Longueur d'un arc - Définition

Si ε est un entier plus petit que r, la zone C_ε est celle qui se trouve à l'intérieur d'un disque de rayon r + ε et à l'extérieur du disque ouvert de rayon r - ε. La surface Vol (C_ε) est égale à :

Or, 2π.r correspond à la longueur du cercle et en dimension 1, la boule de rayon ε est de volume égal à 2.ε en dimension 1. Le contenu de Minkowski est bien égal à la longueur du cercle.

Fixons les notations, E est un espace euclidien de dimension n, ([a, b], f) est un paramétrage curviligne de classe C² d'un arc géométrique, fermé et simple et dont l'image est égale à C. Dire que le paramétrage est fermé revient à dire que f(a) est égal à f(b), dire qu'il est simple est équivalent à dire que si s et t sont deux éléments de ]a, b[, alors f(s) est différent de f(t). Enfin, dire que le paramétrage est curviligne revient à dire que la norme de la dérivée de f(t) est toujours égale à 1, si t est un élément de [a, b]. La valeur ε désigne un réel strictement positif, compris entre 0 et μ, où μ est un réel strictement positif à déterminer. H_t désigne l'hyperplan de E orthogonal à f(t) et B_a,μ la boule unité fermée de l'hyperplan H_a et de rayon μ. On note u_t la dérivée de f au point t et v_t le vecteur de norme 1 colinéaire à la dérivée seconde de f et de même sens. Dire que f est un paramétrage curviligne implique que u_t et v_t sont orthogonaux. Enfin, on note c(t) la courbure de f en t, la dérivée seconde de f en t est égale au produit de c(t) par v_t.

La technique utilisée pour la démonstration consiste à construire un plongement ψ de [a, b]xB_a,μ dans C_μ de classe C¹. Ce plongement fournit le bon changement de variable pour calculer l'intégrale donnant l'aire de C_ε. Pour construire ψ, on construit une application φ_t de classe C¹ de [a, b] à valeurs dans les rotations de E, tel que tel que l'image de u_a par φ_t soit égal à u_t.

• Construction de φ_t :

Equation différentielle :

Une solution élégante consiste à construire φ_t comme la solution d'une équation différentielle linéaire. Pour cela, on définit une application χ d'un ensemble D dans L(E) l'ensemble des endomorphismes de l'espace E. Ici D désigne les couples (u, v) de vecteurs de E tel que u et v soient de normes égales à 1 et tel que u et v soient orthogonaux. L'endomorphisme χ_(u,v) associe à u le vecteur v, à v le vecteur -u et le vecteur nul à tout vecteur orthogonal à u et à v. On remarque que pour tout vecteur z de E, le produit scalaire de z avec son image par χ_(u,v) est nul. En effet, il est possible d'écrire z sous la forme α.u + β.v + w, où α et β sont deux scalaires et w un vecteur orthogonal à u et à v. On a bien, si <.,.> désigne le produit scalaire :

Cette application nous permet de définir la fonction ψ, de [a, b] dans L(E), par :

L'application ψ est bien continue, elle est en effet composée d'applications continues. Il existe une petite difficulté si la courbure c(t) est nulle, car v_t n'est pas défini, mais définir ψ comme nulle en ces points est clairement un prolongement par continuité, la norme de ψ_t étant égale à c(t). La norme choisie ici pour L(E) est celle qui, à un endomorphisme associe la borne supérieure de la norme de l'image de la boule unité. On considère l'équation différentielle suivante, sur [a, b] et à valeurs dans L(E):

La continuité de ψ et la compacité de [a, b] montrent que la fonction, qui à t associe la norme de ψ, atteint sa borne supérieure m. L'application qui à X associe la composée de ψ et de X est donc continue et m-lipschitzienne. Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l'existence d'une solution unique φ à l'équation différentielle. Il est même possible de donner une expression explicite de φ :

A l'exception du caractère un peu inhabituel des ensembles utilisés ici, la méthode proposée n'utilise qu'une équation différentielle linéaire très simple. L'application φ permet presque de définir un repère de Frenet. Il suffirait d'associer au point a une base de Frenet et la base de Frenet serait, au point t son image par φ. Ce résultat n'est vrai que si la courbe est birégulière, c'est-à-dire que la dérivée seconde de f s'annule jamais. Après le premier point d'inflexion, il n'existe aucune raison de penser que l'image de v₀ soit encore colinéaire à la dérivée seconde de f. Il suffit maintenant de vérifier que φ est bien l'application recherchée.

L'application φ est à valeurs dans un ensemble de rotations et l'image de u_a par φ_t est égale à u_t :

Montrons tout d'abord que φ est à valeurs dans un ensemble de rotations. ce qui revient à montrer que si z est un vecteur de E, φ_t(z) est de même norme que z. Ce résultat est trivialement vrai si t est égal à a car φ_a est l'identité. Il suffit de montrer que la dérivée de la fonction, qui à t associe le carré de la norme de φ_t(z), est nulle, pour établir que φ_t est une isométrie :

Il reste à montrer que le déterminant de φ_t est égal à 1. Comme φ_t est une isométrie, son déterminant est égal à ±1. L'image de l'application qui à t associe det φ_t est un connexe car l'application est continue. Comme en a, l'application vaut 1, elle vaut 1 partout et le déterminant de φ_t est bien égal à 1.

Montrons ensuite que φ_t(u_a) est bien égal à u_t. Pour cela, il suffit de vérifier que les deux arcs, qui à t associe φ_t(u_a) d'une part et u_t d'autre part ont même valeur initiale et satisfont à la même équation différentielle linéaire. L'unicité de la solution, garantie par le théorème de Cauchy-Lipschitz montre l'égalité. Par construction φ_a est égal à l'identité, les deux arcs ont donc bien même valeur initiale, vérifions maintenant que les deux arcs sont solutions de la même équation différentielle :

D'autre part :

On en déduit que φ_t(H_a) est bien égal à H_t. En effet, H_a est l'orthogonal de u_a, son image par φ_t est l'orthogonal de φ_t(u_a) car φ_t est une rotation. Il suffit de remarquer que φ_t(u_a) est égal à u_t pour conclure.

• Injectivité de Γ :

Pour que l'application Γ soit un plongement, il est nécessaire de bien choisir la valeur μ. Si elle est trop élevée, l'application Γ n'est pas nécessairement injective. Un exemple est donné sur la figure de droite. Le plus petit rayon de courbure est donnée par le point de cercle osculateur violet. La valeur μ est choisie plus grande que le rayon du cercle osculateur, appelé rayon de courbure. Le point rouge est élément de l'hyperplan orthogonal à la tangente du point de cercle osculateur violet, et il est à une distance égale à cette valeur de μ. Les points à une distance inférieure ou égale à μ de la courbe sont illustrés en vert. Le point rouge est aussi élément du plan orthogonal d'un autre point, illustré en jaune. Si μ est choisi plus petit que le plus petit rayon de courbure atteint par les points de la courbe, cette situation ne peut pas se produire. L'application Γ est alors localement injective.

Injectivité locale de Γ :

La fonction c(t) qui à t associe la courbure de l'arc au point f(t) est continue. Elle est définie sur un compact, elle atteint sa borne supérieure. Notons r_m l'inverse de cette borne, qui correspond au plus petit rayon de courbure de l'arc. On suppose que μ est choisi plus petit que r_m/2. l'objectif est de montrer que Γ est localement injective, c'est-à-dire que si t est un élément de [a, b], Γ est injective sur l'ensemble ]t-δ, t+δ[xB_a,μ. La valeur δ correspond à un nombre réel strictement positif indépendant de t et à déterminer.

Pour simplifier les notations, on suppose, quitte à translater l'intervalle [a, b], que t est égal à 0. On suppose de plus, quitte à modifier le repère, que f(0) est égal au vecteur nul. On va montrer qu'un point p image par Γ d'un point (0, p) de ]t-δ, t+δ[xB_a,μ n'a pas d'autre antécédent dans cet ensemble. Dire que p est une telle image, revient à dire que sa norme est plus petite que μ, donc que r_m/2 et que p est orthogonal à u₀. On considère un autre antécédent de première coordonnée notée t et l'on va montrer que t est nécessairement plus grand qu'une valeur δ. Dire que t est un autre antécédent implique que p est dans le plan orthogonal à u_t et passant par f(t). Ce qui montre l'égalité :

La formule de Taylor-Lagrange montre l'existence d'une valeur τ₁ comprise entre 0 et t, tel que :

Le même raisonnement montre l'existence de deux valeurs τ₂ et τ₃, aussi comprises entre 0 et t, tel que :

Si l'on choisit δ plus petit que min(1, 1/c_m)/6, on est assuré que le terme <p, u_t> est strictement plus petit que le deuxième produit scalaire, et l'injectivité locale, sur l'intervalle ]t-δ, t+δ[xB_a,μ est bien garantie.

Injectivité globale de Γ :

L'injectivité locale n'implique pas l'injectivité de Γ. L'illustration de droite montre la raison. Si la courbe est suffisamment pincée, un point d'abscisse éloignée peut être arbitrairement proche du point étudié. Il faut alors vérifier qu'une zone rouge, à l'image de la figure, n'existe pas si μ est bien choisi. Comme par hypothèse, l'arc ne contient pas de point double, la configuration désagréable serait celle de gauche, avec une infinité de brins de l'arc qui s'approchent de plus en plus du point critique. La compacité du segment [a, b], impliquant celle du graphe C empêche l'apparition de ce phénomène.

Pour s'en persuader, considérons la fonction qui à t associe le minimum de la distance entre f(t) et l'image par f des intervalles [a, t - δ] et [t + δ, b]. Comme la fonction distance est continue et que l'union des segments [a, t - δ] et [t + δ, b] est un compact, ce minimum est atteint. Comme l'arc est simple, c'est-à-dire qu'il n'admet pas de point multiple, ce minimum est différent de 0. La fonction de [a, b] dans R qui à t associe le minimum défini précédemment est encore continue. Elle est encore définie sur un compact, ce qui implique qu'elle atteint encore son minimum μ₁ qui n'est pas nul.

Si la valeur μ est choisie plus strictement petite que μ₁/2 (il faut diviser par 2 car la contrainte n'est pas que la zone verte ne doit pas rencontrer de manière indue la courbe C en bleu, mais que la zone verte ne s'intersecte pas avec elle-même) et que r_m/2, les preuves précédentes garantissent l'injectivité de Γ.

Pour pouvoir effectuer le changement de variable dans le calcul du volume, il faut encore s'assurer que l'ensemble d'arrivé de Γ restreint à [a, b]xB_a,ε, où ε est un nombre réel strictement positif et plus petit que μ est bien C_ε. Elle est plus facile à vérifier.

• Surjectivité de Γ restreint à [a, b]xB_a,ε dans C_ε:

Soit p un point de C_ε. La fonction de C dans R, qui à un point associe sa distance à p est continue. Elle atteint son minimum en un point f(t), avec une distance inférieure à ε par hypothèse. Si h est un réel tel que t + h soit un élément de [a, b] la distance entre p et f(t+h) est plus grande que le minimum précédemment cité. On en déduit :

La majoration est vraie pour les valeurs positives comme négatives de h, ce qui montre que p - f(t) est orthogonal à u_t. Une autre manière de dire les choses est que p est dans l'image de Γ. Plus précisément, son antécédent est (t, φ_t^-1(p- f(t))).

• Calcul du jacobien :

Pour effectuer le changement de variable, il est utile de calculer le déterminant jacobien de ψ en un point (t, z). Pour cela calculons dans un premier temps la différentielle de ψ en ce point. Soit v_t,a l'antécédent du vecteur normalisé de u'_t par φ_t, si la dérivée seconde de f n'est pas nulle et un vecteur de H_a de norme 1 et orthogonal à u_a si la dérivée seconde est nulle. On note K_t,a l'hyperplan de H_a orthogonal à v_t,a. On note (t_d, z_d) un petit vecteur de B_a,μ tel que la somme du point (t, z) et de (t_d, z_d) soit dans B_a,μ. Enfin, on utilise les notations :

On a :

On en déduit la différentielle :

Pour le calcul du déterminant, on remarque que la différentielle possède deux espaces stables, celui engendré par u_t et v_t, puis K_t,a. Sur l'espace K_t,a, la différentielle est une rotation son déterminant est égal à 1, le jacobien recherché est celui de l'espace vectoriel de dimension 2 engendré par les deux vecteurs u_t et v_t. Dans cette base, la matrice M est égale à :

Le résultat n'est pas étonnant. Il signifie que si la courbure est localement nulle, l'application ψ ne modifie pas le volume. Le même phénomène se produit aux alentours de la courbe C. En revanche, si un petit volume est choisi avec une coordonnée ζ positive, c'est-à-dire dans la concavité de la courbure, alors le volume diminue. Il irait jusqu'à 0 si l'on se rapprochait du rayon de courbure, égal à 1/c(t), ce qui ne peut se produire avec le choix de μ, qui ne dépasse jamais la moitié du rayon de courbure. En revanche, dans la direction opposée, le volume augmente.

• Calcul du volume de C_ε :

On peut maintenant appliquer le changement de variable ψ :

Or le solide [a, b]x B_a,μ est symétrique par rapport à K_a et le volume de la surface coupée à l'ordonnée ζ est exactement le même que celle coupée à l'ordonnée -ζ. La deuxième intégrale est égale à 0. On trouve :

Le contenu 1 dimensionnel de la courbe C est égal à b - a, c'est-à-dire à la longueur de la courbe, car son paramétrage correspond à une abscisse curviligne. Dans le cas du cercle et en dimension 3, on retrouve une formule connue, le volume d'un tore. Dans le cas d'un courbe qui n'est pas fermé, la démonstration est exactement la même, il suffit d'ajouter les deux demi-boules aux extrémités.

Dans le cas d'une courbe, de classe C² et admettant des points doubles, le contenu 1 dimensionnelle de Minkowski est encore égal à la longueur n'est pas très compliqué, mais l'égalité du produit précédent et du volume du tube n'est plus vérifiée. Le résultat est encore vrai pour les courbes de classe C¹, les polygones ou les courbes fermées non vides compacts et convexes en dimension 2, mais les démonstrations sont différentes.