Algèbre multilinéaire
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En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie des espaces vectoriels, l’algèbre multilinéaire est bâtie sur le concept d’un tenseur et développe la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) des espaces tensoriels. Dans les applications, de nombreux types de tenseurs surviennent. La théorie se veut exhaustive et comprend un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'espaces et l'exposé de leurs relations.

Historique de l’approche vers l’algèbre multilinéaire

Le sujet lui-même a des racines variées allant jusqu’aux mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) du XIXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et...), dans ce qui fut appelé l’analyse tensorielle ou le " calcul tensoriel des champs tensoriels ". Il s’est développé à partir de l’utilisation des tenseurs dans la géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une...), la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels...) et dans de nombreuses branches des mathématiques appliquées. Vers le milieu du XXe siècle, l’étude des tenseurs fut reformulée plus abstraitement. Le traité du groupe Bourbaki, l’Algèbre multilinéaire, fut particulièrement influent — en fait le terme algèbre multilinéaire a probablement été inventé là.

Une des raisons d’alors était une nouvelle aire d’application, l’algèbre homologique. Le développement de la topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces...) durant les années 40 donna de l’incitation additionnelle au développement d’un traitement purement algébrique du produit tensoriel. Le calcul des groupes homologiques du produit des deux espaces implique le produit tensoriel ; mais c'est seulement dans les cas les plus simples, tel qu’en un tore (Le terme tore a essentiellement deux acceptions distinctes, suivant les usages :), qu'il est calculé directement de cette façon (voir théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes....) de Künneth). Les phénomènes topologiques étaient assez subtils pour avoir besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes...) de meilleurs concepts fondamentaux.

Le matériel à organiser était dense, incluant des idées allant jusqu’à Hermann Günther Grassmann, les idées venant de la théorie des formes différentielles qui avaient mené à la cohomologie de De Rham, ainsi qu’à des idées plus élémentaires telles que le produit extérieur qui généralise le produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par...).

La description qui en résulta, plutôt sévère (par Bourbaki), rejeta entièrement l'approche vectorielle (l’itinéraire de quaternion (Les quaternions, notés , sont un type de nombres hypercomplexes, constituant une extension des nombres complexes, extension similaire à celle qui avait conduit des nombres réels aux nombres complexes.), c’est-à-dire, dans le cas général, la relation aux groupes de Lie). Ils utilisèrent au lieu de cela une approche nouvelle en utilisant la théorie des catégories, avec l’approche du groupe de Lie (Un groupe de Lie est un groupe — au sens mathématique — continu (c'est-à-dire dont chaque élément est infinitésimalement proche d'au moins un autre...) étant vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme une matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide,...) distincte. Puisque cela mène à un traitement beaucoup plus propre, il n’y aura probablement plus de retours en arrière en termes mathématiques. (Strictement, l’approche de la propriété universelle fut invoquée; ceci est un peu plus général que la théorie des catégories, et la relation entre les deux moyens alternatifs peut aussi être clarifiée, en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.).)

En effet, ce qui a été fait est presque précisément pour expliquer que les espaces tensoriels sont les constructions requises dans le but de réduire les problèmes multilinéaires à des problèmes linéaires. Cette attaque purement algébrique ne transfère aucune intuition géométrique.

Son bienfait est qu’en réexprimant des problèmes en termes d’algèbre multilinéaire, il y a une 'meilleure solution' claire et bien définie : les contraintes que la solution exerce sont exactement ceux dont vous avez besoin en pratique. En général il n’y a pas de besoin d’invoquer une quelconque construction ad hoc, idée géométrique ou recours pour coordonner des systèmes. Dans le jargon catégoriel-théorique, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) est entièrement naturel.

Conclusion sur l’approche abstraite

En principe l’approche abstraite peut recouvrir tout ce qui est fait via l’approche traditionnelle. En pratique cela peut ne pas sembler si simple. D’autre part la notion de naturel est compatible avec le principe de la covariance générale de la relativité générale. Ce dernier fait affaire aux champs tensoriels (les tenseurs variant de point (Graphie) en point sur une variété, mais la covariance affirme que le langage des tenseurs est essentiel à la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières...) propre de la relativité générale.

Quelques décennies plus tard le point de vue plutôt abstrait venant de la théorie des catégories fut noué avec l’approche qui avait été développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales...) dans les années 1930 par Hermann Weyl (dans son livre célébré et difficile Les groupes classiques). D’une façon cela amena (Orange est aujourd’hui une marque commerciale propriété de l'entreprise internationale française de télécommunications France Télécom; elle désigne en particulier ses activités hors du territoire national où...) la théorie à pleins bords, reliant une fois encore le contenu des points de vue anciens et nouveaux.

Contenu de l’algèbre multilinéaire

Le contenu de l’algèbre multilinéaire a changé bien moins que la présentation, à travers les ans. Voici d’autres pages qui y sont centralement pertinentes :

  • Espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet...)
  • Opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : )
  • Produit intérieur (En géométrie différentielle, le produit intérieur est une opération élémentaire sur les formes différentielles, que l'on construit à partir d'un champ de vecteur. Plus...)
  • Application multilinéaire (En algèbre linéaire, une application multilinéaire est une fonction mathématique à plusieurs variables vectorielles qui est linéaire en chaque variable.)
  • Déterminant
  • Règle de Cramer (La règle de Cramer est un théorème en algèbre linéaire qui donne la solution d'un système d'équations linéaires en termes de déterminants.)
  • Delta de Kronecker
  • Contraction tensorielle
  • Tenseur mixte
  • Symbole de Levi-Civita (Le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :)
  • Algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) tensorielle
  • Algèbre symétrique
  • Produit extérieur, Puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) extérieure
  • Algèbre de Grassmann
  • Dérivée extérieure (En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de plus haut...)
  • Notation d'Einstein
  • Tenseur symétrique
  • Tenseur métrique

Du point de vue des applications

Consultez ces articles pour certains moyens dans lesquels les concepts de l’algèbre multilinéaire sont appliqués, dans diverses guises :

  • Tenseur dyadique
  • Notation bra-ket (La notation bra-ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l’écriture des équations de la mécanique quantique, mais aussi pour...)
  • Algèbre géométrique
  • Algèbre de Clifford
  • Pseudoscalaire
  • Pseudovecteur
  • Spineur
  • Produit extérieur
  • Nombre hypercomplexe
  • Courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :)
Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des...)
Espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir...) | Base | Dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa...) | Matrice | Application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition...) | Déterminant | Trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du...) | Rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire définie...) | Théorème des facteurs invariants | Réduction d'endomorphisme | Réduction de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse pour la résolution d'équations différentielles ou pour...) | Décomposition de Dunford (La décomposition de Dunford s'inscrit dans la problématique de la réduction d'endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel en une somme directe de sous-espaces stables où l'expression de...) | Valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il...) | Polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations sur la...) | Forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques, et...) | Espace dual | Orthogonalité | Produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet de...) | Produit vectoriel | Polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce...) d'endomorphisme | Polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un...) | Tenseur | Pseudovecteur | Covecteur | Algèbre multilinéaire
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