers naturels).

Avec de telles définitions, ou d’autres semblables, toutes les connaissances mathématiques peuvent être prouvées à l’intérieur d’une théorie des ensembles. Leurs axiomes peuvent être considérés comme les principaux fondements des mathématiques (avec les règles de déduction du calcul des prédicats (Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, ou logique du premier ordre, ou tout simplement calcul des prédicats est une formalisation du langage des mathématiques proposée par les...) au premier ordre).

Plusieurs systèmes d’axiomes ont été proposés :

  • La théorie axiomatique des ensembles (Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de « la » théorie axiomatique des ensembles, on désigne habituellement sous ce nom la théorie ZFC. Au XXIe...) " standard " comporte neuf axiomes. Ces axiomes ont été énoncés par Zermelo (1908) et complétés dans les années 1920 par Fraenkel et Skolem. Ils sont dits de Zermelo-Fraenkel et comprennent l'axiome du choix, d'où le sigle ZFC (En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle comprend l'axiome du choix, théorie axiomatique des ensembles la plus couramment...) souvent employé pour désigner cette théorie. L'œuvre de l'association Bourbaki a été développée dans ce cadre axiomatique.
  • La théorie des classes, de von Neumann, Gödel et Bernays (NGB). C’est une extension de ZFC qui lui est presque équivalente. Tous les théorèmes de ZFC sont des théorèmes de NGB. Inversement, tous les théorèmes de NGB qui ne mentionnent que les notions fondamentales de ZFC (c’est-à-dire les ensembles et non les classes) sont des théorèmes de ZFC. NGB convient mieux que ZFC pour formuler la théorie des catégories.
  • La théorie des types (La théorie des types est une branche de la logique mathématique : elle fonde la construction des objets sur la notion de fonction et non pas sur celle d'ensemble.) de Whitehead et Russell, exposée principalement dans les Principia Mathematica. Son formalisme est lourd (des dizaines de pages pour prouver des propositions qui nous paraissent au premier abord évidentes) et ses principes sont peu élégants, parce qu’ils imposent beaucoup d’interdits. Outre sa grande importance historique parce qu’elle est la première formulation axiomatique, rigoureuse et cohérente des principes généraux des mathématiques, elle a, grâce à l'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement...), repris de la vigueur à la fin du siècle précédent et au début de celui-ci et devient une discipline phare de la logique mathématique contemporaine.
  • La théorie du zig-zag interdit de Quine (Quine désigne le fait d'avoir une ligne dans ce même jeu.). Elle n'est pas très utilisée mais pourrait l’être davantage. Elle montre en particulier qu’on peut développer une théorie des ensembles sans exclure l’ensemble de tous les ensembles.
  • D’autres théories, qui sont soit moins puissantes que les précédentes, parce qu’elles refusent les constructions ensemblistes trop audacieuses (théories constructivistes, intuitionnistes, finitaires, ...), soit plus puissantes parce qu’elles les complètent avec d’autres axiomes (axiome de constructibilité, axiomes des très grands ensembles, ...)

Parmi les mathématiciens, certains se contentent des axiomes ZF, et refusent l'axiome du choix (C), car ils considèrent que certaines de ses implications sont contre-intuitives. Certains mathématiciens refusent même ZF et la logique classique qui en est la base, car ils considèrent que tout doit être construit explicitement; c'est la raison pour laquelle on les appelle constructivistes ou intuitionnistes.

L'analyse non-standard est aussi une voie qui remet en cause certains principes fondamentaux des mathématiques.

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