Courbe plane
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En géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement contenue dans un (unique) plan, et qui est identifiable à une fonction continue :

\alpha: I \longrightarrow \R^2~

I est un intervalle de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) \R des nombres réels.

L'image d'une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les...) est aussi appelée support de la courbe. Parfois, on utilise aussi l'expression courbe pour indiquer le support d'une courbe. Une courbe sur un espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) supérieure à 2 est dite plane si son support est contenu dans un plan lui-même contenu dans l'espace euclidien dans lequel elle est définie.

Une courbe plane (En géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement contenue dans un (unique) plan, et qui est identifiable à une fonction continue :) est dite simple si elle ne se recoupe pas, autrement dit, si

\forall \ (t_1,t_2) \in I^2, t_1 \ne t_2 \Longrightarrow \alpha(t_1) \ne \alpha(t_2).

Représentations

Représentation par une forme cartésienne explicite

Une manière de représenter une courbe plane est l'équation :

y = f(x)\,

telle qu'à chaque point (Graphie) x corresponde un point y, et de façon à ce que chaque point du plan xy : (x,y) représente le support de la courbe. Une courbe de ce type est également nommée graphique en référence au graphique d'une fonction réelle ; en effet, la représentation peut aussi s'écrire :

\alpha (t) = (t,f(t))\,

c'est-à-dire comme fonction d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une...) indépendante. Cette représentation a de nombreuses limites géométriques, du fait que très souvent, une courbe a une description très complexe sous cette forme, qui n'est donc pas adaptée à l'étude des propriétés géométriques.

Représentation par une forme cartésienne implicite

Une courbe peut également être représentée sous la forme :

F(x,y)=0\,

c'est-à-dire comme fonction de deux variables indépendantes. Cette représentation est, selon certains points de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.), meilleure que la représentation explicite ; cependant, on peut rencontrer des problèmes quand il faut expliciter l'une des deux variables en fonction de l'autre : souvent, c'est très compliqué, quand ce n'est pas impossible.

Représentation paramétrée

La meilleure représentation est sans aucun doute la représentation paramétrée, du type :

\alpha : \begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases} ou bien α(t) = (φ(t),ψ(t))

t \in I s'appelle le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.).

La condition de continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations...) ne suffit pas pour représenter et étudier les courbes vues comme objets filiformes à une dimension avec les caractéristiques de régularité voulues. La condition supplémentaire est que la courbe plane soit différentiable sur I.

Une courbe plane paramétrée α(t) = (φ(t),ψ(t)) est dite différentiable en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point si les fonctions φ(t) et ψ(t) ont des dérivées continues en tout point.

On dit qu'une courbe plane paramétrée est régulière en un point t0 (ou que t0 est un point régulier pour cette courbe) si \alpha'(t_0) = (\phi'(t_0), \psi'(t_0)) \ne (0,0) ; elle est dite régulière sur I si \forall t \in I ,  \alpha'(t) \ne (0,0) en tout point t de I.

Un point t0 tel que α'(t0) = (0,0) est appelé point singulier pour la courbe.

Tangente

La régularité de la courbe permet de définir la droite tangente à la courbe. Soient α(t) une courbe différentiable et P0 = α(t0) un point régulier. On peut définir la tangente à la courbe en ce point comme étant la droite passant par P0 et parallèle au vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) α'(t0) = (φ'(t0),ψ'(t0)).

La tangente a une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) cartésienne au point t0 :

\psi'(t_0) \cdot (\phi(t_0) - \phi(t)) - \phi'(t_0) \cdot (\psi(t_0) - \psi(t)) = 0

et pour équations paramétrées :

\begin{cases} \phi(t) = \phi'(t_0) (t-t_0) + \phi(t_0) \\ \psi(t) = \psi'(t_0) (t-t_0) + \psi(t_0) \end{cases}

Dans le cas d'une courbe représentée explicitement par une équation y = f(x), la tangente au point (x0,y0) est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par la relation :

f'(x_0) \cdot (x-x_0) + (y-y_0) = 0.

Dans le cas d'une courbe représentée par une équation implicite F(x,y) = 0, la tangente au point (x0,y0) est donnée par la relation :

F_{x_0}\cdot(x-x_0) + F_{y_0}\cdot(y-y_0) = 0

F_{x_0} (respectivement F_{y_0}) désigne la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport...) partielle par rapport à x (respectivement y) de F, évaluée au point x0 (respectivement y0).

Normale

La régularité de la courbe permet de définir la droite normale à la courbe au point t0, d'équation cartésienne :

\phi'(t_0) \cdot (\phi(t_0) - \phi(t)) + \psi'(t_0) \cdot (\psi(t_0) - \psi(t)) = 0.

Cette équation devient, avec les mêmes notations que dans le paragraphe précédent :

  • Pour une représentation explicite :
f'(x_0) \cdot (y-y_0) + (x-x_0) = 0.
  • Pour une représentation implicite :
F_{y_0}\cdot(x-x_0) + F_{x_0}\cdot(y-y_0) = 0.

Cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des...) directeurs

D'après la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) même de la dérivée, on obtient :

\frac {\phi(t)}{\psi(t)} = \tan \theta

ce qui, d'un point de vue géométrique, représente la pente de la droite tangente à la courbe, autrement dit la tangente (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie...) trigonométrique du terme) de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) que cette tangente forme avec l'axe horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la gauche vers la...) (l'axe des 'x'). De cette relation, on peut extraire les cosinus directeurs de la tangente à la courbe :

\cos \theta = \pm \frac {\phi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}}
\sin \theta = \pm \frac {\psi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}}

Reparamétrage

Soient \alpha : I \longrightarrow \R^2 une courbe plane différentiable, et t = t(s) une fonction définie sur l'intervalle S et à valeurs dans I. Alors la courbe :

\beta = \alpha \circ t : S \longrightarrow \R^2,

telle que pour tout s \in S, \beta(s) = \alpha(t(s)), est un reparamétrage de la courbe α. Le reparamétrage est dit régulier si t(S) = I et si \forall s \in S, t'(s) \ne 0.

On vérifie alors le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) suivant : si \beta = \alpha \circ t est un reparamétrage de la courbe α par t = t(s) alors

\beta' (s) = \frac {dt}{ds} \alpha' (t(s))
Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir...)
Si α(t) = (φ(t),ψ(t)) alors β(s) = (φ(t(s)),ψ(t(s))) et d'après les théorèmes de dérivation des fonctions composées, on a :
\frac {d\phi(t(s))}{ds} = \frac {d\phi}{dt} \cdot \frac {dt}{ds}
\frac {d\psi(t(s))}{ds} = \frac {d\psi}{dt} \cdot \frac {dt}{ds}
et ainsi on obtient :
\beta'(s) = \frac {dt}{ds} \left(\frac {d\phi}{dt} , \frac {d\psi}{dt} \right) = \frac {dt}{ds} \alpha'(t(s))

Longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement développé.) d'une courbe

Longueur d'un arc paramétré

Soient α(t) = (φ(t),ψ(t)) une courbe différentiable sur I, et [a,b]\subseteq I. Alors la longueur de l'arc de courbe compris entre α(a) et α(b) vaut :

L(\alpha) = \int_{a}^{b} \| \alpha'(t) \| dt = \int_{a}^{b} \sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2} \cdot dt.

Si de plus β(s) est un reparamétrage de la courbe, alors :

L(\alpha) = L(\beta) = \int_{a}^{b} \| \alpha'(t) \| dt = \int_{a}^{b} \| \beta'(s) \| ds.

Longueur et forme cartésienne explicite

Si la courbe est représentée sous forme cartésienne explicite y = f(x) alors, comme \frac{dx}{dx} = 1 et \frac {df(x)}{dx} = \frac {dy}{dx}, la longueur de la courbe est donnée par :

L = \int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\cdot dx}.

Paramétrage (En mathématiques, le paramétrage est un des procédés fondamentaux de définition des courbes, surfaces, et plus généralement...) avec les coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.) planes

Une forme de paramétrage qui revêt une importance notable dans l'étude des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....), de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) et dans de nombreux domaines d'application des mathématiques, est celle des coordonnées polaires planes. Étant donnée une courbe paramétrée en coordonnées polaires par la forme cartésienne r = r(θ), avec c ≤ θ ≤ d, et par la forme paramétrée :

\begin{cases} \phi(\theta) = r(\theta) \cos \theta \\ \psi(\theta) = r(\theta) \sin \theta \end{cases}, de paramètre θ.

Alors ses dérivées sont : \begin{cases}\phi'(\theta) = r'(\theta) \cos \theta - r(\theta) \sin \theta \\ \psi'(\theta) = r'(\theta) \sin \theta + r(\theta) \cos \theta \end{cases}

et donc la longueur de l'arc est :

L = \int_{c}^{d}{\sqrt {\phi'(\theta)^2 + \psi'(\theta)^2} \cdot d\theta} = \int_{c}^{d}{\sqrt {r(\theta)^2 + r'(\theta)^2} \cdot d\theta} = \int_{c}^{d}{\sqrt {r(\theta)^2 + \left(\frac {dy}{dx} \right)^2} \cdot d\theta}.

Abscisse curviligne

On définit l'abscisse curviligne ou paramètre longueur d'arc comme étant le reparamétrage particulier obtenu en fixant la borne inférieure d'intégration a, de façon à ce que l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on...) s(t) = \int_{a}^{t}{\| \alpha'(u) \| du} ne dépende que de la borne supérieure t, vue comme variable. Cette fonction est, géométriquement, la longueur de l'arc de courbe à partir d'un point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.) a, affectée éventuellement d'un signe. Il est toujours possible de paramétrer de nouveau la courbe selon l'abscisse curviligne. Dans ce cas, pour déterminer la tangente en un point, on sait qu'elle est parallèle à un vecteur tangent unitaire. On démontre que l'on peut toujours paramétrer de nouveau une courbe au moyen de l'abscisse curviligne de la façon suivante :

étant donné que s'(t) = \|\alpha'(t)\| >0, on peut inverser s(t), et son inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) est t = t(s). Alors on obtient le reparamétrage par l'abscisse curviligne donné par : β(s) = α(t(s)).

On démontre ensuite que le vecteur tangent est unitaire :

\| \beta'(s) \| = | \frac {dt}{ds} | \cdot \| \alpha'(t) \| = \frac {1}{|s'(t)|} \| \alpha'(t) \| = \frac {\| \alpha'(t) \|}{\| \alpha'(t) \|} = 1.

Courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :)

Soit β(s) une courbe paramétrée selon l'abscisse curviligne et β'(s) son vecteur tangent unitaire. Considérons la fonction k : S\longrightarrow \R , s\longmapsto k(s) = \| \beta'(s)\|. Alors la fonction k(s) \ge 0 est dite courbure de la courbe.

Si la courbe est représentée explicitement, sa courbure est :

k = \frac{f''(x)}{ \left(1 + f'^{2} \right)^{3/2}}.

En revanche, pour une courbe représentée par une équation implicite, la courbure est évaluée par :

k = \frac{F_{y}^{2} \cdot F_{xx} - 2 F_{x} \cdot F_{y} \cdot F_{xy} + F_{x}^{2} \cdot F_{yy}}{\left(F_{x}^{2} + F_{y}^{2} \right)^{3/2}}.

Formules de Frenet

Une courbe (suffisamment régulière) de l'espace possède, en tous ses points, un système de référence, dit trièdre de Frenet, donné par un triplet de vecteurs tangent, normal e binormal. Une telle courbe est plane si et seulement si le vecteur binormal est toujours nul.

Soit β(s) = (φ(s),ψ(s)) une courbe paramétrée selon l'abscisse curviligne. Le vecteur unitaire tangent est déterminé par :

T(s) = β'(s) = (φ'(s),ψ'(s)).

Le vecteur unitaire normal est déterminé par :

N(s) = i \cdot T(s) = (- \psi'(s), \phi'(s)),

i est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe tel que i2 = − 1. Grâce à la définition de la courbure, on peut donner une autre forme au vecteur unitaire normal :

N(s) = \frac {T'(s)}{\| T'(s) \|} = \frac {T'(s)}{k(s)}.

On démontre que le vecteur T' est orthogonal à T et donc parallèle à N.

Finalement, les formules di Frenet et la courbure pour une courbe plane, quel que soit son paramétrage α(t) = (φ(t),ψ(t)), sont :

T(t) = \frac {\alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|}
N(t) = \frac {i \cdot \alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|}
k(t) = \frac {\alpha''(t) \cdot (i \alpha'(t))}{\| \alpha'(t) \|^3}

Exemples de courbes planes

Courbes planes classiques

  • La droite
  • Le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle....)
    • Le cercle unité
  • les cissoïdes :
    • La cissoïde (La cissoïde ou (courbe) cissoïdale de deux courbes (C1) et (C2) par rapport à un point fixe O est le lieu géométrique des points P tels que où P1 est un point de (C1) et P2 un point de (C2), P1 et P2 étant alignés avec O.) de Dioclès
    • La cissoïde de Sluze
  • Les coniques :
    • l'ellipse
    • la parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont...)
    • l'hyperbole
  • les courbes cycloïdales :
    • la cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une droite. Il s'agit...)
    • l'épicycloïde (Une épicycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur, les disques ouverts...)
    • l'hypocycloïde (Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de celui-ci. Il s'agit donc d'un cas particulier de cycloïde à...)
    • la cardioïde (La cardioïde est une courbe algébrique plane, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre. Il s'agit donc d'une courbe cycloïdale...)
    • la néphroïde
    • l'astroïde (Une astroïde est une courbe plane, qui peut se définir de plusieurs façons. En particulier, il est possible de l'obtenir en faisant rouler un cercle de rayon ¼ à l'intérieur d'un cercle de rayon 1. Pour cette raison, l'astroïde est...)
    • la deltoïde
  • Les courbes isochrones :
    • L'isochrone (Isochrone signifie « qui se produit à intervalles de temps égaux ». Les oscillations d'un pendule ou d'un balancier-spirale sont isochrones lorsque leur durée est indépendante de l'amplitude.) de Huygens
    • L'isochrone de Leibniz
    • L'isochrone paracentrique
    • L'isochrone de Varignon
  • les lemniscates :
    • Le lemniscate de Bernoulli (La lemniscate de Bernoulli est une courbe plane. Elle porte le nom du mathématicien et physicien suisse Jacques Bernoulli.)
    • Le lemniscate (Une lemniscate est une courbe plane ayant la forme d'un 8. Elle possède deux axes de symétrie perpendiculaires. Ceux-ci se coupent en un point double de la courbe, également...) de Gerono
    • Le lemniscate de Booth
  • Les spirales :
    • La spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.) d'Archimède
    • La spirale hyperbolique
    • La spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :)
    • La spirale de Fermat
    • La spirale de Nielsen
    • La spirale de Cotes
    • La spirale de Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle, célèbre pour avoir jeté les...)
  • la sinusoïde
  • l'exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines...)
  • l' atriphtaloïde
  • la chaînette (En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu par...)
  • Le folium de Descartes ()
  • l' hélice (Hélice est issu d'un mot grec helix signifiant « spirale ». Un objet en forme d'hélice est dit hélicoïdal.)
  • les conchoïdes
  • le limaçon (Initialement, « limaçon » est un diminutif de « limace ». Tout d'abord, de manière naturelle, ce mot est parfois utilisé pour désigner de petites limaces. Il serait...) de Pascal
  • La lituus
  • Les pétales de rose
  • La strophoïde
  • La superellipse
  • la tractrice (En mathématique, une tractrice est une courbe plane parcourue par un point M lié à un point T par les conditions suivantes :)
  • La trisectrice de Maclaurin
  • la courbe du chien (Le chien (Canis lupus familiaris) est un mammifère domestique de la famille des canidés, proche du loup et du renard. Autrefois regroupé dans une...)
  • les courbes enveloppes
  • les courbes développantes

Constructions

  • La courbe du dragon
  • Le flocon de Koch
  • Les courbes de Bézier
  • Les splines

Courbes analytiques

  • Courbe fermée
  • Courbe rectifiable
  • Courbe de Jordan
  • Courbe de Peano
  • Courbe de Sierpinski

Courbes algébriques

Une courbe algébrique (Une courbe algébrique est une courbe, le plus souvent plane, dont l’équation cartésienne peut se mettre sous forme polynômiale. Une courbe non algébrique est dite transcendante.) est une variété algébrique de dimension 1, généralement exprimée sous la forme d'un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce...) de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) divers. Des exemples incluent :

  • Les droites projectives
  • Les courbes quadriques, autre nom des coniques, de degré 2
  • Les courbes cubiques, de degré 3
    • La cubique d'Agnesi
  • Les courbes quartiques, de degré 4
    • La courbe de Klein
  • Les courbes quintiques, de degré 5
    • La quintique de l'Hospital
  • Les courbes sextiques, de degré 6
  • Les courbes elliptiques
  • Les courbes hyperelliptiques
  • Les courbes modulaires
  • Les courbes de Fermat
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