Phonon
Modes normaux de vibration progressifs de différentes fréquences ν dans un cristal.  En mécanique classique, l'énergie emmagasinée dans chacun de ses modes peut varier continuement. En mécanique quantique, chacun de ces modes possède une énergie quantifiée E = (n+1/2) hν, où n est un entier indiquant le nombre de phonons ; les modes ne peuvent acquérir ou céder de l'énergie que par paquets de hν.
Modes normaux de vibration progressifs de différentes fréquences ν dans un cristal. En mécanique classique, l'énergie emmagasinée dans chacun de ses modes peut varier continuement. En mécanique quantique, chacun de ces modes possède une énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) quantifiée E = (n+1/2) , où n est un entier indiquant le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de phonons ; les modes ne peuvent acquérir ou céder de l'énergie que par paquets de .

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) de la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de...) condensée, un phonon (En physique de la matière condensée, un phonon (du grec ancien φονη / phonê, la voix) désigne un quantum de vibration dans un solide...) (du grec ancien φονη / phonê, la voix) désigne un quantum (En physique, un quantum (mot latin signifiant « combien » et qui s'écrit « quanta » au pluriel) représente la plus petite mesure indivisible, que ce soit celle de...) de vibration dans un solide cristallin, c'est-à-dire un " paquet élémentaire de vibration " ou " paquet élémentaire de son " : lorsqu'un mode de vibration du cristal (Cristal est un terme usuel pour désigner un solide aux formes régulières, bien que cet usage diffère quelque peu de la définition scientifique de ce mot. Selon l'Union...) de fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le mot...) définie ν cède ou gagne de l'énergie, il ne peut le faire que par paquets d'énergie , h étant la constante de Planck (En physique, la constante de Planck, notée h, est une constante utilisée pour décrire la taille des quanta. Elle joue un rôle central dans la mécanique quantique et a été...). Ce paquet est considéré comme une quasi-particule, à savoir une particule fictive associée au son. Le cristal est alors réputé échanger des phonons lorsqu'il perd ou gagne de l'énergie. Le concept permet une analogie avec la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde...) qui possède des propriétés similaires : elle se manifeste tantôt comme une onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans...), tantôt comme un paquet d'énergie , qui correspond à une particule élémentaire (On appelle particules élémentaires les constituants fondamentaux de l'univers décrits par le modèle standard de la physique des particules. Ces particules subatomiques sont dites...) — non fictive cette fois — appelée photon (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées électriquement interagissent, cette interaction se traduit...).

Le phonon est une notion de mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de physique quantique. Cette dénomination s'oppose à celle de...) faisant appel au concept de dualité onde-corpuscule : selon le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu...) expérimental il peut se manifester soit comme une onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de...), soit comme un paquet élémentaire. Si l'étude des phonons prend une part importante dans la physique de la matière condensée, c'est qu'ils jouent un rôle important dans un grand nombre de propriétés physiques des solides dont

  • la capacité calorifique (La capacité thermique (ou capacité calorifique) d'un corps est une grandeur permettant de quantifier la possibilité qu'a un corps d'absorber ou restituer de l'énergie par échange thermique au cours d'une transformation pendant laquelle sa...), ou capacité à échanger la chaleur ;
  • la conductivité thermique (La conductivité thermique est une grandeur physique caractérisant le comportement des matériaux lors du transfert de chaleur par conduction. Cette constante apparaît par exemple dans la loi de Fourier (voir l’article Conduction...), ou capacité à conduire la chaleur ;
  • la conductivité électrique (La conductivité électrique est l'aptitude d'un matériau à laisser les charges électriques se déplacer librement, autrement dit à permettre le passage du courant électrique.), ou capacité à conduire le courant électrique ;
  • la capacité à propager le son.

La mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...),...) classique, qui ne prend en compte que l'accès vibratoire, n'est pas capable d'expliquer en totalité ces propriétés.

Introduction

Solide cristallin en mécanique classique

Les phonons sont l'équivalent en mécanique quantique d'une catégorie particulière de mouvement vibratoires connus sous le nom de modes normaux de vibration en mécanique classique. Un mode normal de vibration est un mode dans lequel chaque élément d'un réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit...) vibre à la même fréquence. Ces modes normaux de vibration ont une grande importance, notamment parce que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) mouvement de type vibration dans un solide peut être représenté comme la superposition (En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut possèder plusieurs valeurs pour une certaine quantité observable (spin, position, quantité de mouvement etc.)) d'un certain nombre de modes normaux de vibration de fréquences différentes. Les modes normaux de vibration peuvent donc en quelque sorte être compris comme les vibrations élémentaires du réseau.

Quantification des modes de vibration

Bien que les modes normaux de vibration soient des entités de type ondulatoire, ils peuvent acquérir en partie un comportement de type particulaire quand le réseau est étudié au travers des lois de la mécanique quantique (du fait de la dualité onde-corpuscule). Ils sont alors nommés phonons. Les phonons sont des quasi-particules de spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au même titre que sa masse et sa charge...) 0 (bosons qui obéissent donc à la statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une...) de Bose-Einstein).

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) des phonons

Les phonons n'existent qu'au sein d'un réseau cristallin comportant un grand nombre de particules et les seules structures physiques connues correspondant à cette définition sont les solides cristallins. Dans la suite nous ne traiterons donc des phonons que dans ce cadre et, pour la clarté de l'exposé, nous appellerons les particules constituant le réseau " atomes ", bien qu'il puisse s'agir d'ions dans un solide ionique.

Aspects mécaniques : mouvement de particules dans un réseau

Dans un solide, il existe des forces d'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en...) (force de van der Waals, forces covalentes, etc.) qui maintiennent chaque atome (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre. Il est généralement...) près d'une position d'équilibre. Ce sont principalement des forces de type électrique, les forces de type magnétique étant généralement négligeables. L'interaction entre chaque paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) d'atomes peut être caractérisée par une fonction d'énergie potentielle V qui ne dépend que de la distance entre ces atomes et qui est la même pour toutes les paires d'atomes. L'énergie potentielle du réseau dans son ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) est la somme des énergies potentielles d'interaction de chaque paire :

E = \frac{1}{2} \sum_{i \ne j} V(r_i - r_j) \,

où ri est la position du ième atome (Un atome (grec ancien ἄτομος [atomos], « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps...), et le facteur 1/2 compense le fait que chaque paire est comptée deux fois (comme (i,j) et comme (j,i)).

Cette expression, caractéristique d'un problème à N corps (Le problème à N corps consiste à résoudre les équations du mouvement de Newton de N corps interagissant gravitationnellement, connaissant leurs masses ainsi que leurs positions et vitesses initiales.), ne se prête pas à une résolution que ce soit en mécanique classique ou en mécanique quantique. Il est donc nécessaire de procéder à des approximations pour poursuivre l'analyse. Les deux approximations généralement employées sont :

  • restreindre la sommation aux atomes voisins. En effet, bien que rigoureusement les forces électriques aient une portée infinie dans un solide réel, cette approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile....) est valide car les forces s'exerçant sur des atomes éloignés sont écrantées et donc négligeables.
  • considérer que le potentiel V est un potentiel harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les « courants harmoniques », qui sont...), ce qui est valide lorsque les atomes restent proches de leurs positions d'équilibre. (Formellement, cette hypothèse s'applique en effectuant un développement de Taylor du potentiel V autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) de la valeur d'équilibre et en ne gardant que le premier terme non-constant, qui est d'ordre 2.)

Il est possible de relâcher l'une ou l'autre des hypothèses, pour la première en considérant l'interaction avec des voisins plus éloignés et pour la deuxième en ajoutant des termes d'ordres supérieurs. Dans la plupart des cas, l'inclusion de ces termes ne modifie pas significativement la solution.

Le réseau peut être visualisé comme un système de balles liées par des ressorts. La figure ci-dessous illustre deux types de réseau décrits de cette manière. La figure de gauche montre un réseau cubique (réseau correspondant à un nombre important de solides cristallins, dont notamment de nombreux métaux). La figure de droite montre une chaîne linéaire (En chimie organique, on dit qu'un hydrocarbure est à chaîne linéaire si tous ses atomes hydrocabonés se placent les uns à la suite des autres et ayant la forme :), un réseau très simple permettant une approche aisée de la modélisation des phonons. Pour plus d'information sur les réseaux cristallins, voir l'article cristallographie.

Image:Cubic crystal shape.png       Image:chaine lineaire atomes.png

L'énergie potentielle du réseau peut maintenant s'écrire :

E=\frac{1}{2}\sum_{i \ne j (pv)} {1\over2} m \omega^2 (R_i - R_j)^2
  • ω est la pulsation propre des potentiels harmoniques
  • m est la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre...) des atomes.
  • Ri est la coordonnée du ième atome, considéré maintenant par rapport à sa position d'équilibre.
  • le symbole pv indique que la sommation est effectuée uniquement sur les plus proches voisins.

Ondes dans un réseau

Phonon dans un réseau
Phonon dans un réseau

Du fait des forces s'exerçant entre les différents atomes du réseau cristallin, le déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la...) d'un ou plusieurs atomes autour de leur position d'équilibre entraînera une série d'ondes de vibrations se propageant dans le réseau. La figure ci-dessus montre une onde de vibration dans un réseau. L'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) de l'onde est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par l'amplitude du déplacement des atomes autour de leur position d'équilibre. La longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) d'onde correspond au plus petit intervalle entre deux répétitions identiques de l'arrangement (La notion d'arrangement est utilisée en probabilités, et notamment pour les dénombrements en analyse combinatoire.) des atomes. Elle est notée λ sur la figure.

Toutes les longueurs d'onde de vibration ne sont pas possibles. Notamment, il existe une longueur d'onde minimale donnée par la distance entre les atomes a. Nous verrons plus loin qu'une onde de longueur d'onde plus faible que a est en fait identique à une longueur d'onde plus grande que a.

Toutes les vibrations possibles du réseau ne possèdent pas nécessairement une longueur d'onde (ou une fréquence) bien définie. C'est cependant le cas pour les modes normaux de vibration (les vibrations élémentaires du réseau), que nous allons examiner plus en détails dans les paragraphes suivants.

Phonons dans un réseau 1D

Considérons une chaîne (Le mot chaîne peut avoir plusieurs significations :) unidimensionnelle composée de N atomes pour lesquels les potentiels sont harmoniques. Ce système est le modèle le plus simple pour un réseau cristallin. Le formalisme mathématique que nous allons développer dans la suite (dans le cadre de la mécanique quantique) est facilement généralisable à des systèmes à deux ou trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...).

\mathbf{H} = \sum_{i=1}^N {P_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \sum_{\{ij\} (pv)} (X_i - X_j)^2
  • m est la masse des atomes.
  • Xi est l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) position.
  • Pi est l'opérateur impulsion (qui correspond à la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe...) de mouvement)

Une description plus approfondie de cet Hamiltonien est donnée dans l'article oscillateur harmonique (Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité et électronique, optique. Le modèle de base des oscillateurs est l'oscillateur...) quantique

  • Définissons maintenant N "coordonnées normales" Qk définies comme les transformées de Fourier des opérateurs position Xi.
  • Définissons également N "moments conjuguées" Πk définis comme les transformées de Fourier des opérateurs impulsion Pi.
\begin{matrix} X_j   &=& {1\over\sqrt{N}} \sum_{k} Q_k e^{ikja} \\ P_j   &=& {1\over\sqrt{N}} \sum_{k} \Pi_k e^{-ikja} \\ \end{matrix}

La quantité k est le nombre d'onde du phonon, c’est-à-dire 2π divisé par la longueur d'onde. Ce nombre prend des valeurs quantifiées parce que le nombre d'atomes du système est fini. La forme de la quantification dépend du choix des conditions aux limites. Par soucis de simplification, nous imposons dans la suite des conditions aux limites périodiques (aussi appelées conditions de Born von Karman), c’est-à-dire que nous considérons que l'atome N+1 est équivalent au premier atome. Physiquement, cela correspond à former une boucle avec la chaîne en faisant se rejoindre les deux extrémités. Le résultat de la quantification est :

k = {n\pi \over Na} \quad \hbox{pour}\ n = 0, \pm 1, \pm 2, ... , \pm N

La limite supérieure de n provient de la condition au limite choisie (l'atome en position x1 est identique à l'atome en position xN+1.

En inversant la transformée de Fourier (En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l'expression...) pour exprimer les Qk en terme de Xi et les Πk en terme de Pi, et en utilisant les relations de commutations canoniques entre les Xi et les Pi, on peut montrer que (voir l'article mécanique quantique) :

\left[ Q_k , \Pi_{k'} \right] = i \hbar \delta_{k k'} \quad ;\quad \left[ Q_k , Q_{k'} \right] = \left[ \Pi_k , \Pi_{k'} \right] = 0

En d'autres mots, les coordonnées normales Qk et leurs moments conjuguées Πk obéissent aux mêmes relations de commutation que les opérateurs position Xi et impulsion Pi. En fonction de ces grandeurs, le Hamiltonien s'écrit :

\mathbf{H} = \sum_k \left( { \Pi_k\Pi_{-k} \over 2m } + {1\over2} m \omega_k^2 Q_k Q_{-k} \right)

avec

\omega_k = \sqrt{2 \omega^2 (1 - \cos(ka))}

On peut noter que le couplage entre les variables positions a été transformé. Si les Qk et les Πk étaient hermitiens (ce qui n'est pas le cas), le Hamiltonien transformé décrirait N oscillateurs harmoniques non couplées. En fait, ce Hamiltonien décrit une théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs est l'application des concepts de la physique quantique aux champs. Issue de la mécanique quantique relativiste, dont...) de bosons non interagissant.

Le spectre des énergies propres de ce Hamiltonien est obtenu en utilisant les opérateurs adjoints création et annihilation ak et ak définis comme :

\begin{matrix} a_k &=& \sqrt{m\omega_k \over 2\hbar} (Q_k + {i\over m\omega_k} \Pi_{-k}) \\ a_k^\dagger &=& \sqrt{m\omega_k \over 2\hbar} (Q_{-k} - {i\over m\omega_k} \Pi_k) \end{matrix}

Pour plus de précisions, voir l'article Oscillateur (En physique, un oscillateur est un système manifestant une variation périodique dans le temps (ou pseudo-périodique s'il existe une dissipation d'énergie). Les...) harmonique quantique. Les opérateurs adjoints vérifient l'identité :

\mathbf{H} = \sum_k \hbar \omega_k \left(a_k^{\dagger}a_k + 1/2\right)
[a_k , a_{k'}^{\dagger} ] = \delta_{kk'}
[a_k , a_{k'} ] = [a_k^{\dagger} , a_{k'}^{\dagger} ] = 0.

Comme dans le cas de l'oscillateur harmonique quantique, on peut montrer que les opérateurs ak et ak correspondent respectivement à la création et l'annihilation d'une excitation d'énergie ?ωk. Cette excitation est un phonon.

On peut immédiatement en déduire deux propriétés importantes des phonons. D'abord, les phonons sont des bosons : n'importe quel nombre d'excitations identiques peuvent être créées par l'application répétée de l'opérateur création ak. En second lieu, chaque phonon est un "mode collectif" correspondant au mouvement de la (quasi) totalité des atomes du réseau. Cette seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle plan. La...) conclusion se voit dans le fait que les opérateurs adjoints contiennent des sommations sur les positions et les impulsions de tous les atomes du réseau.

Il n'est pas évident a priori que les excitations générées par les opérateurs adjoints sont littéralement des ondes de déplacement d'atomes du réseau. On peut s'en convaincre en calculant la fonction de corrélation position-position. Soit |k> un état pour lequel un seul quantum de mode k est excité, c’est-à-dire :

\begin{matrix} | k \rangle = a_k^\dagger | 0 \rangle \end{matrix}

On peut alors montrer que pour deux atomes i et j quelconques :

\langle k | x_i(t) x_j(0) | k \rangle = \frac{\hbar}{Nm\omega_k} \cos \left[ k(i-j)a - \omega_k t \right] + \langle 0 | x_i(t) x_j(0) |0 \rangle

ce qui est exactement le résultat attendu pour une onde du réseau de pulsation ωk et de nombre d'onde k.

Phonons dans un réseau 3D

La généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de façon...) à trois dimensions du modèle unidimensionnel précédent est aisée (mais assez lourde). Le nombre d'onde k est remplacé par un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...) à trois dimensions, le vecteur d'onde \vec k. De plus, \vec k, est maintenant associé à trois coordonnées normales. L' Hamiltonien a la forme :

\mathbf{H} = \sum_k \sum_{s=1}^3 \hbar \, \omega_{k,s} \left( a_{k,s}^{\dagger}a_{k,s} + \frac{1}{2} \right)

Le nouvel indice s=1, 2, 3 correspond à la polarisation ( la polarisation des ondes électromagnétiques ; la polarisation dûe aux moments dipolaires dans les matériaux diélectriques ; En...) des phonons. En effet, dans un modèle unidimensionnel, les atomes ne peuvent vibrer que sur une ligne, et tous les phonons correspondent à une onde longitudinale. En revanche en trois dimensions, la vibration ne se fait plus uniquement dans la direction de propagation, mais peut également lui être perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du...). Elle correspond alors à une onde transverse. Cela donne naissance à des coordonnées normales supplémentaires, qui comme l'expression du Hamiltonien l'indique, correspondent à des espèces indépendantes de phonons.

Comportement et propriétés des phonons

Courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) de dispersion (La dispersion, en mécanique ondulatoire, est le phénomène affectant une onde dans un milieu dispersif, c'est-à-dire dans lequel les différentes fréquences constituant l'onde ne se propagent...)

Courbe de dispersion
Courbe de dispersion

Dans la discussion des phonons dans un modèle unidimensionnel, nous avons obtenus une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les...) liant (Un liant est un produit liquide qui agglomère des particules solides sous forme de poudre. Dans le domaine de la peinture, il permet au pigment d'une peinture de coller sur...) la pulsation d'un phonon ωk à son nombre d'onde k :

\omega_k = \sqrt{2 \omega^2 (1 - \cos(ka))}

Cette équation est connue sous le nom de relation de dispersion. La courbe ci-contre décrit son comportement.

La vitesse (On distingue :) de propagation d'un phonon dans le réseau, qui correspond notamment à la vitesse de propagation du son dans un solide, est donnée par la pente de la relation de dispersion : ∂ωk/∂k. Avec de faibles valeurs de k (c’est-à-dire aux grandes longueurs d'onde), la relation de dispersion est presque linéaire, et la vitesse du son est proche de ωa, indépendamment de la fréquence du phonon. En conséquence, un paquet de phonons de longueurs d'onde différentes (mais grandes) peut se propager sur de longues distances dans un réseau sans que les phonons se séparent. C'est la raison pour laquelle le son se propage dans les solides sans distorsion significative (en quelque sorte, les ondes de grande longueur d'onde ne sont pas influencées par la structure microscopique du matériau). Ce comportement n'est plus vrai pour de grandes valeurs de k (c’est-à-dire des longueurs d'onde courtes), pour lesquelles la vitesse de propagation dépend de manière significative de la longueur d'onde.

On peut noter que la physique du son dans les solides est très différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie...) de la physique du son dans l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est...), bien qu'il s'agisse dans les deux cas d'ondes de vibration. Ceci est dû au fait que dans l'air, le son se propage dans un gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas...) formé de molécules animées de mouvement aléatoires, et non pas dans un réseau organisé.

Phonons acoustiques et phonons optiques

Dans un solide réel, il y a deux types de phonons : des phonons "acoustiques" et "optiques". Les phonons acoustiques, qui sont ceux que nous avons décrits dans les parties précédentes, correspondent typiquement aux ondes sonores dans le réseau. Les phonons acoustiques de type longitudinaux et transverses sont souvent écrits de manières abrégée LA et TA respectivement.

Les phonons optiques sont présents dans les solides qui comportent plusieurs atomes par maille. Ils sont appelés "optiques" parce que dans les cristaux ioniques (comme par exemple le chlorure de sodium) ils sont très facilement excités par des ondes lumineuses (dans le domaine de l'infrarouge). Ceci est dû au fait qu'ils correspondent à des modes de vibration pour lesquels les ions positifs et négatifs situés sur des sites adjacents du réseau se rapprochent et s'éloignent les uns des autres en créant un moment dipolaire électrique oscillant avec le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.). Les phonons optiques qui interagissent de cette manière avec la lumière sont dits actifs dans l'infrarouge (Le rayonnement infrarouge (IR) est un rayonnement électromagnétique d'une longueur d'onde supérieure à celle de la lumière visible mais plus courte que celle des micro-ondes.). Les phonons optiques qui sont actifs en spectrométrie Raman peuvent aussi interagir avec la lumière au travers de la diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition » (diffusion d'un produit, d'une information), voire de « vaporisation » (diffuseur d'un...) Raman. Les phonons optiques de type longitudinaux et transverses sont souvent écrits de manières abrégée LO et TO respectivement.

Il est possible de trouver plus de renseignements sur les modes de vibration dans des articles traitant de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) de groupes.

Pseudo-moment

Il est tentant de considérer un phonon de vecteur d'onde \vec k comme s'il possédait un moment \hbar\vec k, par analogie avec les photons, ou toutes les ondes correspondant à un corpuscule (dualité onde-corpuscule). Ce n'est pas tout à fait correct, car \hbar\vec k n'est pas réellement un moment physique. Il est nommé pseudo-moment ou moment de vibration. Ceci est dû au fait que \vec k n'est déterminé qu'à un multiple de vecteur constant près, vecteur du réseau réciproque (La réciproque est une relation d'implication.). Par exemple, dans un modèle unidimensionnel, les coordonnées normales Q et Π sont définies de telle manière que :

Q_k \equiv Q_{k+K} \quad;\quad \Pi_k \equiv \Pi_{k + K} \quad \mbox{avec}\; K = 2n\pi/a

quel que soit le nombre entier n. Un phonon de nombre d'onde k est donc équivalent à un nombre infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de...) d'autres phonons de la même famille de nombres d'onde k±2π/a, k±4π/a (etc). Les électrons de Bloch obéissent au même type de restrictions.

Généralement, on ne considère que les phonons de vecteurs d'onde \vec k de chaque famille possédant le plus "petit" vecteur \vec k. L'ensemble de ces vecteurs définit la première zone de Brillouin. D'autres zones de Brillouin peuvent être définies comme des copies de la première zone, décalées d'un multiple de vecteurs du réseau réciproque.

Propriétés thermodynamiques

Un réseau cristallin au zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en...) absolu est dans son état de base, et aucun mode de phonon n'est excité. D'après les lois de la thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La première définition est aussi la première dans...), lorsqu'un réseau cristallin est à une température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de chaud, provenant du...) supérieure au zéro absolu, son énergie n'est pas constante mais elle fluctue de manière aléatoire autour d'une valeur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de...). Ces fluctuations d'énergie sont dues à des vibrations aléatoire du réseau, qui peuvent être vues comme un gaz de phonons (notons que le mouvement aléatoire des atomes du réseau correspond à la chaleur). Comme ces phonons sont liés à la température du réseau, ils sont parfois nommés phonons thermiques.

Contrairement aux molécules qui forment un gaz ordinaire, les phonons thermiques peuvent être créés ou annihilés par des fluctuations d'énergies aléatoires. Leur comportement est similaire au gaz de photons produit par une cavité électromagnétique, pour laquelle les photons peuvent être absorbés ou émis par les parois de la cavité. Cette similitude n'est pas une coïncidence : le champ électromagnétique (Le champ électromagnétique est le concept central de l'électromagnétisme. On le conçoit souvent comme composition des deux champs vectoriels que l'on peut mesurer...) se comporte en effet comme un groupe d'oscillateurs harmoniques (voir rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de transmission d'énergie impliquant une particule porteuse.) du corps noir). Les deux gaz obéissent à la statistique de Bose-Einstein (En mécanique quantique, la statistique de Bose-Einstein désigne la distribution statistique de bosons indiscernables (tous similaires) sur les états d'énergie d'un système à l'équilibre...), c’est-à-dire qu'à l'équilibre thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des transferts de chaleur suivant différents phénomènes physiques, en particulier...), le nombre moyen de phonons ou de photons dans un état donné est :

\langle n_{k,s} \rangle = \frac{1}{\exp(\hbar\omega_{k,s}/k_BT) - 1}
  • ωk,s est la pulsation du phonon ou du photon (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées électriquement interagissent, cette interaction se traduit d'un point de vue...) dans l'état
  • kB est la constante de Boltzmann (La constante de Boltzmann k (ou kB) a été introduite par Ludwig Boltzmann lors de sa définition de l'entropie en 1873. Le système étant à l'équilibre...)
  • T est la température (en Kelvin)

On peut remarquer que le potentiel chimique d'un gaz de photons ou de phonons est nul.

Ce type de considérations a mené au modèle de Debye décrivant le comportement de la capacité thermique (La capacité thermique (ou capacité calorifique) d'un corps est une grandeur permettant de quantifier la possibilité qu'a un corps d'absorber ou restituer de l'énergie...) des solides cristallins grâce aux phonons qu'ils contiennent. Ce modèle présente un meilleur accord avec les résultats expérimentaux que les précédents modèles : la loi de Dulong et Petit et le modèle d'Einstein.

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