Nombre d'or - Définition

Œuvre de l'homme

Peinture

L'idée que le nombre d'or possède une qualité visuelle intrinsèque est largement citée. Un argument est la présence de la divine proportion dans de nombreux chefs d'œuvres. Le canon de la figure humaine de Dürer le contient explicitement. Cependant les commentaires précis sont rares, ce qui amène à rechercher le rapport d'Euclide, sans information directe de la part de l'auteur. L'existence d'une forme géométrique ayant des concordances avec le tableau est pour certains, un élément de preuve. Pour d'autres une démarche de cette nature est peu convaincante.

Les dimensions de La Naissance de Vénus de Sandro Botticelli respectent assez précisément la divine proportion. Il est pourtant très peu probable que cela indique une quelconque volonté de l'auteur.

Un exemple est celui de La Naissance de Vénus de Sandro Botticelli. Ses dimensions, 172,5 × 278,5 cm respectent précisément la proportion. Le carré, associé au rectangle d'or, correspond à un rythme du tableau, enfin la diagonale du rectangle restant, ainsi que celle symétrique, sont des lignes de forces. Ce raisonnement n'a pas convaincu certains spécialistes. Le tableau semble faire partie d'un diptyque avec Le Printemps, un autre tableau du maître. L'aile d'un des Dieux, nommé Aura est étrangement coupé. Pour en avoir le cœur net, une analyse finit par être faite. Le verdict est sans appel, Botticelli avait choisi une taille analogue à celle du Printemps, le haut du tableau est amputé de 32,5 cm et avait, à sa conception la taille de son alter ego. Dans ce cas, le choix de la divine proportion ne correspond pas à celui de son créateur.

De nombreuses indications laissent penser que ce n'est pas du côté de la divine proportion qu'il faut chercher à comprendre les rythmes du Saint-Jérôme de Léonard de Vinci.

Pour certains, il existe un fondement scientifique à la beauté : « ... la nature, ministre de la divinité, lorsqu'elle façonna l'homme, en disposa la tête avec toutes les proportions voulues ... ». Cette idée n'est pas une invention de Pacioli, le traité de peinture de Leon Battista Alberti, établissant les premières règles de la perspective, était déjà l'illustration d'une philosophie analogue. La découverte de lois scientifiques, modifie la peinture et permet d'incarner un nouvel idéal. Si l'approche mathématique d'Alberti obtient un large consensus, peu d'éléments laissent penser à un succès analogue pour la loi de la divine proportion.

Un exemple est le cas Vinci. Pacioli est un de ses amis proches, Vinci connaît suffisamment ses théories pour illustrer son livre. À travers ses codex, son traité et les multiples analyses de ses sources, la pensée de Vinci sur la proportion en peinture nous est connue. Si, pour le maître, la peinture s'apparente à une science, ses thèses sont forts éloignées de celle de son ami. Sa première source est l'observation et l'expérience, et non les mathématiques : « ... l'expérience ayant été la maîtresse de ceux qui écrivent bien, je la choisis pour maîtresse et, en tout cas ferai appel à elle ». Cette attitude se traduit, par exemple pour le choix des proportions humaines. À travers de multiples dissections, il mesure systématiquement les rapports entre les dimensions des différents os et muscles. Ses planches médicales l'amènent à une conception de l'anatomie dont les rapports sont de même nature que celle de la médecine moderne : ils sont fort nombreux et s'expriment à l'aide de fractions composées de petits facteurs entiers. La science de Vinci s'applique aussi sur des sujets déjà traités comme la perspective. Une fois encore, sa logique est plus proche de l'observation que de la rigidité mathématique. Les lois qu'il ajoute à celles d'Alberti traitent de la couleur : une chose éloignée voit sa couleur tirer vers le bleu, ainsi que de la netteté « comment les choses qui s'éloignent doivent être moins nettes proportionnellement à leur distance ». Les règles régissant la proportion chez Vinci sont subtiles et en opposition avec des articulations albertiennes, trop claires à ses yeux, comme l'application directe d'une proportion sans lien avec ses observations.

À l'instar du Saint Jérôme à droite, beaucoup d'exemples de rectangle d'or trouvés chez un peintre supposent une approche de la proportion sans justification de la part du peintre ou, comme ici, contraire aux règles établies par son auteur. Ni Arasse dans son volumineux ouvrage sur Vinci, ni Marani dans le sien ne font référence à une explication de cette nature.

Le nombre d'or a aussi influencé les peintres du groupe de Puteaux, appelé aussi « Section d'or », groupe qui se crée autour de Jacques Villon en 1911. Leur emploi du nombre d'or en peinture est cependant davantage intuitif que purement mathématique.

Archéologie

Le théâtre d'Épidaure contient deux séries de gradins, l'une de 21, l'autre de 34, deux nombres connexes de la suite de Fibonacci dont le rapport est proche du nombre d'or.

L'archéologie est un sujet de controverse. Pour le prince Ghyka, elle est la preuve de l'universalité du canon de beauté qu'est le nombre d'or. L'argument principal est le caractère vaste du nombre d'exemples. Le prince reprend les travaux de son prédécesseur Zeising et l'enrichit considérablement. Le théâtre d'Épidaure possède deux séries de gradins l'une de 21 et l'autre de 34 marches, deux éléments consécutifs de la suite de Fibonacci.

Si l'on en croit les canons de la beauté de Polyclète le sculpteur à qui l'on attribue l’éphèbe Westmacott les proportions du corps humains sont des fractions d'entiers et non le nombre d'or.

Les plus convaincus citent le temple d'Andros et celui de Salomon comme exemple d'utilisation du nombre d'or. Pour le temple d'Andros, sa forme actuelle est un losange dont deux côtés ont un rapport approximativement égal à 5/3, une valeur proche du nombre d'or. L'origine de ces vestiges, qui daterait de 10 000 ans, n'est pas avérée. Ce site, non reconnu par les archéologues officiels est pour ses partisans une preuve de l'existence de l'Atlantide. Le temple de Salomon aurait une dimension d'un rapport 2/1, certains remarquent que ce sont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci, un élément suffisant à leurs yeux pour voir la trace du nombre d'or.

La pyramide de Kheops convainc un public plus vaste. Cet exemple est cité depuis le milieu de XIX^e siècle, une époque où la méconnaissance presque totale de l'égyptologie donne naissance à d'innombrables mythes. La coïncidence entre les dimensions de la pyramide et le nombre d'or est ici excellente. Le rapport entre la longueur de la plus grande pente d'une des faces et la demi-longueur d'un côté correspond au nombre d'or avec une précision de moins de 1 %. Le scepticisme des professionnels est la conséquence de la connaissance actuelle de la civilisation égyptienne. Les outils mathématiques nécessaires pour une détermination du nombre d'or, n'apparaissent que 700 ans plus tard, grâce à un apport babylonien. On ne trouve pas non plus la moindre trace religieuse ou esthétique qui justifie un choix de cette nature. Cette faiblesse pousse Taylor, à l'origine de cette hypothèse, à créer de toute pièce une citation de Hérodote : « Le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires ».

Le cas grec est encore plus populaire et très largement étayé. Mais l'écart entre la culture grecque et le nombre d'or laisse perplexe les spécialistes. Ces proportions incommensurables, que sont la diagonale d'un carré ou celle d'Euclide, sont vécues comme un scandale, une trahison des dieux à l'époque de Pythagore. Un grec n'imagine pas qu'un nombre puisse être autre chose qu'une fraction d'entiers. L'existence de proportions, comme celle d'Euclide, qui ne sont pas des nombres est une source de chaos intellectuel, à l'opposé des valeurs philosophiques et mystiques des pythagoriciens. On raconte que Hippase de Métaponte aurait été exclu de la confrérie des pythagoriciens pour avoir dévoilé le scandale de l'incommensurabilité d'une diagonale d'un dodécaèdre, une autre indique qu'il aurait péri noyé, conséquence de son impiété. Qu'une proportion aussi négative soit utilisée pour les monuments apparaît étonnant. Les textes d'architecture grecs confirment l'usage des nombres rationnels pour définir les proportions des bâtiments. Les proportions harmonieuses sont longuement relatées par Vitruve un architecte, auteur du célèbre traité De Architectura en dix volumes. Pour ce faire, il utilise largement, au volume IX, les mathématiques de Platon, Pythagore ou d'autres mathématiciens. Les proportions proviennent du module de Polyclète un sculpteur grec contemporain de Phidias. Le traité de Vitruve ne contient aucune trace de proportion irrationnelle à l'exception de la diagonale du carré.

Enfin, les exemples choisis par le prince sont controversés. Retrouver la divine proportion dans la façade du Parthénon demande des conventions spécifiques, comme d'inclure trois des quatre marches du fronton ou de tronquer le toit. L'usage de valeurs non spécifiques donne des résultats trop éloignés de l'objectif. Pour expliquer la présence du nombre d'or dans les proportions des monuments grecs, Ghyka n'hésite pas à utiliser des fractions comme 1/φ⁴, bien difficile à différencier de 1/4, ou d'une racine quatrième de φ. Les techniques hellénistiques sont pourtant incapables de réaliser un tel calcul.

Architecture

Le Corbusier est l'architecte qui théorise l'usage du nombre d'or dans son métier. S'il reprend l'idée de Vitruve, consistant à proportionner un bâtiment aux dimensions d'un corps humain, il y associe d'autres éléments justifiant l'usage de la proportion d'Euclide.

Le nombre d'or permet de créer un curieux système de numération. Les mathématiques nous apprennent qu'il est possible de construire une numération positionnelle, non seulement avec dix, comme celle des humains, ou avec deux, pour les ordinateurs, mais avec n'importe quel nombre réel strictement positif et différent de un. Celui construit avec le nombre d'or, appelé base d'or, lui semble le plus adapté à l'architecture. Au premier contact, il est un peu étrange. Par exemple dans ce monde 100 est égal à 10 + 1, ce qu'un mathématicien lit φ² = φ + 1. Cette loi est la réincarnation du vieux quine des tailleurs de pierre du Moyen Âge, une paume plus une palme est égal à un empan.

Cette échelle harmonique pour reprendre son expression permet de réconcilier les atouts du système métrique décimal, pratique et abstrait, avec ceux du système anglais des pouces et des pieds, naturel mais peu pratique. En calant les différentes dizaines, c'est-à-dire ici les puissances du nombre d'or, sur les dimensions humaines, Le Corbusier cherche à obtenir un système alliant les deux avantages. La deuxième unité correspond à la taille d'un avant-bras, la troisième à la distance entre le nombril et le sommet de la tête, la quatrième à celle entre le sol et le nombril d'un homme debout et la cinquième à la taille d'un adulte.

En termes d'architecture, cette démarche offre un moyen naturel pour incarner l'idéal de Vitruve. Chaque dizaine correspond à une proportion humaine et les différentes proportions se répondent entre elles. En termes d'urbanisme, Le Corbusier cherche à trouver un moyen de normalisation. En 1950, date de parution du premier tome sur le Modulor, nom qu'il donne à ce système, les besoins de reconstruction sont vastes et la rationalisation de la production, un impératif. L'auteur parle de machine à habiter. Cette démarche, vise aussi un objectif esthétique. La normalisation dispose d'un avantage, elle permet plus d'harmonie. Le tracé régulateur, c'est-à-dire l'échelle construite sur la suite de Fibonacci y joue un rôle : «  Le tracé régulateur n'apporte pas d'idée poétique ou lyrique ; il n'inspire nullement le thème ; il n'est pas créateur ; il est équilibreur. Problème de pure plasticité »

À partir des années 1950, Le Corbusier utilise systématiquement le modulor pour concevoir son œuvre architecturale. La Cité radieuse de Marseille ou la Chapelle Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp sont deux exemples célèbres.

Musique

En musique, le nombre d'or est recherché à la fois dans l'harmonie et dans le rythme.

Le terme d'harmonie désigne ici une technique permettant de choisir les différentes notes jouées simultanément. Durant une période qui s'étend du XVI^e siècle au début du XX^e siècle, elle est essentiellement tonale, à l'image de la musique de Bach ou Mozart. Aucune série de deux notes ne définit une proportion d'or. L'approximation la plus proche étant la sixte mineure obtenue par deux sons dont les fréquences définissent un rapport de 8/5 = 1,6 (la sixte majeure correspondant à un rapport de fréquence de 5/3 = 1,66 est une approximation moins bonne). Pour cette raison, le nombre d'or est souvent recherché dans la musique du XX^e siècle. De nouvelles gammes sont explorées, comme la gamme décatonique ou 10-TET (ten-ton équal temperament). Dans celle-ci, l'octave est partagé en 10 parties égales. Chaque degré représente alors un écart de 2^1/10. Pour cette gamme, le nombre d'or est proche du rapport défini par deux notes séparées de 7 degrés. La présence du nombre d'or ici est néanmoins un peu fortuite. Un écart entre 7 degrés donne une proportion de 2^7/10 approximativement égal à 1,624.

Le rythme est plus largement associé au nombre d'or et sur une période musicale plus vaste. Son traitement par Bach est l'objet d'une thèse de doctorat, sur l'analogie entre les rythmes de Suite en do mineur pour luth (BWV 997) et la Passion selon saint Matthieu (BWV 244). Roy Howat montre que Debussy était associé à des revues symbolistes auxquelles il participait et qui analysaient les proportions et le nombre d'or. Il montre aussi comment on retrouve cette approche à travers des œuvres comme La mer ou Reflets dans l'eau. Des études montrent des résultats analogues pour Erik Satie, Béla Bartók ou encore Karlheinz Stockhausen. Certains compositeurs de musique électro-acoustique ont fabriqué des sons synthétiques dont les fréquences des partiels sont basées sur le nombre d'or.

À l'exception de compositeurs comme Xenakis où l'usage du nombre d'or est explicité par l'auteur, l'absence de preuve définitive empêche le consensus. La polémique est néanmoins de nature différente de celle qui sévit, par exemple en archéologie. Ici la position favorable à l'existence d'un usage large du nombre d'or est défendue par des institutions professionnelles comme l'Ircam ou une thèse d'Université comme celle de Montréal.

Esthétique mathématique

Une question récurrente est celle de l'existence ou non d'une réalité scientifique de l'idée de beauté associée au nombre d'or. Elle s'inscrit dans le cadre général d'une théorie scientifique de l'esthétique. Certains artistes, comme Xenakis en sont persuadés : « Or, les durées musicales sont créées par des décharges musculaires qui actionnent les membres humains. Il est évident que les mouvements de ces membres ont tendance à se produire en des temps proportionnels aux dimensions de ces nombres. D’où la conséquence : les durées qui sont en rapport du nombre d’or sont plus naturelles pour les mouvements du corps humain ». Charles Henry, dans le domaine des arts picturaux, inscrit le nombre d'or dans une vaste théorie de cette nature, traitant non seulement des proportions, mais aussi de la couleur et des constrastes.

Préfigurant une démarche de nature sociologique comme celle d'Émile Durkheim, le philosophe allemand Gustav Fechner tente des expériences statistiques pour valider scientifiquement une association humaine entre le beau et le rectangle d'or. Des formes sont présentées à un public qui évalue les proportions les plus esthétiques. Si les résultats vont dans le sens de l'existence d'un canon de beauté construit à l'aide de la divine proportion, le protocole choisi ne correspond pas aux critères actuels de rigueur. Une deuxième expérience, plus objective met en évidence une préférence pour un format proche du 16/9 de la télévision. Une fois encore, et malgré son caractère plus rigoureux, le caractère universel d'un tel format n'est pas établi.

Si l'intuition d'artistes comme Xenakis, Valéry ou Le Corbusier, laisse penser à l'existence d'une transcendance esthétique du nombre d'or, aucune approche scientifique ne permet d'affirmer la pertinence d'une telle hypothèse.