Introduction

Le nombre d'or est la proportion, définie initialement en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), comme l'unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme des deux longueurs (a+b) sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c'est-à-dire lorsque (a+b)/a = a/b. Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) découpage en extrême et moyenne raison. Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ (phi) en l'honneur du sculpteur Phidias qui l'aurait utilisé pour concevoir le Parthénon.

Ce nombre irrationnel (Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne...) est l'unique solution positive de l'équation x² = x + 1. Il vaut exactement :

soit approximativement 1,618 033 989. Il intervient dans la construction du pentagone régulier et du rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des...) d'or. Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom...) et permettent de définir une arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) du nombre d'or source de nombreuses démonstrations.

L'histoire de cette proportion commence à une période reculée de l'antiquité grecque. À la Renaissance, Luca Pacioli (Luca Bartolomes Pacioli , dit Luca di Borgo (1445 à Borgo Sansepolcro en Toscane - 1514 ou 1517 à...), un moine franciscain italien, la met à l'honneur dans un manuel de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) et la surnomme divine proportion en l'associant à un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....) envoyé du ciel (Le ciel est l'atmosphère de la Terre telle qu'elle est vue depuis le sol de la planète.). Cette vision se développe et s'enrichit d'une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) esthétique, principalement au cours des XIX^e et XX^e siècles où naissent les termes de section dorée et de nombre d'or.

Le nombre d'or se trouve parfois dans la nature ou des œuvres humaines, comme dans les étamines du tournesol (Le tournesol, ou grand soleil, est une grande plante annuelle, appartenant à la famille des...) ou dans certains monuments à l'exemple de ceux conçus par Le Corbusier (Charles-Édouard Jeanneret-Gris, né le 6 octobre 1887 à La Chaux-de-Fonds,...). Il est aussi étudié comme une clé explicative du monde (Le mot monde peut désigner :), particulièrement pour la beauté. Il est érigé en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) esthétique et justifié par des arguments d'ordre scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui...) ou mystique : omniprésence dans les sciences de la nature et de la vie (La vie est le nom donné :), proportions du corps humain (Le corps humain est la structure physique d'une personne.) ou dans les arts comme la peinture, l'architecture (L’architecture peut se définir comme l’art de bâtir des édifices.) ou la musique.

Certains artistes, tels le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry ont adhéré à une partie plus ou moins vaste de cette vision, soutenue par des livres très populaires. À travers la médecine (La médecine (du latin medicus, « qui guérit ») est la science et la...), l'archéologie ou les sciences de la nature et de la vie, la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire...) infirme les théories de cette nature car elles sont fondées sur des généralisations abusives et des hypothèses inexactes.

Géométrie

Proportion

Le nombre d'or possède une première définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) d'origine géométrique, fondée sur la notion de proportion :

Il existe une interprétation graphique de cette définition, conséquence des propriétés des triangles semblables illustrée par la figure 1. Les segments bleus sont de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) a et le rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait...) de longueur b. Dire que la proportion définie par a et b est d'or revient à dire que les triangles OAB et OCA sont semblables. Euclide exprime la proportion d'or, qu'il appelle extrême et moyenne raison, de la manière suivante : Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison lorsque la droite entière est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit.

Si a et b sont en proportion d'extrême et de moyenne raison, alors le rapport a / b est constant, ce qui donne une nouvelle définition du nombre d'or :

La proportion (1), définissant la proportion d'or, peut être écrite de la manière suivante, obtenue en multipliant l'égalité par a / b :

Ce qui revient à dire que φ est solution d'une équation du second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...). Cette propriété donne lieu à une troisième définition :

Cette équation est équivalente à celle indiquant que l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) de l'inconnue x est égal à x - 1 ou encore que le développement décimal (En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des...) de 1/x est le même que celui de x, auquel on a retranché sa partie entière (En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière...).

Il existe deux modes de définition du nombre d'or, celle géométrique qui s'exprime en termes de proportion et celle algébrique qui définit le nombre comme l'unique racine positive d'une équation. Cette double approche permet de résoudre un problème d'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...), en l'occurrence une équation du second degré, à l'aide de méthode géométrique, on parle d'algèbre géométrique (En mathématiques, l’algèbre géométrique regroupe des méthodes...).

Rectangle et spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en...) d'or

Les calculs précédents permettent, à l'aide d'une règle et d'un compas de dessiner une proportion d'extrême et de moyenne raison. La méthode est illustrée sur la figure de gauche. On dessine un cercle de centre C et de rayon 1 (en orange). Puis, de l'extrémité du rayon, on élève un segment (en vert) perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) au rayon, de longueur 1/2, et on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le...) le cercle de centre C' et de rayon 1/2. Le segment bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs...) qui a pour extrémités C et le point du cercle C' dans le prolongement de C C' est de longueur φ.

Cette méthode permet aussi de construire un rectangle d'or, c'est-à-dire un rectangle de longueur a et de largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit...) b tel que a et b soient en proportion d'extrême et de moyenne raison. En d'autres termes, un rectangle est dit d'or si le rapport entre la longueur et la largeur est égal au nombre d'or.

Pour tracer un rectangle d'or de longueur a et de largeur b, le plus simple est de dessiner un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) de côté b. En prenant le milieu de la base comme centre, on trace un cercle passant par les deux sommets opposés. L'intersection de la droite prolongeant la base du carré et du cercle détermine l'extrémité de la base du rectangle d'or. Il apparait comme construit par l'adjonction à un carré de côté de longueur b, d'un rectangle de côtés de longueur b et a - b, comme le montre la figure de droite. Un rapide calcul montre que ce rectangle est encore d'or :

Il est possible de réitérer le processus précédent et d'intégrer un carré de côté a - b dans le rectangle d'or de côté b, a - b, comme indiqué sur la figure de gauche. Cette méthode peut être prolongée indéfiniment. Si, dans chaque carré est dessiné un quart de cercle d'extrémités deux côtés du carré, comme sur la figure, on obtient une spirale. Ce graphique est une bonne approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) d'une spirale d'or, d'équation polaire :

Cette spirale est un cas particulier de spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :). Comme toute spirale de cette famille, elle possède une propriété caractéristique, si A est un point de la spirale, l'angle entre la droite passant par le centre de la spirale et A fait un angle constant avec la tangente à la spirale en A. Une telle spirale est dite équiangle.

D'autres figures se dessinent à l'aide du nombre d'or à l'instar de l'oeuf d'or.

Pentagone et pentagramme

Un pentagone se construit à l'aide de la proportion d'extrême et moyenne raison. Soit un cercle de diamètre OP₁ et de rayon a, illustré sur la figure de gauche. Si b est le nombre réel plus petit que a tel que a et b soit en proportion d'or, et P₂, P₃, P₄ et P₅ les intersections du cercle de diamètre OP₁ avec les deux cercles de centre O et de rayon a + b et b, alors les cinq points P_i définissent un pentagone.

Le pentagramme associé, c'est-à-dire la figure composée des cinq diagonales du pentagone (cf figure de droite), contient aussi de multiples proportions d'extrêmes et moyennes raisons. Elles s'expriment simplement à l'aide de triangles isocèles dont les longueurs des côtés sont en proportion d'or. De tels triangles sont appelés triangles d'or. Il en existe de deux types différents, les jaunes ayant une base proportionnelle à a et deux côtés à b et les orange ayant une base proportionnelle à b et deux côtés à a. Les triangles foncés sont semblables aux plus clairs de même couleur (La couleur est la perception subjective qu'a l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes...), la proportion entre clair et foncé est encore d'or.

Les triangles jaunes possèdent deux angles de 36°, soit le cinquième d'un angle plat et un de 108°, soit les trois cinquièmes d'un angle plat. Un tel triangle est parfois appelé triangle d'argent. Les triangles orange possèdent deux angles de 72°, soit les deux cinquièmes d'un angle plat et un angle de 36°. Avec des triangles d'or et d'argent dont les côtés sont toujours a et b, il est possible de paver intégralement un plan euclidien de manière non périodique. Un tel pavage (Un pavage (ou dallage) est une partition d'un espace (généralement un espace euclidien comme le...) est dit de Penrose.

Trigonométrie

L'analyse des mesures des triangles d'argent et d'or permettent de déterminer les valeurs trigonométriques associées au pentagone. Considérons un triangle d'argent de base φ et donc de côtés adjacents de longueur 1. Ce triangle, coupé (Un coupé est une voiture fermée, à deux portes (parfois trois avec hayon ou quatre comme l'ont...) en son milieu, comme sur la figure de droite, est un triangle rectangle d'hypoténuse (Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté non adjacent à l'angle droit, ou le côté...) de longueur 1. Sa base est de longueur φ/2 car elle correspond à la demi-base du rectangle d'argent. On en déduit que le cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) de 36° est égal à φ/2. Un raisonnement analogue s'applique au triangle d'or. Les côtés ont toujours une longueur 1, la base est en proportion d'or donc de longueur φ - 1. On en déduit que le cosinus de 72° est égal à (φ - 1)/2. À partir de ces valeurs et de différentes formules, il est possible de calculer les images par les fonctions trigonométriques des multiples ainsi que les moitiés de l'angle 36°.

Une autre manière de déterminer les différentes valeurs caractéristiques d'un pentagone consiste à utiliser le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque...). Les sommets sont les racines du polynôme cyclotomique (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, on appelle polynôme...) X⁵ - 1. Sa résolution est particulièrement aisée car 5 est un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et...) de Fermat, c'est-à-dire qu'il existe un entier n tel que 5 est égal à 2ⁿ + 1. Si p est un nombre premier, le polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) régulier à p côtés est constructible (On qualifie de constructible une chose qui peut être construite ou qui peut accueillir une...) à la règle et au compas si et seulement si, p est un nombre de Fermat (Un nombre de Fermat est un entier naturel qui peut s'écrire sous la forme 22n + 1, avec n...). Dans ce cas, l'extraction des racines du polynôme cyclotomique s'obtient à l'aide de résolution d'équations du second degré. Ce cas est traité dans l'article Polynôme cyclotomique.