Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique

Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l'anneau des entiers d'un corps quadratique ressemble à certains égards à celui des entiers relatifs. Certains d'entre eux sont euclidiens comme celui des entiers de Gauss d'Eisenstein ou les entiers du corps Q(√5). Cette propriété a pour conséquence les théorèmes classiques de l'arithmétique : identité de Bézout, lemme d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) ou encore le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) fondamental de l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...).

En revanche, nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) d'anneaux d'entiers quadratiques ne sont pas euclidiens ni même principaux ou factoriels. Ernst Kummer, confronté à cette difficulté, découvre la notion de nombres idéaux, qui lui permet de démontrer le dernier théorème de Fermat dans de nombreux cas. Cette approche, finalisée par Richard Dedekind, permet d'offrir un palliatif à cette absence de factorialité. Si les nombres ne peuvent plus se décomposer en produit de facteurs premiers, de manière unique, sous un certain angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...), les idéaux le peuvent.

Cette démarche permet la résolution de certaines équations diophantiennes, comme un cas relativement général de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) de Pell-Fermat ou des généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) du théorème des deux carrés de Fermat. Le cas particulier de l'anneau des entiers quadratiques correspond à un cas simple d'une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) plus vaste, celle des entiers algébriques. Les théorèmes fondamentaux comme l'unicité de la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) d'un idéal fractionnaire (En mathématiques, et plus précisément en théorie des anneaux, un idéal...) en idéaux premiers ou le caractère fini du groupe des classes d'idéaux prend une forme analogue à celle du cas général, mais reste plus simple à comprendre.

Anneau de Dedekind

Anneau intégralement clos

Le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...) de l'article est celui d'un corps quadratique K c'est-à-dire d'une extension quadratique (En mathématiques, et plus précisément en algèbre dans le cadre de la...) de Q, le corps des nombres rationnels. Il existe un entier sans facteur carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...), non nécessairement positif, d tel que K est égal à Q[√d]. La valeur √d désigne un nombre tel que son carré est égal à d. Si Q[√d] est identifiée à un sous-corps de C, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des nombres complexes, il est possible, par convention d'identifier √d avec la solution positive de l'équation X2 - d = 0 si d > 0 et la solution de partie imaginaire positive lorsque d < 0 . Cette notation, consistant à utiliser le radical racine appliqué à un nombre négatif (Un nombre négatif est un nombre réel qui est inférieur (inférieur ou égal)...), est fréquente et commode. Elle est justifiée dans l'article détaillé.

Un entier quadratique est un élément α de K tel qu'il existe un polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...), de monôme (À la fin XIXe siècle, le monôme était une manifestation étudiante sous la forme d'un...) dominant ayant un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain...) égal à 1, à coefficients dans l'ensemble Z des entiers relatifs et ayant pour racine α. L'ensemble des entiers quadratiques de K est stable pour l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...), la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction...) et la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...). On dit qu'il forme un anneau. Cet anneau correspond à l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients dans Z des deux éléments 1 et ω. Le nombre ω est un entier quadratique, égal à √d si d n'est pas congru à 1 modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi...) 4 et à 1/2(1 + √d) sinon. Cet ensemble, soit noté Z[ω] soit OK, est composé des éléments de la forme a + b.ω, où a et b désignent des éléments de Z. Il n'est pas l'unique anneau d (L'anneau D est un anneau planétaire situé autour de Saturne, le plus interne des anneaux...)'entiers quadratiques inclus dans K, mais, à beaucoup d'égards il correspond à l'un des plus intéressants.

L'anneau Z[ω] dispose de propriétés aussi simples qu'importantes. Il est intègre c'est-à-dire qu'il est commutatif, unitaire, (il contient l'élément neutre de la multiplication 1) et si un produit α.β est égal à 0, alors, soit α, soit β est nul. L'intégrité et la commutativité est le propre de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) anneau formé d'éléments de C.

Comme tout anneau intègre, il est possible de considérer son corps des fractions, qui se trouve être exactement Q[√d], le corps qui sert à sa définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...). Par sa construction, Z[ω] est égal à l'anneau des entiers algébriques de son corps des fractions. Un tel anneau est dit intégralement clos. Cette propriété apparaît indispensable pour certaines démonstrations données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) dans cet article.

Idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....) premier, idéal maximal

La notion d'idéal est souvent clé en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) commutative. Les idéaux les plus simples peuvent être vus comme les multiples d'un élément de l'anneau (ici un nombre). Ainsi, les multiples de 3 dans les entiers relatifs forment un idéal. De manière plus générale, un idéal est un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) de l'anneau, stable pour l'addition et la soustraction (il forme un groupe additif) et par la multiplication de n'importe quel élément de l'anneau. Ainsi la somme de deux multiples de trois est encore un multiple de trois et la multiplication d'un multiple de trois par un entier quelconque reste aussi un multiple de trois.

Les idéaux constitués de multiples sont suffisamment importants pour porter le nom d'idéal principal. Si tous les idéaux sont principaux, l'anneau est dit principal et, entre autres, le théorème fondamental de l'arithmétique s'applique. En règle générale, une clôture (Une clôture désigne tout obstacle naturel ou fait de la main de l'homme (barrière) et suivant...) intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) d'un corps quadratique n'est pas principale. Comme exemple d'idéal non principal, on peut considérer, dans l'anneau des polynômes à coefficients dans Z, ceux qui ont une constante paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts...). Ils forment un idéal, qui n'est pas principal. L'un des attraits des idéaux est qu'ils permettent de quotienter l'anneau. L'exemple, peut-être le plus classique, est celui d'une structure clé en arithmétique modulaire (En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres,...) Z/nZ. Deux éléments dont la différence est élément de l'idéal sont identifiés. Dans Z/3Z 1, 4 et 7 correspondent à la même classe. Une clôture intégrale possède une propriété commune avec Z :

  • Le quotient d'un anneau unitaire d'entiers quadratiques avec un idéal non nul forme un anneau de cardinal fini.

Cette propriété n'utilise pas la clôture intégrale. Elle possède une conséquence sur deux types d'idéaux : les premiers et les maximaux. Un idéal est premier si le quotient de son anneau par l'idéal forme un anneau intègre. Cette notion généralise celle de nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et...) ou d'élément premier. Dire de α un élément d'un anneau A qu'il est premier signifie que, si un produit β.γ est égal à α, alors soit β soit γ est un élément inversible (comme 1 ou -1 dans Z). Un idéal principal est premier seulement si un élément qui engendre l'idéal est premier, cette propriété n'est pas suffisante. La définition d'idéal premier généralise celle d'élément premier. Un idéal est dit maximal lorsque le quotient de l'anneau par cet idéal est un corps. Une autre manière de dire les choses est de constater qu'un idéal est maximal si et seulement si il n'existe aucun idéal autre que l'anneau entier le contenant. Seul un élément premier peut engendrer un idéal maximal, mais il existe des anneaux ou un élément premier n'engendre pas d'idéal maximal. tel est le cas par exemple pour l'idéal des polynômes ayant une constante paire dans l'anneau des polynômes à coefficients dans Z. L'idéal est premier car si le produit de deux polynômes donne un polynôme avec une constante paire, alors un des deux polynômes possède une constante paire. En revanche il n'est pas maximal, il est par exemple contenu dans l'idéal formé de la somme d'un multiple de X + 1 et d'un polynôme ayant une constante multiple de 2. À l'image de l'anneau des entiers naturels, cette configuration ne se produit pas avec les anneaux traités par cet article :

  • Un idéal premier d'un anneau unitaire d'entiers quadratiques est maximal.

Anneau noethérien (En mathématique, un anneau noethérien est un cas particulier d'anneau, c'est-à-dire...)

Les propriétés assemblées jusqu'à présent sur l'anneau des entiers d'un corps quadratique ne sont pas suffisantes pour établir une théorie solide. L'objectif est de montrer une propriété des anneaux d'entiers quadratiques qui ressemble un peu à la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) pour les espaces vectoriels. Toute suite croissante de sous-espaces est stationnaire à partir d'un certain rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...), dans un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) de dimension finie. C'est une propriété équivalente que l'on recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) sur les anneaux. Dans Z, toute suite d'idéaux croissante est stationnaire, à partir d'un certain rang. Comme l'anneau Z est principal, dire qu'un idéal en contient un autre, c'est dire que son générateur divise l'autre. Si une suite a0, a1, ... an est tel que ai+1 divise ai, alors, à partir d'un certain rang, la suite est constante, à un facteur multiplicatif inversible près. Cette propriété est vraie sur tous les anneaux factoriels, mais elle est plus faible, ce qui est le but recherché car un anneau d'entiers d'un corps quadratique n'est pas nécessairement factoriel. Un tel anneau est dit noethérien.

  • Un anneau unitaire d'entiers quadratiques est noethérien.

Une fois encore la propriété de clôture algébrique (En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est...) n'est pas nécessaire pour établir cette proposition. En fait, il est possible d'aller un peu plus loin :

  • Tout idéal M non nul d'un anneau unitaire d'entiers quadratiques est un Z sous-module de dimension 2.

Un anneau unitaire d'entiers quadratiques peut être vu comme un presque espace vectoriel sur Z. Le mot presque signifie ici que les scalaires non nuls n'ont pas nécessairement un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...). Une telle structure porte le nom de module. En revanche, la définition de la base reste la même, c'est une famille libre et génératrice.

Anneau de Dedekind

La méthode utilisée pour pallier l'absence de factorialité consiste à étudier les idéaux premiers de l'anneau. Si la structure est suffisamment riche, alors tout idéal se décompose de manière unique en un produit d'idéaux premiers, ce qui remplace le théorème fondamental de l'arithmétique pour ce type de structure. La définition du produit de deux idéaux est la suivante :

  • Soit N et M deux idéaux d'un anneau commutatif A. L'idéal N.M, appelé produit des idéaux N et M est l'ensemble des sommes de produits d'un élément de A par un élément de N et un élément de M.

Il est relativement simple de montrer que ce produit est un idéal.

On sait déjà que Z[ω] est commutatif unitaire intègre et noethérien, ces propriétés sont néanmoins insuffisantes. L'exemple Z[i√3] le montre, l'idéal 4Z[i√3] ne possède aucune décomposition en idéal premier. Comme tout idéal, il est inclus dans un idéal maximal M, qui, dans cet exemple est unique et correspond à celui des éléments de la forme a.2 +b.(1+√3). Il est encore strictement inclus dans M2, le carré de M, mais il contient strictement M3.

Deux propriétés supplémentaires sont nécessaire pour obtenir le bon contexte. Tout idéal premier doit être maximal, ce qui est vrai pour tout anneau d'entiers quadratiques. De plus, l'anneau doit être intégralement clos, ce qui signifie que l'entier quadratique ω est nécessairement construit à partir d'un entier d sans facteur carré. Richard Dedekind découvre que cet ensemble de propriétés est suffisante pour établir les théorèmes clé.

Un anneau vérifiant toutes ces propriétés est dit de Dedekind. Toute fermeture (Le terme fermeture renvoie à :) intégrale d'une extension finie du corps des rationnels est un anneau de Dedekind. Les démonstrations sont néanmoins plus ardues.

Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique
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