Droite (mathématiques)
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Pour les Anciens, la droite, en mathématiques et surtout en géométrie, était un objet allant de soi, si évident que l'on négligeait de préciser de quoi l'on parlait. L'un des premiers à formaliser la notion de droite fut le grec Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un...) dans ses Éléments. Avec le développement du calcul algébrique (C'est vers le XVIe siècle que l'on voit avec le calcul algébrique, apparaître les mathématiques « modernes ». Auparavant il n'était pratiqué...) et du calcul vectoriel, d'autres définitions vinrent s'ajouter. Mais c'est la naissance des géométries non euclidiennes qui a conduit à la découverte de nouveaux types de droites, et, par là-même, nous a forcés à éclaircir et approfondir ce concept.

Vision naïve

" La ligne droite est le plus court chemin pour aller d'un point (Graphie) à un autre ".

Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) simple suffit à bon nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'entre nous. Elle permet par exemple au jardinier de tracer ses lignes de semis : en tendant une corde entre deux piquets, il matérialise une ligne tirée au cordeau. C'est à un procédé analogue que recourt le bricoleur pour tracer une ligne de 5 mètres : il enduit une corde de craie, la tend entre deux points fixes puis, utilisant l'élasticité naturelle de cette corde, il l'éloigne du sol et la lâche soudainement. La corde reprend alors brutalement sa position initiale en déposant sur le sol une ligne de craie.

Voir aussi les définitions d'une demi-droite (Une demi-droite est comme son nom l’indique la moitié d’une droite, à savoir l’ensemble des points d’une droite à partir d'un point M de celle-ci. Par exemple la...) et d'un segment.

L'approche d'Euclide

Définition formelle

Dans ses éléments, Euclide définit les objets relevant de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types...) (point, droite, plan, angle) et leur affecte un certain nombre de propriétés (postulats). À l'aide de ces éléments de base, il essaie de construire, par des démonstrations rigoureuses, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des autres propriétés.

Pour Euclide :

  • une ligne est une longueur sans largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est la plus petite des deux mesures d'un rectangle, l'autre mesure...);
  • et une ligne droite est une ligne également placée entre ses points.

Il part d'une droite finie qu'il définit comme un segment. Il a besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les...) d'un postulat pour la prolonger au-delà de ses extrémités, d'un autre pour en prouver l'existence (Par deux points distincts passe une droite) et d'un autre appelé le cinquième postulat d'Euclide pour traiter des positions relatives des droites ( Si une droite coupe deux autres droites, de telle façon que la somme des angles intérieurs du même côté soit plus petite que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.) dont plusieurs versions équivalentes peuvent être données.

Applications

L'approche d'Euclide est féconde, elle permet de démontrer de nombreux théorèmes considérés comme élémentaire au regard des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) moderne du terme. On peut citer le théorème de Thalès (Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est davantage intéressé aux...), le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse...) ou encore le problème de Napoléon.

Approche algébrique

Motivations

La définition axiomatique d'Euclide apparait trop pauvre pour résoudre plusieurs familles de problèmes. On peut citer historiquement ceux associés à la construction à la règle et au compas, par exemple la trisection de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.), la duplication du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de...) ou encore la construction d'un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de...) régulier. Une approche algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) est utilisée pour palier cette faiblesse. A l'aide de la notion de polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que...) cyclotomique, Gauss réalise une percée majeure dans ce domaine en 1801 qu'il publie dans son livre Disquisitiones arithmeticae.

Les progrès de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance...) engendrent une nouvelle branche des mathématiques, initialement appelée calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la...) et maintenant calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.). Elle obtient comme premier succès la compréhension de la mécanique céleste (La mécanique céleste est un terme qui désigne la description du mouvement d'objets astronomiques tels que les étoiles et planètes à l'aide...). Une fois encore, la modélisation d'Euclide est insuffisante pour formaliser convenablement ce domaine.

Géométrie vectorielle (Cet article traite des opérations portant sur les vecteurs en géométrie euclidienne.)

Une nouvelle construction est alors proposée, elle se fonde sur des structures algébriques. Les groupes abéliens et les corps sont utilisées pour définir un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur,...) puis un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles remettaient en cause les notions de...).

En géométrie vectorielle, une droite est un sous-espace vectoriel de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) 1.

Si v est un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) non nul, la droite vectorielle engendrée par v est l'ensemble des vecteurs w pour lesquels il existe un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) (un réel pour un espace vectoriel sur R) k tel que w = kv. On dit alors que les vecteurs v et w sont colinéaires.

Géométrie affine (La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler...)

En géométrie affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :), une droite est un sous-espace affine de dimension 1. Si A est un point et v un vecteur non nul, la droite affine engendrée par A et v est l'ensemble des points M pour lesquels il existe un scalaire k tel que \vec{AM}=kv. Le vecteur v est appelé vecteur directeur de la droite.

On peut aussi définir la droite passant par les points distincts A et B comme l'ensemble des barycentres des points A et B.

Applications

La notion de droite est alors largement généralisée. L'espace vectoriel peut être de cardinal fini comme pour les codes linéaires utilisés dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) de l'information, ou en arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus...). Une droite est alors un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.) de points discrets. L'espace vectoriel peut être une extension de corps comme dans le cadre de la théorie de Galois, l'ensemble des nombres rationnels dans le corps des réels possède les propriétés géométrique d'une droite.

En analyse, et particulièrement en analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été...) une droite est un ensemble de fonctions. Par exemple les primitives d'une fonction continue réelle de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une...) réelle forment une droite.

Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant...) et géométrie

Motivation (La motivation est, dans un organisme vivant, la composante ou le processus qui règle son engagement dans une action ou expérience. Elle en détermine le déclenchement dans une certaine direction avec l'intensité souhaitée et en assure...)

L'approche algébrique permet d'enrichir très largement la géométrie et offre des réponses satisfaisantes à bon nombre de problèmes. En revanche une vielle conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) reste ouverte : comment démontrer le cinquième postulat d'Euclide. Proclos l'exprime de la manière suivante: Dans un plan, par un point distinct d'une droite d, il existe une unique droite parallèle à d.

Déjà, les grecs savaient qu'une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même...) semble pouvoir définir une géométrie, les droites seraient alors les grands cercles de la sphère. En revanche, la connexion entre une sphère et la définition d'une géométrie reste à cette époque or de portée.

Rôle de Hilbert

David Hilbert apporte un élément de réponse. La construction d'Euclide n'est pas entièrement rigoureuse. Il manque en effet, quinze axiomes pour bâtir les fondements d'un système logique à même de supporter la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une...). Une telle formalisation existe, on parle par exemple d'axiomes de Hilbert.

La réponse à la question que pose le cinquième postulat est donc de l'ordre de la logique. La base axiomatique d'Euclide constituée des quatre premiers postulats est trop faible pour garantir le cinquième.

Si l'approche de Hilbert permet de résoudre cette question, elle est peu opérationnelle pour bâtir la théorie de la géométrie euclidienne. On utilise en général la base axiomatique de Peano pour construire l'ensemble des entiers naturels puis les différentes structures algébriques utilisées. L'intérêt des travaux de Hilbert sur cette question est donc surtout de l'ordre de la logique et peu géométrique.

Géométries non euclidiennes

Bien avant de comprendre la dimension logique de la problématique et dans le courant du XIXe, sont nées d'autres géométries dans lesquelles la droite n'avait plus les mêmes propriétés que dans la géométrie euclidienne : les géométries non euclidiennes.

En géométrie projective (La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par...), des droites parallèles (Deux droites sont dites parallèles si elles n'ont aucun point commun ou si elles sont confondues. Deux droites ayant un et un seul point commun sont dites sécantes.) se coupent en un point impropre et par deux points ne passe qu'une seule droite.

En géométrie hyperbolique, par un point donné, non situé sur une droite donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.), il passe au moins deux droites qui ne coupent pas la droite donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...).

En géométrie elliptique, deux droites sont toujours sécantes. Un exemple classique de géométrie elliptique est la géométrie sur une sphère où le plus court chemin pour aller d'un point à un autre est une partie d'un grand cercle (En géométrie, un grand cercle est un cercle tracé à la surface d'une sphère qui a le même diamètre qu'elle et la divise en deux hémisphères égaux. D'une manière équivalente, un grand cercle est un cercle...). Une droite est alors définie comme un grand cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...). Deux droites distinctes se coupent alors en deux points diamétralement opposés qui n'en forment qu'un pour cette géométrie. On retrouve la propriété : par deux points distincts passe une seule droite.

De plus on peut aussi définir une droite comme un cercle de rayon infini.

Cette définition est incompatible avec celle issue de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des...). Dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu traditionnellement de l'analyse...), on parle en général de géodésique (En géométrie, une géodésique désigne le chemin le plus court, ou l'un des chemins s'il en existe plusieurs, entre deux points d'un espace une fois qu'on s'est donné un...) pour éviter une confusion.

Géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle on représente les objets par des équations ou inéquations. Le plan ou l'espace est nécessairement muni d'un...)

Si l'espace vectoriel est muni d'une base, ou l'espace affine d'un repère, la droite peut être caractérisée par des équations.

Espace affine de dimension 2

Une droite affine est l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que ax + by + c = 0 \,, où (a ; b) \neq (0;0). Un vecteur directeur de la droite est le vecteur de coordonnées ( − b;a). L'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) précédente est appelée équation cartésienne de la droite.

Dans cette famille de droites, on rencontre

  • les droites d'équation y = mx associées à des fonctions linéaires de R dans R
  • les droites d'équation y = mx + p associées à des fonctions affines de R dans R
  • les droites d'équation x = p parallèles à l'axe des ordonnées

m représente la pente de la droite.

Faisceau de droites

Espace affine de dimension n

En dimension n, la droite passant par A(a_1;a_2;...a_n) \, et de vecteur v(v_1;v_2;...;v_n) \, est l'ensemble des points M(x_1;x_2;...;x_n) \, pour lesquels il existe un scalaire k tel que

\left\{\begin{matrix} x_1 = a_1+kv_1  \\ x_2=a_2 + kv_2 \\ ... \\ x_n = a_n+kv_n \end{matrix}\right.

Ce système d'équations s'appelle un système d'équations paramétrées de la droite.

Cas particulier de l'espace (dimension 3), en :

  • Coordonnées cartésiennes :
c(t)=\begin{pmatrix} x_0+t.x'_0\\ y_0+ty'_0\\ z_0+tz'_0 \end{pmatrix}
  • Coordonnées polaires :
\begin{pmatrix} \theta\\ \frac{r_1}{\cos(\theta-\theta_0)}\\ h_0+\frac{h_1}{\cos(\theta-\theta_0)}\\ \end{pmatrix}
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