Loi de Planck
Un filament d'ampoule à incandescence émet dans le rouge à environ 700°C, et blanc voire bleu pour des températures supérieures.
Un filament d'ampoule à incandescence émet dans le rouge à environ 700°C, et blanc voire bleu pour des températures supérieures.

La loi de Planck définit la distribution de luminance énergétique monochromatique (On qualifie de monochromatique (du grec mono-, un seul et chromos, couleur) une lumière dont la couleur n'est formée que d'une fréquence ou, par extension de sens, d'une bande très étroite de fréquence au niveau de son spectre.) du rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de transmission d'énergie impliquant une particule porteuse.) thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des transferts de chaleur suivant...) du corps noir (En physique, un corps noir désigne un objet idéal dont le spectre électromagnétique ne dépend que de sa température. En pratique, un tel objet matériel n'existe pas, mais il représente un cas...) en fonction de la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est...) thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La première définition est aussi...).

La luminance (En physique, la luminance est l'intensité d'une source de lumière visible dans une direction donnée, divisée par l'aire apparente de cette source dans cette même direction.)[1] énergétique monochromatique est un flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens commun. Plus précisément...) énergétique par unité de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...), par unité d'angle solide (En mathématiques, en géométrie et en physique, un angle solide est l'analogue tridimensionnel de l'angle plan ou bidimensionnel.) et par unité de longueur (Il existe de nombreuses unités de longueur ne faisant pas partie du système international. Certaines sont utilisées dans des domaines scientifiques pour simplifier...) d'onde ; elle s'exprime en W m-2.m-1.sr-1 en unités SI :

L_\lambda = \frac{2h{c_\lambda}^2}{\lambda^5}\frac{1}{\exp \left(\frac{h{c_\lambda}}{k\lambda T}\right)-1}

cλ = c / nλ est la vitesse (On distingue :) du rayonnement électromagnétique (Un rayonnement électromagnétique désigne une perturbation des champs électrique et magnétique.) dans le milieu où se propage le rayonnement, avec :

  • nλ indice de réfraction (L'indice de réfraction provient du phénomène de réfraction qui désigne le changement de direction de la lumière au passage d'un milieu à un autre. La notion d'indice a d'abord été introduite empiriquement comme coefficient dans...) du milieu pour la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière.) λ
  • c = 299 792 458 m/s (vitesse de la lumière)
  • h = 6,626 17×10-34 J.s (constante de Planck)
  • k = 1,380 66×10-23 J/K (constante de Boltzmann)
  • T est la température de la surface du corps noir en kelvins

Introduction

La loi de Planck (La loi de Planck définit la distribution de luminance énergétique monochromatique du rayonnement thermique du corps noir en fonction de la température thermodynamique.) décrit la répartition de l'énergie électromagnétique (Les forces électrostatiques et magnétiques peuvent faire déplacer des objets à distance, il semble donc évident qu'à tout phénomène électromagnétique est associé une énergie...) (ou la répartition de la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau pure...) de photons) rayonnée par un corps noir à une température donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.), en fonction de la longueur d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales....) . La loi de Planck est présentée sous différentes variantes, qui emploient des grandeurs telle que l'intensité, la densité de flux ou bien la répartition spectrale. Toutes ces formes des différentes grandeurs de rayonnement sont des formes différentes de la loi de Plank.

A la fin du 19è siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois...), les physiciens essayaient de comprendre le spectre du rayonnement des corps noirs en se fondant sur la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...) classique, la physique statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique...) et l'électrodynamique (L'électrodynamique est la discipline physique qui étudie et traite des actions dynamiques entre les courants électriques.) classique. Des hypothèses contradictoires (loi de Wien, loi de Rayleigh-Jeans) et une concordance seulement partielle avec les résultats expérimentaux conduisirent à une situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus général afin de le qualifier...) non satisfaisante. C'est Max Planck qui, à la fin du siècle, réussit à trouver une loi de rayonnement complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la quantité d'informations...) en accord avec les mesures expérimentales. Outre l'importance pratique du corps noir, la découverte de la loi de Planck en 1900 signe la naissance de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou transmet un...) quantique : pour expliquer sa loi trouvée de manière empirique, Planck a du supposer que la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière est intimement...) (et donc le rayonnement électromagnétique en général) n'était pas absorbée et émise de manière continue, mais uniquement de manière discrète, par l'intermédiaire de quanta (on parle aujourd'hui de photons).

D'après la loi du rayonnement de Kirchhoff, la capacité d'absorption ( En optique, l'absorption se réfère au processus par lequel l'énergie d'un photon est prise par une autre entité, par exemple, un atome qui fait une transition entre deux niveaux...) et la capacité d'émission de rayonnement thermique d'un corps sont proportionnels pour toutes les longueurs d'ondes. Un corps noir est un corps hypothétique qui absorbe tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le rayonnement qu'il reçoit, quelle que soit la longueur d'onde. Comme sa capacité d'absorption prend la plus grande valeur possible quelle que soit la longueur d'onde, sa capacité d'émission prend également la plus grande valeur possible. Un corps réel ne peut pas émettre plus de rayonnement thermique qu'un corps noir, car celui-ci représente une source de rayonnement thermique idéale. Comme son spectre ne dépend d'aucun autre paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) que de la température (en particulier, il ne dépend pas des propriétés du matériau), le corps noir est une source de référence utilisée dans de nombreux cas.

La loi de rayonnement de Planck

Comme la loi de Planck est valable dans de nombreux contextes différents, elle s'exprime sous différentes formes, toutes dérivées les unes des autres. Pour comprendre ces différentes formes de la loi de Planck, nous allons d'abord énoncer les grandeurs qui apparaissent dans les différentes formules.

Comme il est d'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) pour les grandeurs radiométriques, différentes grandeurs de rayonnement peuvent être utilisées pour décrire le spectre du rayonnement d'un corps noir. Les dénominations et symboles utilisés ici suivent la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme générique...) ISO 9288 (Août 1996). L'indice haut \,^o indique que la grandeur en question décrit spécifiquement les propriétés d'un corps noir. Les formules suivantes sont valables pour le rayonnement dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.). Pour le rayonnement dans un milieu d'indice de réfraction (En physique des ondes — notamment en optique, acoustique et sismologie — le phénomène de réfraction est la déviation d'une onde...) n, il faut remplacer les célérités dans le vide c par c/n et les longueurs d'onde λ par λ/n, sans modifier la fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par...) ν.

On différencie

  • les grandeurs spectrales, qui décrivent la dépendance à la fréquence (ou à la longueur d'onde) de manière explicite,
  • les grandeurs totales, intégrées sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des fréquences (ou des longueurs d'onde)

ainsi que

  • les grandeurs directionnelles, qui décrivent la dépendance à la direction de manière explicite,
  • les grandeurs hémisphériques, intégrées sur toutes les directions du demi-espace.

Luminance energétique monochromatique

La luminance énergétique monochromatique L^o_{\Omega\nu} d'un corps noir à la température absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à...) T vaut

  • Selon la fréquence :
L^o_{\Omega\nu}(\nu, T) \, \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega = \frac{2 h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}\cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega

Unité SI de L^o_{\Omega\nu}(\nu, T) : W m-2 Hz-1 sr-1,

  • Selon la longueur d'onde :
L^o_{\Omega\lambda}(\lambda, T) \, \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda \, \mathrm{d}\Omega = \frac{2 h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}\cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda \, \mathrm{d}\Omega

Unité SI de L^o_{\Omega\lambda}(\lambda, T) : W m-2 µm-1 sr-1.

L^o_{\Omega\lambda}(\lambda, T) est la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) rayonnée par un élément de surface dA dans le domaine de fréquences entre ν et ν+dν, dans l'élement d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) solide dΩ délimité par les angles azimutaux φ et φ+dφ ainsi que les angles d'ascension polaires β et β+dβ. h est la constante de Planck (En physique, la constante de Planck, notée h, est une constante utilisée pour décrire la taille des quanta. Elle joue un rôle central dans la mécanique quantique et a été nommée d'après le physicien Max...), c est la célérité (La célérité (traditionnellement notée c) est la vitesse de propagation d'un phénomène ondulatoire. Elle varie selon les composantes fréquentielles de l'onde et son milieu de propagation.) de la lumière dans le vide et k est le constante de Bolztmann. Le facteur cos(β) prend en compte le fait que, pour le rayonnement dans une direction indiquée par φ et β, seule la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) orthogonale à cette direction cos(β)dA de la surface dA est prise en compte comme surface rayonnante effective.

La luminance énergétique monochromatique L^o_{\Omega\lambda}(\lambda, T) doit être indépendant de la direction pour des raisons thermodynamiques (Justification : quand un corps noir est soumis au rayonnement à l'intérieur d'une cavité à rayonnement isotrope de même température, il absorbe entièrement le rayonnement incident, mais doit remplacer le rayonnement absorbé par un rayonnement émis par lui-même pour conserver l'équilibre thermique. La luminance énergétique spectrale du rayonnement de la cavité doit être indépendante de la direction à l'équilibre, et comme le rayonnement émis par le corps noir a la même luminance, elle est également indépendante de la direction).

Le corps noir rayonne de manière totalement diffuse, et suit le modèle du rayonnement de Lambert.

Lors du passage entre représentation fréquentielle et représentation en longueur d'onde, il est à noter que comme \lambda = \frac{c}{\nu}, on a les relations :

|\mathrm{d}\lambda| = \frac{c}{\nu^2} |\mathrm{d}\nu| et |\mathrm{d}\nu| = \frac{c}{\lambda^2} |\mathrm{d}\lambda|

La luminance énergétique monochromatique est, comme son nom l'indique, une grandeur spectrale.

Exitance energétique monochromatique

En intégrant la luminance énergétique monochromatique suivant toutes les directions du demi-espace dans lequel rayonne l'élément de surface étudié, on obtient l'exitance[2] energétique monochromatique M^o_\nu(\nu, T). Il vient :

M^o_\nu(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu = \int_{demi-espace} L^o_{\Omega\nu}(\nu, T) \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega
= \int_{\phi=0}^{2\pi} \, \int_{\beta=0}^{\frac{\pi}{2}} L^o_{\Omega\nu}(\nu, T) \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \sin(\beta) \, \mathrm{d}\phi \, \mathrm{d}\beta
= 2\pi \, L^o_{\Omega\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \int_{\beta=0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(\beta) \sin(\beta) \mathrm{d}\beta
= \pi \, L^o_{\Omega\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu,

soit :

  • Selon la fréquence
M^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \,  = \frac{2\pi h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu

Unité SI de M^o_{\nu}(\nu, T) : W m-2 Hz-1

  • Selon la longueur d'onde
M^o_{\lambda}(\lambda, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda \, = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda

Unité SI de M^o_{\lambda}(\lambda, T) : W m-2 μm-1.

M^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu est la puissance rayonnée par l'élément de surface dA dans le domaine de fréquences entre ν et ν+dν dans le demi-espace. L'exitance énergétique monochromatique est une grandeur spectrale hémisphérique.

Luminance énergétique

En intégrant la luminance énergétique monochromatique non pas sur les directions mais sur les fréquences, on obtient la luminance énergétique (totale) L^o_{\Omega}(T), telle que :

L^o_{\Omega}(T) \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega   = \int_{\nu=0}^{\infty} L^o_{\Omega\nu}(\nu, T) \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega

Comme \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^{x}-1} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^4}{15}, le calcul de l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un...) donne :

L^o_{\Omega}(T) \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega   =  \frac{2 \pi^4 k^4}{15 h^3 c^2} T^4 \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega

Unité SI de L^o_{\Omega}(T) : W m-2 sr-1.

L^o_{\Omega}(T) \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega est la puissance rayonnée par l'élément de surface dA sur toutes les fréquences dans l'angle solide dans la direction donnée par β.

La luminance énergétique est une grandeur totale directionnelle.

Exitance énergétique, densité de flux radiatif, loi de Stefan-Boltzmann (En physique, la loi de Stefan-Boltzmann[1] établit que la puissance totale rayonnée par unité de surface dans le demi-espace libre du corps noir (exitance[2] énergétique du corps noir)...)

(voir l'article Loi de Stefan-Boltzmann)

En intégrant l'exitance énergétique monochromatique sur toutes les fréquences ou bien la luminance énergétique sur toutes les directions du demi-espace, on obtient l'exitance énergétique (ou densité de flux radiatif) Mo(T), telle que :

M^o(T) \, \mathrm{d}A = \int_{\nu=0}^{\infty} M^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu = L^o_{\Omega}(T) \int_{demi-espace} \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega
=  L^o_{\Omega}(T) \cdot \pi

soit

M^o(T) \, \mathrm{d}A = \sigma \, T^4 \, \mathrm{d}A

Unité SI de Mo(T) : W m-2,

avec la constante de Stefan-Boltzmann (La constante de Stefan-Boltzmann (du nom des physiciens Jo?ef Stefan et Ludwig Boltzmann), notée (la lettre grecque sigma), intervient pour exprimer la relation entre la température et l'énergie rayonnée par un...) \sigma \, = \frac{2 \pi ^5 k^4}{15 h^3 c^2} \, = (5{,}670 400 \pm 0{,}000 040) \, \cdot \, 10^{-8} \, \mathrm{\frac{W}{m^2 K^4}} (CODATA[3] 2000).

Pour le rayonnement dans un milieu d'indice de réfraction n, la célérité de la lumière c doit être remplacée par c/n. L'exitance energétique augmente donc d'un facteur n2.

M^o(T) \, \mathrm{d}A est la puissance rayonnée par l'élément de surface dA sur toutes les fréquences dans le demi-espace.

L'exitance énergétique est une grandeur totale hémisphérique.

Flux radiatif

En intégrant l'exitance énergétique (densité de flux radiatif), sur l'ensemble de la surface rayonnante A, on obtient le flux radiatif (ou puissance rayonnée) de cette surface Φo(T), pour laquelle :

\Phi^o(T) = \int_{\rm Fl\ddot{a}che} M^o(T) \, \mathrm{d}A,

soit

\Phi^o(T) = \sigma \, T^4 \, A

Unité SI de Φo(T) : W.

Φo(T) est la puissance rayonnée par l'ensemble de la surface A sur toutes les fréquences et dans le demi-espace tout entier.

Densité spectrale d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) du rayonnement d'une cavité à rayonnement isotrope

Considérons une cavité fermée, dont les parois sont composées d'un matériau (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets. C'est donc une matière de base...) quelconque, et maintenu à la température T. A l'équilibre thermique, la cavité est emplie d'un rayonnement thermique isotrope, dont les caractéristiques ne dépendent que de la température T, et qui a donc un caractère universel.

En insérant un corps noir dans cette cavité, le rayonnement de la cavité doit redevenir identique après avoir atteint l'équilibre thermique, puisque le rayonnement ne dépend que de la température T. Comme le corps noir absorbe une certaine quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer...) de rayonnement et doit en réémettre la même quantité au même moment pour garantir l'équilibre, les luminances énergétiques spectrales de la cavité et le rayonnement du corps noir doivent être identiques. Les expression des grandeurs obtenues ci-dessus sont donc également valables pour le rayonnement de la cavité, et celui-ci a une énergie volumique de rayonnement constante, comme nous allons le voir.

Considérons une calotte sphérique emplie d'un rayonnement de corps creux dû à la température T. Commes les grandeurs de rayonnement sont les mêmes que pour le rayonnement du corps noir, la puissance incidente sur un élément de surface dA au centre du disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) sur lequelle repose la calotte, provenant de l'ensemble de la calotte sphérique, et dans le domaine de fréquences de ν à ν+dν, est donnée par la formule de l'exitance énergétique spectrale :

W_{\nu}(\nu, T)\, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu = M^o_\nu(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \quad (*)

Soit U^o_{\nu} \, \mathrm{d}\nu la densité d'énergie dans l'intervalle de fréquences de ν à ν+dν, et n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu la densité de photons dans le même intervalle de fréquences :

U^o_{\nu} \, \mathrm{d}\nu = h \nu \cdot n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu

Comme le rayonnement est isotrope, la quantité de photons provenant de l'angle solide dΩ (donc de directions entre φ et φ+dφ et entre β et β+dβ) est donnée par le rapport de dΩ à l'angle solide de l'espace tout entier 4π. La densité de photons de fréquence entre ν et ν+dν provenant de l'angle solide dΩ est donc :

n_{\nu \Omega} \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega =  n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu \frac{\mathrm{d}\Omega}{4\pi} = n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu \frac{\sin(\beta) \mathrm{d}\beta \mathrm{d}\phi}{4\pi}

Parmi tous les photons de l'intervalle dν provenant de la direction dΩ, certains atteignent une surface dA se trouvant dans un cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c), appelée courbe...) penché β d'un angle dans la direction de dΩ et de surface de base dA. Par unité de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) dt, les photons qui traversent dA sont ceux qui se trouvent dans le cylindre de longueur cdt. Ils traversent donc dA avec un taux :

n_{\nu \Omega} \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega \cdot \cos(\beta)\mathrm{d}A \cdot c

Comme chaque photon (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées électriquement interagissent, cette interaction...) a une énergié hν, l'énergie traversant dA par unité de temps vaut :

W_{\nu \Omega}(\nu, \beta, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega = h \nu \cdot n_{\nu \Omega} \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega \cdot \cos(\beta)\mathrm{d}A \cdot c = h \nu \cdot c \cdot n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu \frac{1}{4\pi} \sin(\beta) \cos(\beta) \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\phi \, \mathrm{d}A

Des photons provenant de l'ensemble de la calotte sphérique traversent dA. L'intégration sur l'ensemble du demi-espace donne :

W_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu = h \nu \cdot c \cdot n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu \frac{1}{4\pi} \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\beta=0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\beta) \cos(\beta) \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\phi \, \mathrm{d}A
= h \nu \cdot c \cdot n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu \frac{1}{4} \, \mathrm{d}A
= U^o_{\nu} \, \frac{c}{4} \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu

La comparaison avec ( * ) fait apparaître la relation :

U^o_{\nu}(\nu, T) = \frac{4}{c} \cdot M^o_\nu(\nu, T)

On a donc :

  • Selon la fréquence :
U^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}V = \frac{8 \pi h \nu^{3}}{c^3} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}V

Unité SI de U^o_{\nu}(\nu, T) : J m-3 s ou bien J m-3 Hz-1,

  • Selon la longueur d'onde :
U^o_{\lambda}(\lambda, T) \, \mathrm{d}\lambda \, \mathrm{d}V = \frac{8 \pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1} \, \mathrm{d}\lambda \, \mathrm{d}V

Unité SI de U^o_{\lambda}(\lambda, T) : J m-2 ou bien J m-3 μm-1.

U^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}V est l'énergie du rayonnement thermique dans le domaine de fréquence de ν à ν+dν qui se trouve dans le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) élémentaire dV de la cavité rayonnante.

Densité totale d'énergie du rayonnement d'une cavité à rayonnement isotrope

En intégrant la densité spectrale d'énergie du rayonnement d'une cavité rayonnante sur toutes les fréquences, on obtient la densité totale d'énergie du rayonnement de la cavité à rayonnement isotrope Uo :

U^o(T) \, \mathrm{d}V = \int_{\nu=0}^{\infty}U^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}V

Le calcul de l'intégrale donne :

U^o(T) \, \mathrm{d}V \, = \sigma^* \, T^4 \, \mathrm{d}V
avec \sigma^* \, = \frac{8 \pi ^5 k^4}{15 h^3 c^3} \, = 7,56 \, \cdot \, 10^{-16} \, \mathrm{\frac{W s}{m^3 K^4}}, Unité SI de Uo(T) : J m-3.

U^o(T) \, \mathrm{d}V est l'énergie du rayonnement thermique de toutes les fréquences se trouvant dans le volume dV de la cavité.

Formulaire

Luminance énergétique spectrale :
L^o_{\Omega\nu}(\nu, T) \, = \frac{2 h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} L^o_{\Omega\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{2 h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}
Unité : W m-2 Hz-1 sr-1 Unité : W m-2 μm-1 sr-1
 
Exitance énergétiques spectrale :
M^o_{\nu}(\nu, T) \, = \frac{2 \pi h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} M^o_{\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}
Unité : W m-2 Hz-1 Unité : W m-2 μm-1
 
Luminance énergétique :
L^o_{\Omega}(T)  =  \frac{2 \pi^4 k^4}{15 h^3 c^2} T^4
Unité : W m-2 sr-1
 
Exitance énergétique ("loi de Stefan-Boltzmann"):
M^o(T) \, = \sigma \, T^4 avec constante de Stefan-Boltzmann \sigma \, = \frac{2 \pi ^5 k^4}{15 h^3 c^2} \, = 5{,}67 \, \cdot \, 10^{-8} \, \mathrm{\frac{W}{m^2 K^4}}
Unité : W m-2
 
Densité spectrale d'énergie d'une cavité à rayonnement isotrope :
U^o_{\nu}(\nu, T) \, = \frac{8 \pi h \nu^{3}}{c^3} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} U^o_{\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{8 \pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}
Unité : J m-3 Hz-1 Unité : J m-3 μm-1
 
Densité totale d'énergie d'une cavité à rayonnement isotrope :
U^o(T) \, = \sigma^* \, T^4 avec \sigma^* \, = \frac{8 \pi ^5 k^4}{15 h^3 c^3} \, = 7{,}56 \, \cdot \, 10^{-16} \, \mathrm{\frac{J}{m^3 K^4}}
Unité : J m-3

On peut considérer le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de photos émis par unité de temps, plutôt que l'énergie rayonnée. Comme un photon (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules...) de fréquence ν (ou de longueur d'onde \lambda = \frac{c}{\nu}) a une énergie hν (ou \frac{hc}{\lambda}) on a :

Luminance énergétique spectrale :
\tilde L^o_{\Omega\nu}(\nu, T) \, = \frac{2 \nu^{2}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} \tilde L^o_{\Omega\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{2  c}{\lambda^4} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}
Unité : Photons s-1 m-2 Hz-1 sr-1 Unité : Photons s-1 m-2 μm-1 sr-1
 
Exitance energétique spectrale :
\tilde M^o_{\nu}(\nu, T) \, = \frac{2 \pi \nu^{2}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} \tilde M^o_{\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{2 \pi c}{\lambda^4} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}
Unité : Photons s-1 m-2 Hz-1 Unité : Photons s-1 m-2 μm-1
 
Luminance énergétique :
\tilde L^o_{\Omega}(T)  =  \frac{4 \zeta(3) k^3}{h^3 c^2}\, T^3 = 4{,}840 \cdot 10^{14} \mathrm{\frac{1}{s \, m^2 \, sr \, K^3}} \, \cdot \, T^3
avec ζ(3) = 1,202056903... (fonction zeta (ZETA est un système d'exploitation de la société allemande YellowTAB. Il est une évolution de BeOS.) de Riemann)
Unité : Photons s-1 m-2 sr-1
 
Exitance énergétique (loi de Stefan-Boltzmann pour le taux de photons) :
\tilde M^o(T) \, =  \frac{4 \pi \zeta(3) k^3}{h^3 c^2}\, T^3 = 1{,}5204 \cdot 10^{15} \mathrm{\frac{1}{s \, m^2 \, K^3}} \, \cdot \, T^3
Unité : Photons s-1 m-2
 
Densité spectrale de photons d'une cavité à rayonnement isotrope :
\tilde U^o_{\nu}(\nu, T) \, = \frac{8 \pi \nu^{2}}{c^3} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} \tilde U^o_{\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{8 \pi}{\lambda^4} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}
Unité : Photons m-3 Hz-1 Unité : Photons m-3 μm-1
 
Densité totale de photons d'une cavité à rayonnement isotrope :
\tilde U^o(T) \, = \frac{16 \pi \zeta(3) k^3}{h^3 c^3}\, T^3 =  2{,}029 \cdot 10^{7} \, \mathrm{\frac{1}{m^3 K^3}} \, \cdot \, T^3
Unité : Photons m-3

Conséquences

La loi de Planck a unifié et confirmé des lois qui avaient été trouvées précédemment suites à des expériences ou des considérations thermodynamiques :

  • la loi de Stefan-Boltzmann, qui donne l'énergie totale rayonnée par un corps noir, proportionnelle à T4,
  • la loi du rayonnement de Rayleigh-Jeans, qui décrit la distribution spectrale d'énergie pour les grandes longueurs d'ondes,
  • la loi du rayonnement de Wien, qui décrit la distribution spectrale d'énergie pour les petites longueurs d'ondes,
  • la loi du déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En...), que Wien (1864-1928) formula en 1893, qui établit le rapport entre le maximum d'émission d'un corps noir et sa température.

Lois de rayonnement et hypothèse quantique

Considérons un exemple simplifié une cavité cubique de côté L et de volume V, renfermant le rayonnement électromagnétique de la cavité à rayonnement isotrope en équilibre thermique. A l'équilibre ne peuvent apparaître que des ondes stationnaires. Ces ondes peuvent être dirigées suivant n'importe quelle direction, mais doivent satisfaire à une même condition : un nombre entier de demies-longueurs d'onde doit passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) entre deux surfaces parallèles de la cavité. Il ne peut donc y avoir que certains états vibratoires discrets. Le rayonnement total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le total des dettes"....) à l'intérieur de la cavité provient de ces différentes ondes stationnaires. Il y a \frac{8 \pi V}{c^3} \nu^2 \mathrm{d}\nu états vibratoires possibles dans l'intervalle de fréquences entre ν et ν+dν. (le nombre d'états vibratoires possibles augmente avec la fréquences). La densité d'états, c’est-à-dire le nombre d'états vibratoire possibles dans l'intervalle de fréquences entre ν et ν+dν et par unité de volume, vaut :

g(\nu) \, \mathrm{d}\nu \, = \, \frac{8 \pi}{c^3} \, \nu^2 \, \mathrm{d}\nu.

En considérant ces états vibratoires comme des oscillateurs harmoniques de fréquence ν, on devrait s'attendre d'après le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes....) d'équipartition de l'énergie à ce que, à l'équilibre thermique du milieu à la température T, chaque oscillateur (En physique, un oscillateur est un système manifestant une variation périodique dans le temps (ou pseudo-périodique s'il existe une dissipation d'énergie). Les exemples les plus courants sont utilisés en mécanique...) porte l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps est égale au...) kT/2 et l'énergie potentielle kT/2, soit une énergie totale de kT. La densité d'énergie dans la cavité dans l'intervalle de fréquence entre ν et ν+dν serait alors :

U_{\nu}^{RJ}(\nu, T)  \, \mathrm{d}\nu \, = \, \frac{8 \pi}{c^3} \, kT \, \nu^2 \, \mathrm{d}\nu.

Ceci est la loi de rayonnement de Rayleigh-Jeans. Elle rend bien compte de la densité d'énergie mesurée pour les faibles fréquences, mais prévoit faussement avec l'augmentation de la fréquence une augmentation quadratique de la densité d'énergie (catastrophe ultraviolette), qui conduirait à ce que la cavité contienne une densité d'énergie infinie : chaque état vibratoire ne porte que l'énergie kT, mais une infinité de tels états vibratoires sont excités.

Les physiciens étaient conscients de cette conséquence et cherchèrent une formule différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide...) pour résoudre le problème de la catastrophe ultraviolette (La catastrophe ultraviolette, formulée dans la seconde moitié du XIXe siècle et ainsi nommée par le physicien autrichien Paul Ehrenfest, est une prédiction contre-factuelle des...). Wien établit sa loi du rayonnement en 1896, mais elle ne parvint pas à décrire les faibles fréquences. Planck l'améliora en 1900 en commençant par introduire un simple "-1" dans la loi du rayonnement de Wien. Cette formule n'était qu'empirique, mais elle correspondait bien aux mesures expérimentales sur l'ensemble du spectre de fréquences. Mais Planck n'en était pas satisfait. Il réussit à remplacer la constante C et c de la loi de Wien (La loi du rayonnement de Wien caractérise la dépendance du rayonnement du corps noir à la longueur d'onde. Il s'agit d'une formule empirique proposée...) par des constantes naturelles; seul restait un facteur "h". C'était l'heure (L’heure est une unité de mesure du temps. Le mot désigne aussi la grandeur elle-même, l'instant (l'« heure qu'il est »), y...) de naissance de la physique quantique : Planck devait concéder, contre ses propres convictions, que les transferts d'énergie ne se faisaient pas continûment mais de manière discrète, par des multiples d'unités de "h" (h comme Hilfskonstante : constante d'aide), appelé plus tard quantum (En physique, un quantum (mot latin signifiant « combien » et qui s'écrit « quanta » au pluriel) représente la plus petite...) d'action de Planck en son honneur.

D'après cette hypothèse quantique introduite par Planck, un oscillateur de fréquence ν ne peut prendre que des états d'énergie discrets multiples de hν, et ne peut être excité qu'à partir d'une énergie minimum hν. Les états vibratoires dont l'énergie minimale hν est nettement supérieure à l'énergie thermique (L'énergie thermique est l'énergie cinétique d'un objet, qui est due à une agitation désordonnée de ses molécules et de ses atomes. Les transferts d'énergie thermique entre corps sont appelés...) kT disponible ne peuvent pas être excités et sont donc gelés. Les états vibratoires dont l'énergie minimale hν est très légèrement supérieure à kT peuvent être excités avec une certaine probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités...), et une fraction de ces états participent donc au rayonnement total de la cavité. Les états vibratoires d'énergie minimale hν inférieure à kT, donc de fréquences inférieures, sont très certainement excités.

La physique statistique montre que dans ces conditions, un état vibratoire porte en moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des...) l'énergie \frac{h\nu}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}. En multipliant cette énergie par la densité d'états vibratoires possibles g(\nu) \, \mathrm{d}\nu, on obtient la densité d'énergie de Planck :

U^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu \, = \, \frac{8 \pi h \nu^{3}}{c^3} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} \, \mathrm{d}\nu.

La catastrophe (Une catastrophe est un événement brutal, d'origine naturelle ou humaine, ayant généralement la mort et la destruction à grande échelle pour conséquence.) ultraviolette est donc évitée, car les états vibratoires de haute fréquence qui pourraient exister d'après des considérations géométriques ne peuvent pas être excités à cause de leur énergie d'excitation minimale hν trop importante, et ne participent donc pas à la densité d'énergie dans la cavité. La densité spectrale d'énergie diminue donc avec les plus hautes fréquence après être passée par un maximum, et la densité totale d'énergie reste finie.

Répartition de l'intensité du rayonnement du corps noir

Emission

Spectres de rayonnement de Planck pour différentes températures
Spectres de rayonnement de Planck pour différentes températures

La première image ci-contre présente les spectres du rayonnement de Planck pour différentes températures entre 300 K et 1000 K. On reconnaît la forme typique de courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les...) en cloche avec un maximum clairement visible, une pente forte pour les faibles longueurs d'onde et une pente descendant plus doucement vers les grandes longueurs d'onde. Le maximum de rayonnement se décale vers les faibles longueurs d'onde avec la température croissante, comme le décrit la loi de déplacement de Wien. En outre comme le décrit la loi de Stefan-Boltzmann, l'exitance énergétique (correspondant à la surface sous la courbe de chaque exitance énergétique spectrale) augmente avec le puissance quatrième de la température. Une telle augmentation fait qu'il est difficile de présenter un tel graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) sur une plage (La géomorphologie définit une plage comme une « accumulation sur le bord de mer de matériaux d'une taille allant des sables fins aux...) de températures importante.

Spectres de rayonnements de Planck pour différentes températures, en représentation log-log
Spectres de rayonnements de Planck pour différentes températures, en représentation log-log

Pour pallier ce problème, le second graphe utilise une représentation logarithmique pour les deux axes. Sont présentés ici les spectres de rayonnement de Planck pour des températures de 100 K à 10 000 K.

La courbe rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.) correspond à 300 K, ce qui correspond à la température ambiante. Le maximum pour cette courbe est atteint pour une longueur d'onde de 10 µm. C'est donc autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5...) de cette longueur d'onde (infrarouges lointains) que se font les échanges d'énergie par rayonnement des objets à température ambiante. Les thermomètres infrarouges ou les caméras thermographiques fonctionnent dans ces longueurs d'ondes-ci.

La courbe pour 3000 K correspond au rayonnement typique d'une lampe à incandescence. Une partie du rayonnement est émis dans le domaine visible. Toutefois le maximum d'émission se situe encore dans l'infrarouge (Le rayonnement infrarouge (IR) est un rayonnement électromagnétique d'une longueur d'onde supérieure à celle de la lumière visible mais plus courte que celle des micro-ondes.) proche.

La courbe jaune (Il existe (au minimum) cinq définitions du jaune qui désignent à peu près la même couleur :) correspond à 5777 K, la température effective du soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification...). Le maximum d'émission est au milieu du domaine visible. Heureusement, la majorité du rayonnement thermique ultraviolet (Le rayonnement ultraviolet (UV) est un rayonnement électromagnétique d'une longueur d'onde intermédiaire entre celle de la lumière visible et celle des rayons X.) du soleil est absorbé par la couche d'ozone (L’ozone (ou trioxygène) est un composé chimique comportant 3 atomes d’oxygène (O3). Sa structure est une résonance...) de l'atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :) terrestre.

Réception

Comme on le voit sur le graphe précédent, l'exitance énergétique spectrale du soleil pour toutes les longueurs d'ondes est bien plus important que l'exitance des objets terrrestres à 300 K. Pour une longueur d'onde de 10µm, un mètre carré (Le mètre carré (symbole m²) est l'unité d'aire du système international.) de surface de soleil émet 400 fois plus qu'un mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis 1983, comme la distance parcourue par la lumière...) carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et un...) de façade de maison (Une maison est un bâtiment de taille moyenne destiné à l'habitation d'une famille, voire de plusieurs, sans être considérée comme un immeuble collectif.). Toutefois cela ne signifie pas que le rayonnement thermique environnant provient en majorité du soleil. Pour obtenir l'intensité de rayonnement rapportée à un mètre carré de surface réceptrice, Il faut multiplier la luminance spectrale par l'angle solide Ω visible depuis cette surface. Pour un observateur terrestre, le soleil ne représente qu'une très petit source (Ω = 6,8·10-5 sr). En comparaison avec un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut...) terrestre à 300 K remplissant le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de vision de l'observateur à moitié (Ω = 3,14 sr), l'intensité de rayonnement du soleil à λ=10µm est plus faible d'un facteur 400·(6,8·10-5/3,14) ≈ 1/100, donc pratiquement négligeable. A ceci s'ajoute l'absorption d'une partie du rayonnement thermique du soleil par l'atmosphère, et une diminution supplémentaire due au fait que la surface réceptrice n'est pas ne reçoit pas le rayonnement orthogonalement.

Notes

  1. L'expression de la loi de Planck en fonction de la longueur d'onde correspond à l'usage courant qui en est fait en thermique industrielle, les échanges radiatifs s'effectuant généralement entre surfaces séparées par de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est nécessaire de pressuriser les cabines des avions et autres...) dont l'indice de réfraction est proche de 1 ; compte-tenu de la relation λν = c, cette loi peut également s'exprimer en fonction de la fréquence ν.
  2. La Commission internationale de l'éclairage recommande l'appellation exitance au lieu d'émittance énergétique.
  3. http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?sigma
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