Calculs relativistes

Cet article se veut volontairement calculatoire pour montrer que l'essentiel peut se déduire par le calcul des transformations de Lorentz.

Albert Einstein
Cet article de physique fait
partie de la série relativité
Bases
histoire - théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent...)
Lorentz - Einstein - Mach
transformation de Lorentz
Feynman - Poincaré - Michelson
espace-temps-c - E=mc² - t
EQR
exp:Michelson et Morley
exp:pensée?-éther
jumeaux-train
relativité restreinte-générale
théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux...)
controverse historique
Techniques
cyclotron (Le cyclotron est un type d’accélérateur circulaire inventé par Ernest Orlando Lawrence en 1931. Dans un cyclotron, les particules placées dans un champ magnétique suivent une trajectoire en forme de spirale et...)
accélérateur de particules (Les accélérateurs de particules sont des instruments qui utilisent des champs électriques et/ou magnétiques pour amener des particules chargées électriquement à des vitesses élevées. En...)
Méta
article
Liens physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...)
Formulaire

Les transformations de Lorentz

Soient deux référentiels \mathbb{R} et \mathbb R'en translation rectiligne l'un par rapport à l'autre sur des axes parallèles, avec une vitesse (On distingue :) relative v selon l'axe Ox. Lorsque l'on passe du premier référentiel au second, les coordonnées sont liées par la transformation de Lorentz :

x' = \gamma (x - vt) \qquad y' = y \qquad z' = z \qquad t' = \gamma (t - \frac{vx}{c^2}) avec \gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2}} et \beta = \frac{v}{c}

Les transformations inverses \mathbb R'  \rightarrow \mathbb R qui donnent les coordonnées dans R en fonction des coordonnées dans R' s'en déduisent en résolvant le système de deux équations à deux inconnues x' = \gamma (x - vt) \qquad t' = \gamma (t - \frac{vx}{c^2}) Il suffit de changer le signe de la vitesse :

x' = \gamma (x - vt) \qquad y' = y \qquad z' = z \qquad t' = \gamma (t - \frac{vx}{c^2})
\qquad x = \gamma (x' + vt') \qquad y = y' \qquad z = z' \qquad t = \gamma (t' + \frac{vx'}{c^2})
On a donc en écriture matricielle :
\begin{pmatrix}  ct'\\x'\\y'\\z'\\\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\beta& 0 & 0\\ -\gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}\begin{pmatrix} ct\\x\\y\\z\\\end{pmatrix}
Et inversement : \begin{pmatrix}  ct\\x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & +\gamma\beta& 0 & 0\\ +\gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}\begin{pmatrix} ct'\\x'\\y'\\z'\\\end{pmatrix} Ceci est la façon matricielle d'écrire une transformation de Lorentz.

Vous pouvez constater que si vous remplacez x' et t' par leurs expressions données au dessus en fonction de x et t, vous obtenez x = x et t = t ce qui signifie que les formules ci-dessus sont inverses l'une de l'autre ; les mathématiciens expriment cela en disant que cette propriété est une des propriétés requises pour que les transformations de Lorentz forment un groupe, la principale conséquence étant que la composition de deux transformations de Lorentz est une transformation de Lorentz. On verra dans le paragraphe relatif à la composition des vitesses une utilisation du groupe de Lorentz.

Presque tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) se déduit des transformations de Lorentz, ce qui fait dire que, en Relativité restreinte (On nomme relativité restreinte une première version de la théorie de la relativité, émise en 1905 par Albert Einstein, qui ne considérait pas la question des accélérations...), il vaut mieux se fier aux résultats du calcul que de faire des raisonnements " fumeux " ! Noter que les transformations ci-dessus sont identiques aux transformations de Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle, célèbre pour avoir jeté...) pour les vitesses usuelles et cependant détruisent la notion du temps universel (Le Temps universel (TU, ou en anglais UT) est une échelle de temps basée sur la rotation de la Terre. Il s'agit de la prolongation moderne du temps moyen de Greenwich (GMT,...) puisque celui-ci devient dépendant du référentiel : le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) varie comme la position varie. Le temps est une coordonnée pour exprimer les lois de la physique et celles-ci deviennent covariantes lorsque on les exprime avec un espace à 4 dimensions (ct, x, y, z). Note : en remplaçant ici t par ct, on ne fait que transformer les unités de temps de façon qu'elles soient en mètres plutôt qu'en secondes.

On va donc ci-dessous développer une page de calculs permettant de déduire des conséquences :

La pseudonorme

On repère un évènement par les coordonnées d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet...) dans un repère à 4 dimensions c temps-espace \mathbf{r}=( ct, \vec r) = (ct,x,y,z)

On montre facilement que :

\mathbf{r^2}=c^2t^2 - \vec r^2=c^2t^2 - (x^2+y^2+z^2)=c^2t'^2 - (x'^2+y'^2+z'^2)=c^2t'^2 - \vec{r'}^2=\mathbf{r'^2}

En effet :

\left(\gamma(ct'+\beta x')\right)^2  - (\left(\gamma(x'+\beta ct')\right)^2+y'^2+z'^2)=(\left(\gamma^2(1-\beta^2)\right) c^2t'^2 - ((\left(\gamma^2(1-\beta^2)\right)x'^2+y'^2+z'^2)=c^2t'^2 - (x'^2+y'^2+z'^2)

On note en gras la pseudonorme du vecteur à 4 dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) ou quadrivecteur (La théorie de la relativité (restreinte, puis générale) postulée par Einstein amène à considérer les trois coordonnées d'espace (par exemple hauteur, largeur, profondeur) et le temps comme formant un tout indissociable.):\mathbf{r^2}=c^2t^2 - \vec r^2

ceci est appelé la pseudo - norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme...) du quadrivecteur position d'un évènement repéré dans l'espace temps à 4 dimensions : On a montré mathématiquement que cette quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.) ne dépend pas du référentiel et constitue donc un invariant aux transformations de Lorentz.

La dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression constante ou maintien du volume et...) des durées

Déjà, il faut constater que au temps t' correspond une infinité de temps dans \mathbb{R}: ct = \frac{(ct'+\frac{vx'}{c})}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}}

Pour simplifier , prenons t'=0:ct = \frac{(\frac{vx'}{c})}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}}

Pour le même temps t'=0 correspondent des temps t qui sont pour des x positifs dans le futur de \mathbb{R} et pour des x négatifs dans le passé (Le passé est d'abord un concept lié au temps : il est constitué de l'ensemble des configurations successives du monde et s'oppose au...) de \mathbb{R}!

Soient deux référentiels, \mathbb{R} , et \mathbb{R'} en translation rectiligne uniforme par rapport au premier référentiel suivant l'axe des x positifs à la vitesse v.

Une horloge au repos dans \mathbb{R'} au point (Graphie) M'(x'o,y'o,z'o), mesure deux évènements dans \mathbb{R'} : (ct'1,x'o,y'o,z'o) et (ct'2,x'o,y'o,z'o) qui se produisent donc au même endroit et à des temps différents.

Noter que : x1 = γ(vt'1 + x'o) et x2 = γ(vt'2 + x'o) selon les transformations de changement de référentiel. La durée entre deux évènements dans le référentiel \mathbb{R'} se produisant en M'(x'o,y'o,z'o) est :t'1t'2 La durée entre ces deux évènements dans le référentiel \mathbb{R} est :t_1-t_2=\gamma(t'_1+\frac{vx'_o}{c^2}-t'_2-\frac{vx'_o}{c^2})=\gamma(t'_1-t'_2)

En posant τ0 = t'1t'2 la durée au repos, et τ = t1t2 la durée observée dans le référentiel \mathbb{R}, nous obtenons la formule dite de dilatation des durées :

\tau=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Ainsi, vu du référentiel \mathbb{R} par deux observateurs situés en x1 = γ(vt'1 + x'o) et x2 = γ(vt'2 + x'o)et qui ont synchronisé leurs horloges dans le référentiel \mathbb{R} la mesure de l'intervalle de temps n'est pas égal à celui mesuré par un observateur immobile situé en M'(x'o,y'o,z'o):

La quantité τ0 s'appelle temps propre . Comme \tau_0 = \tau \sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}, on voit que la quantité \tau \sqrt{1 - {v^2 \over c^2}} est un invariant relativiste ne dépendant pas du référentiel \mathbb R choisi pour la mesurer.

Le facteur \gamma = {1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2}} qui intervient dans la dilatation des durées, a, pour un avion (Un avion, selon la définition officielle de l'Organisation de l'aviation civile internationale (OACI), est un aéronef plus lourd que l'air, entraîné par un organe moteur (dans le cas d'un engin sans moteur, on parlera...), une valeur approchée de 1 + v²/2c² soit 1+10^(-10) =1.0000000001 Quelques microsecondes sur un an de vol de supersonique ! Difficile de croire à la réalisation d'une mesure de la dilatation du temps en comparant l'indication (Une indication (du latin indicare : indiquer) est un conseil ou une recommandation, écrit ou oral.) d'horloges demeurées au sol à l'indication d’horloges emportées sur un avion (cette expérience a eu lieu aux USA en 1972 de façon non probante). Néanmoins les chercheurs travaillant sur les particules produites dans les synchrotrons vivent quotidiennemnt l'effet de la dilatation du temps T= γ T'.

Et aujourd'hui,les horloges atomiques embarquées dans les satellites des systèmes GPS sont calibrées de façon à ce que leurs indications soient compatibles avec des horloges restées sur Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus massive des quatre...).

Un satellite (Satellite peut faire référence à :) n'est pas en translation par rapport au référentiel de la Terre.

La contraction des longueurs

Nous nous plaçons dans les conditions évoquées au précédent paragraphe. Mesurer une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...) M1M2 revient à repérer dans un système de coordonnées les deux extrémités M1 et M2 ; Cela ne pose pas de problème si celles-ci ne bougent pas dans le temps ; par contre si elles se déplacent à la même vitesse v, il faudra repérer ces deux extrémités simultanément. Nous considérons donc une règle au repos dans \mathbb{R'}, de longueur L0 au repos. Les coordonnées de ses extrémités sont x'1 et x'2. Les évènements de ses extrémités sont : (t',x'1,0,0) et (t',x'2,0,0), car il faut observer simultanément ces évènements dans \mathbb{R'}.

Considérons maintenant les évènements (t'1,x'1,0,0) et (t'2,x'2,0,0), on obtient dans \mathbb{R} :

\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} x_1=\gamma(x'_1+vt'_1)\\ t_1=\gamma(t'_1+\frac{v}{c^2}x'_1) \end{matrix}\right. &\left\{\begin{matrix} x_2=\gamma(x'_2+vt'_2)\\ t_2=\gamma(t'_2+\frac{v}{c^2}x'_2) \end{matrix}\right.\end{matrix}

Déterminons t'2t'1 pour que ces évènements soient simultanés dans \mathbb{R}, il faut que :

t_2-t_1=\gamma(t'_2-t'_1+\frac{v}{c^2}(x'_2-x'_1))=0 soit :
t'_2-t'_1=-\frac{v}{c^2}(x'_2-x'_1)
x_2-x_1=\gamma(x'_2-x'_1)+\gamma v(t'_2-t'_1)=\frac{1}{\gamma}(x'_2-x'_1)

La longueur de la règle, observée dans le référentiel \mathbb{R} s'exprime :

L=L_{0}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}

Ainsi, la règle est plus courte dans le référentiel \mathbb{R} que dans le référentiel \mathbb{R}' : la règle M1M2 en mouvement est plus courte lorsque la mesure de sa longueur est faite dans un référentiel dans lequel M1M2 est en mouvement.

Ainsi un coureur R' de 100m va s'autochronométrer avec sa montre un temps propre de T'0=10s sur une piste de L0 = 100m dans R : pour le coureur, la piste qui défile à la vitesse v sous ses enjambées ne fait pas 100 m elle est contractée L'=L0/γ ; par contre pour le juge (Le juge peut être un professionnel du droit, désigné ou élu pour exercer son office. Il peut également être un simple citoyen appelé temporairement à rendre la justice : c'est notamment le cas des personnes composant...) de piste la piste est immobile par rapport à lui ; elle fait L0 = 100m en longueur propre et le temps est T=γT'0 c'est-à-dire dilaté. Le coureur et le juge ne sont d'accord ni sur le temps ni sur la distance, mais sont d'accord sur la vitesse v = L'/T'0= L0/T. Bien sûr, aux vitesses d'un coureur de 100m, toutes ces différences sont imperceptibles. Les effets relativistes ne sont perceptibles que à l'échelle nucléaire (Le terme d'énergie nucléaire recouvre deux sens selon le contexte :) ou à l'échelle galactique.

La composition des vitesses

Nous savons dans la vie (La vie est le nom donné :) quotidienne que les vitesses s'ajoutent. Prenons un exemple concret, je prends le métro (Un métro, apocope du terme métropolitain lui-même abréviation de chemin de fer métropolitain, est un chemin de fer urbain souterrain le plus souvent, sur viaduc quelquefois, au sol...), et je marche (La marche (le pléonasme marche à pied est également souvent utilisé) est un mode de locomotion naturel. Il consiste en un déplacement en appui alternatif sur les jambes, en position debout et en ayant toujours...) à 5 km/h sur un tapis roulant allant dans le même sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant...) à 4 km/h. Ma vitesse par rapport au sol est de 9 km/h. Nous allons voir comment obtenir la formule de composition des vitesses galiléenne, puis relativiste. Nous supposerons dans ce paragraphe que tous les déplacements se font parallèlement à un même axe.

Cas galiléen

Les transformations de Galilée sont :

\left\{ \begin{matrix} x=x'+vt'\\ t=t' \end{matrix} \right.

en différenciant, on obtient :

\begin{matrix} dx=dx'+vdt'=(\frac{dx'}{dt'}+v)dt'\\ dt=dt' \end{matrix}

le quotient donne : u = u' + v, avec u = {dx \over dt} et u' = {dx' \over dt'}, ce qui est la loi de composition (En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est aussi une application. C’est donc une application d’un produit cartésien de...) classique.

Cas relativiste

Les transformations de Lorentz sont :

\left\{ \begin{matrix} x=\gamma(x'+vt')\\ t=\gamma(t'+\frac{v}{c^2}x') \end{matrix} \right.

en différenciant, on obtient :

\begin{matrix} dx=\gamma(dx'+vdt')=\gamma(\frac{dx'}{dt'}+v)dt'\\ dt=\gamma(dt'+\frac{v}{c^2}dx')=\gamma(1+\frac{v}{c^2}\frac{dx'}{dt'})dt' \end{matrix}

le quotient donne :

\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx'}{dt'}+v}{1+\frac{v}{c^2}\frac{dx'}{dt'}} Soit : u=\frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}} la loi de composition relativiste des vitesses : elles ne s'ajoutent pas

On notera que, si u' = c, alors on obtient u = c. La vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour « célérité », la lumière se manifestant macroscopiquement comme un phénomène ondulatoire), est une constante physique, et...) est la même dans les deux référentiels.

Utilisation du groupe de Lorentz

Soit L(v) la matrice

\begin{bmatrix} \gamma & \gamma\beta& 0 & 0\\ \gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}

avec \beta = \beta(v) = {v \over c} et \gamma = \gamma(v) = {1 \over \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. Cette matrice, appliquée aux composantes {\mathbf{X'}} dans un référentiel \mathbb R' donne les composantes {\mathbf{X}} dans le référentiel \mathbb R par rapport auquel \mathbb R' se déplace avec une vitesse v :

\mathbf{X} = L(v)\mathbf{X'}

Si on dispose d'un référentiel \mathbb R'' se déplaçant par rapport au référentiel \mathbb R' à la vitesse u', alors les relations entre les composantes \mathbf{X''} dans le référentiel \mathbb R'' et les composantes \mathbf{X'} dans le référentiel \mathbb R' sont données par :

\mathbf{X'} = L(u')\mathbf{X''}

On a donc :

\mathbf{X} = L(v)\mathbf{X'} =  L(v)L(u')\mathbf{X''}

La matrice produit L(v)L(u') n'est autre que la matrice L(u), où u est la vitesse du référentiel \mathbb R'' par rapport au référentiel \mathbb R. On vérifiera que L(v)L(u') = L({u'+v \over 1+u'v/c^2}), et donc que u=\frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}}, comme plus haut.

On se reportera au paragraphe ci-dessous pour le cas plus général où les vitesses u et v ne sont pas colinéaires.

Le quadrivecteur vitesse

Transformation des vitesses

On peut calculer une vitesse en formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de hauteur : plus la fréquence est élevée, plus la hauteur perçue est haute et inversement. Chaque voyelle se...) le rapport d'une distance par un temps :

\frac{V_x}{c}=  \frac{x}{ct} = \frac{\frac{x'}{ct'} + \beta}{1 +\beta\frac{x'}{ct'}}  \qquad \frac{V_y}{c}= \frac{y}{ct} = \frac{\frac{y'}{ct'}}{\gamma (1 +\beta\frac{x'}{ct'})}  \qquad \frac{V_z}{c}=  \frac{z}{ct} = \frac{\frac{z'}{ct'}}{\gamma (1 +\beta\frac{x'}{ct'})}   \qquad
\frac{V_x}{c}=  \frac{\frac{V_x'}{c} + \beta}{1 + \beta{\frac{V_x'}{c}} }  \qquad \frac{V_y}{c}=   \frac{\frac{V'_y}{c} }{\gamma (1 + \beta{\frac{V_x'}{c}})}  \qquad \frac{V_z}{c}=   \frac{\frac{V'_z}{c} }{\gamma (1 + \beta{\frac{V_x'}{c}})}  \qquad

Ce sont les transformations sur les vitesses et l'on constate que les vitesses ne s'ajoutent pas : il ne faut pas appeler ces relations en utilisant le mot 'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou...)' par contre

Ces relations peuvent s'écrire différemment si on calcule :

1-\frac{V^2}{c^2}=1-\frac{V_x^2+V_y^2+V_z^2}{c^2}=1- \left(\frac{\frac{V_x'}{c} +\beta}{1 + \beta{\frac{V_x'}{c}} }\right)^2- (1-\frac{v^2}{c^2})\left(\left(\frac{\frac{V_y'}{c} }{1 + \beta{\frac{V_x'}{c}} }\right)^2  +\left(\frac{\frac{V_z'}{c} }{1 + \beta{\frac{V_x'}{c}} }\right)^2\right)

soit:(1-\frac{V^2}{c^2})(1 + \beta\frac{V_x'}{c})^2=(1-\frac{V'^2}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})

En posant \Gamma (V) = \frac {1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}= \frac {1}{\sqrt{1-(\frac{x}{ct}  )^2-(\frac{y}{ct}  )^2-(\frac{z}{ct}  )^2}}=\Gamma_V et \Gamma (V') = \frac {1}{\sqrt{1-\frac{V'^2}{c^2}}}= \frac {1}{\sqrt{1-(\frac{x'}{ct'}  )^2-(\frac{y'}{ct'}  )^2-(\frac{z'}{ct'}  )^2}}=\Gamma_{V'} et \gamma = \gamma_v = \frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.

s'écrit (\Gamma_Vc) = \gamma_v\left( (\Gamma_{V'}c) + \beta(\Gamma_{V'}V_x') \right). qui est une des transformations de Lorentz si on considère le quadrivecteur

(\Gamma_V c, \Gamma_V\vec V )= \frac {(c,\vec V)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} est le quadrivecteur vitesse.
de même :
\Gamma_V c = \gamma_v  ( \Gamma_{V'} c + \beta \Gamma_{V'} V_x')\qquad \Gamma_V  V_x = \gamma_v  ( \Gamma_{V'} V_x' + \beta \Gamma_{V'}c)
\qquad \Gamma_V  V_y = \Gamma_{V'} V_y' \qquad \Gamma_V V_z = \Gamma_{V'} V_z'
\begin{pmatrix} \gamma (V) c\\ \gamma (V) V_x\\ \gamma (V) V_y\\ \gamma (V) V_z\\\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \gamma\beta& 0 & 0\\ \gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}\begin{pmatrix} \gamma (V') c\\ \gamma (V') V_x'\\ \gamma (V') V_y'\\ \gamma (V') V_z'\\\end{pmatrix}
Ceci est la façon matricielle d'écrire une transformation de Lorentz sur les vitesses. où :
(\gamma (V) c, \gamma (V)\vec V )= \frac {(c,\vec V)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} est le quadrivecteur vitesse.
Ceci va avoir d'énormes conséquences en dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :).

Utilisation des invariants:Pseudo-norme et Temps propre

considérons::ds=\sqrt{c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2} et d\tau=dt\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} tous deux invariants.

cdτ = ds

En relativité restreinte, nous avons un invariant qui a pour dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si...) une longueur (que nous appelons longueur propre) : Nous définissons le temps propre de la manière suivante Nous obtenons :

\frac{d}{d\tau}=\gamma(V)\frac{d}{dt}

dτ est l'accroissement de temps mesuré dans un référentiel en mouvement avec une vitesse V par rapport à un référentiel \mathbb R dans lequel l'accroissement de temps est dt. La quantité dt\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} ne dépend pas du référentiel \mathbb R choisi. C'est un invariant relativiste.

Nous définissons alors naturellement la quadrivitesse : u^\alpha=\frac{dx^\alpha}{d\tau}

u^\alpha=({\gamma(V)}c,\gamma(V)\vec{V})

qui a une pseudo norme égale à 1

Le voyage (Un voyage est un déplacement effectué vers un point plus ou moins éloigné dans un but personnel (tourisme) ou professionnel (affaires). Le voyage s'est considérablement développé et...) dans le futur des autres

Ou le paradoxe des jumeaux (Le paradoxe des jumeaux est une expérience de pensée en relativité restreinte imaginée par Paul Langevin en 1911. Langevin n'imagina pas cette expérience pour mettre en...) :

  • Rappelons ce paradoxe :

On considère deux jumeaux A et B. A entreprend un long voyage puis revient vers B. A est alors censé avoir vieilli moins que B. Un paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une situation...) est soulevé si, en se plaçant du point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) de A, il considère que c'est B qui voyage et qui devrait avoir moins vieilli que lui. Par conséquent, il n'y a aucune raison de trouver une dilatation du temps de l'un par rapport à l'autre.

  • Pour lever le paradoxe, il faut repérer où se situe une dissymétrie :

B se situe dans un référentiel inertiel \mathbb R et n'en change pas. Dans un premier temps, A se situe dans un référentiel inertiel \mathbb R' se déplaçant à la vitesse v par rapport à \mathbb R, puis A fait demi-tour. Il change alors de référentiel inertiel et se trouve cette fois dans un référentiel inertiel \mathbb R'' se déplaçant à la vitesse -v par rapport à \mathbb R.

  • La dissymétrie provient donc du fait que A change de référentiel inertiel, et pas B. Dans ce qui suit, on va illustrer par l'effet Doppler l'évolution des vies de A et de B. Nous verrons que lorsque A et B s'éloignent l'un de l'autre, l'effet Doppler des signaux qu'ils s'envoient l'un vers l'autre est identique (la fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le mot fréquence sans...) des signaux est diminuée dans le même rapport). Lorsque A et B se rapprochent l'un de l'autre, il en est de même (la fréquence des signaux est augmentée dans le même rapport). Mais l'inversion de l'effet Doppler dépend uniquement de A, et B n'y joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert...) aucun rôle. Ceci expliquera que, du point de vue de A ou de B, B a davantage vieilli que A.

On considère R' le référentiel du voyageur A qui se déplace à 3/5 c ce qui donne une dilatation du temps de

\gamma = \frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac {1}{\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}}=5/4
Si T0 est la durée du voyage dans R', dans R le voyage aller a duré T1 = γT0 = 5/4 années, en parcourant vγT0= 3/5×5/4 T0 année-lumière= 3/4 T0 a.l.

(a.l. signifie année-lumière (L’année-lumière (symbole al, anciennement année de lumière) est une unité de distance utilisée en astronomie. Une année-lumière est la distance parcourue par un photon (ou plus simplement la lumière)...) ou distance parcourue par la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière...) en un an)

Pour simplifier prenons un voyage de T0 = 1 an et pour moderniser le voyage, O et O' sont sous vidéo (La vidéo regroupe l'ensemble des techniques, technologie, permettant l'enregistrement ainsi que la restitution d'images animées, accompagnées ou non de son, sur un support...) avec émission en continu.
Par effet Doppler, les émissions sont reçues au ralenti avec un facteur (1+v/c) = 8/5 qui combiné avec la dilatation du temps 5/4 donne
T_r = \frac {(1+v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \times T_0= \sqrt{\frac {1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}} \times T_0=\frac {8}{5}\times \frac{5}{4}\times T_0= 2\times T_0

Il faut donc à chacun, et la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il...) est symétrique pour B en O et A en O', le double de temps pour visionner en " direct " la vie de l'autre tant que ni l'un ni l'autre ne modifie son mouvement.

  • Supposons que A s'arrète au bout d'un an, sans revenir.
Point de vue de A : Il a reçu 6 mois (Le mois (Du lat. mensis «mois», et anciennement au plur. «menstrues») est une période de temps arbitraire.) de la vie de B au ralenti en un an de son trajet et recevra la suite de vie de B avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un acte. Cartographie géologique ; la minute de terrain est la...) des six mois de la vie de B, visionnée au ralenti par A, a été émise 3/4 d'an plus tôt : A sait donc que B a vécu 5/4 d'année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.) depuis son départ, ce qui est bien la durée T1 du voyage de A dans le référentiel de B.
Point de vue de B : Après avoir reçu au ralenti le voyage aller de A en 2 ans, B reçoit la vie de A avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute du voyage de A, visionnée au ralenti par B, a été émise 3/4 d'an plus tôt : B sait donc que le voyage de A a duré (dans le référentiel de B) 2 ans moins 3/4 année, soit 5/4 d'année, ce qui est bien la durée T1 du voyage de A dans le référentiel de B.
  • Supposons maintenant que A en O' fasse demi tour au bout d'un an temps propre pour lui :
Point de vue de A : Il n'a alors visionné que 6 mois de la vie de B situé en O et il lui reste à recevoir ce qui est sur les 3/4 a.l qui séparent O de O', soit 3/4 ans du vécu de B en O non visionné par A situé en O', auquel il faudra ajouter la durée de vie de B pendant le voyage retour de A, soit T1 = 5/4 ans de la vie de B. A recevra donc en accéléré, en un an de son voyage retour, 2 ans de vie de B en O, ce qui est bien conforme à une réception en accéléré due au fait que le voyage retour rapproche A et O. En effet :
T_r = \frac {(1-v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \times T_0= \sqrt{\frac {1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}} \times T_0=\frac {2}{5}\times \frac{5}{4}\times T_0= 1/2\times T_0
A a donc voyagé pendant 2 ans et se retrouve avec B en O qui a vécu 6 mois + 2 ans = 2 ans et demi = 2T1.
C'est l'effet dilatation du temps.
Noter que A a fait demi tour dans un espace contenant des ondes qui se propagent vers B en O.
Point de vue de B : En O, il reçoit pendant 2 ans le voyage aller de A en O' et lorsque A fait demi-tour, il ne le sait pas encore. Lorsqu'il reçoit l'information que A en O' a fait demi tour il y a déjà 3/4 d'an que A voyage sur le retour et A sera dans 6 mois en O : B en O reçoit ce retour d'un an de la vie de A en accéléré en ces 6 mois. B aura mis 2 ans et 6 mois pour recevoir les " 2ans " de voyage de A.

Tous les premiers de chaque mois, A et B s'envoient mutuellement le rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire...) du mois qui commence pour eux. Dans le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) ci-dessous, on affiche dans la colonne de gauche le rang vécu par A et qu'il envoie à B, alors que la colonne de droite affiche les messages que perçoit A de la part de B. Pendant le voyage aller, la vie de B s'affiche deux fois moins vite, alors que pendant le voyage retour, la vie de B s'affiche deux fois plus vite.

Point de vue de A
Horloge de A
Visionnage de la vie de B
A s'éloigne de B et visionne la vie de B
au ralenti (deux fois moins vite)
1
1
2
1
3
2
4
2
... ...
10
5
11
6
12
6
A fait demi-tour.
Il se rapproche de B et visionne la vie de B
en accéléré (deux fois plus vite)
13
8
14
10
15
12
... ...
23
28
24
30

On peut procéder de même pour B. On prendra garde que A fait demi-tour au bout de 15 mois de B, mais que B ne le voit que 9 mois plus tard, le temps que le signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont...) parvienne jusqu'à lui, donc au bout de 24 mois.

Point de vue de B
Horloge de B
Visionnage de la vie de A
A s'éloigne de B. B visionne sa vie
au ralenti (deux fois moins vite)
1
1
2
1
3
2
4
2
... ...
22
11
23
12
24
12
B voit que A fait demi-tour.
Il se rapproche de B et B visionne sa vie
en accéléré (deux fois plus vite)
25
14
26
16
27
18
28
20
29
22
30
24

Le temps est relatif : comme une cordonnée, il dépend du référentiel. La durée du voyage de A, égal à 2T0 est multiplié pour B par le facteur

\frac {(1-v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+ \frac {(1+v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \sqrt{\frac {1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}+\sqrt{\frac {1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}= \frac {2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Pour bien percevoir l'effet relativiste, il faut voir ce que donnerait le formalisme classique. Il suffit de supposer qu'au lieu de s'envoyer des messages électro-magnétiques, A et B s'envoie des messages sonores à intervalle régulier. Nous supposerons que le milieu dans lequel se déplacent ces ondes sonores coïncide avec le référentiel de B. Le facteur de l' effet Doppler demeure, mais au sens classique.

  • En ce qui concerne les messages émis de B vers A, A les perçoit à l'aller en ralenti avec le facteur (1 − v / c), et au retour en accéléré avec le facteur (1 + v / c), sans le facteur spécifiquement relativiste de dilatation du temps \frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. La longueur du trajet de A est 3cT0/5, soit 3/5 a.l. (nous gardons les mêmes unités même si elles ne sont plus vraisemblables pour faciliter la comparaison).
  • En ce qui concerne les messages émis de A vers B, B les perçoit à l'aller de A en ralenti avec le facteur {1 \over (1-v/c)}, et au retour de A en accéléré avec le facteur {1 \over (1+v/c)}.
Point de vue de A : Pendant le voyage aller d'un an (sic), A reçoit au ralenti la vie de B avec un facteur 1 - 3/5, soit 2/5 de la vie de B. Au retour, A reçoit en accéléré la vie de B avec un facteur 1 + 3/5, soit 8/5 de la vie de B. Au cours de ses deux ans de voyage, A a visionné 2/5 + 8/5 = 2 années de la vie de B.
Point de vue de B : B reçoit au ralenti une année de voyage de A, avec un facteur 1/(1 + 3/5)) = 5/8. À cet instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.), A fait demi-tour, mais B ne le sait pas encore. Il le saura lorsque le signal émis par A lui parviendra, c’est-à-dire dans 3/5 d'année. B verra donc s'écouler 1 + 3/5 = 8/5 d'années pour visionner la totalité du voyage de A avant de le voir faire demi-tour. Ces 8/5 d'années correspondent bien à un an de la vie de A visionnée au ralenti avec un facteur 5/8. Lorsque B voit A faire demi-tour, A est déjà sur le chemin du retour depuis 3/5 d'année. Il lui reste donc 2/5 d'année à voyager. B, quant à lui, visionnera en accéléré la totalité du voyage retour avec un facteur 1/(1 - 3/5)) = 5/2. Ce visionnage du retour durera donc également 2/5 d'année, et B aura visionné 8/5 + 2/5 = 2 années de voyage de A.

L'aller et le retour de A ont duré chacun 1 an, A a vécu 2 ans. Et B a vécu 2 ans pour visionner les 2 ans du voyage de A : classique quoi ! Le temps est le même pour A et B : universel.

Forces et Accélérations

Le quadrivecteur accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une...)

De même que nous avons défini le quadrivecteur vitesse en différentiant le quadrivecteur position par rapport au temps propre, nous pouvons définir le quadri-accélération en différentiant le quadrivecteur vitesse par rapport au temps propre :

a^\alpha=\frac{du^\alpha}{d\tau}=({\gamma}\frac{d}{dt}({\gamma}c),{\gamma}\frac{d}{dt}({\gamma}\vec{V}))=({\gamma}c\frac{d\gamma}{dt},{\gamma}\frac{d\gamma}{dt}\vec{V}+\gamma^2\frac{d\vec{V}}{dt})

avec \gamma = \gamma(V) = {1 \over \sqrt{1 - V^2/c^2}}

La transformation des accélérations

La transformation de Lorentz appliquée sur le quadrivecteur accélération dans un référentiel \mathbb R permet d'en déduire le quadrivecteur accélération dans le référentiel \mathbb R', et de calculer explicitement les composantes de l'accélération. Notons a_i = {dV_i \over dt} la ième composante dans le référentiel \mathbb R et notons-la a'_i = {dV'_i \over dt'} dans le repère \mathbb R'. On obtient, en notant v la vitesse de \mathbb R' par rapport à \mathbb R :

a'_x = \left({1 - {v^2 \over c^2}}\right)^{3/2}{a_x \over (1 - vV_x/c^2)^3}
a'_y = \left({1 - {v^2 \over c^2}}\right) {a_y(1 - vV_x/c^2)+a_xvV_y/c^2 \over (1 - vV_x/c^2)^3}
a'_z = \left({1 - {v^2 \over c^2}}\right) {a_z(1 - vV_x/c^2)+a_xvV_z/c^2 \over (1 - vV_x/c^2)^3}

Le mouvement uniformément accéléré

Considérons un référentiel inertiel \mathbb R. Supposons que M, particule de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de...) m0, se déplace sous l'effet d'une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les...) constante F parallèle à Ox et que, pour t = 0, M soit en O avec une vitesse nulle. Sous l'effet de la force, la particule va être soumise à une accélération. Cependant, celle-ci ne saurait être constante, égale à g = {F \over m_0}, sous peine de voir la particule atteindre puis dépasser la vitesse de la lumière. Quel est alors l'équivalent relativiste du mouvement uniformément accéléré de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou transmet un mouvement,...) galiléenne ?

À un instant t donné, le point M est animé d'une vitesse V par rapport à \mathbb R. Considérons alors un référentiel \mathbb R' se déplaçant à la vitesse constante v qui coïncide à l'instant t avec la vitesse V de M, et tel que son origine O' coïncide également avec M à l'instant t. Dans ce référentiel \mathbb R', au cours du temps, le point M se voit se rapprocher de O', atteindre ce point en un certain instant t', sa vitesse V' s'annule en cet instant, puis il repart et s'éloigne de O'. Il est alors soumis à une accélération a'x dans le repère \mathbb R'. Puisque la vitesse V' s'annule au moment où M atteint O', nous ferons l'hypothèse que les lois de la mécanique galiléenne s'applique à cet instant, et que l'accélération a'x est égale à g. Selon les règles de transformation des accélérations vues précédemment, et compte tenu du fait que v = V = Vx, l'accélération de la particule M dans le référentiel \mathbb R à l'instant t est a_x = \left({1 - {V^2 \over c^2}}\right)^{3/2} g.

Si, à chaque instant t, on redéfinit le référentiel \mathbb R' coïncidant avec M, alors on définit ainsi une accélération propre constante a'x = g et une accélération dans le référentiel \mathbb R égale à :

a_x = \left({1 - {V^2 \over c^2}}\right)^{3/2} g = {dV \over dt}

Au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île couvre une superficie de 22 km². Elle est située dans la Municipalité de Skive.) et à mesure que V augmente et se rapproche de c, l'accélération de la particule dans le référentiel \mathbb R diminue, bien que son accélération dans son référentiel propre reste constante. L'intégration de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) donne l'expression de V en fonction du temps, à savoir :

V = \frac{gt}{\sqrt{1+\frac{g^2t^2}{c^2}}} = {dx \over dt}

On constate que V tend vers c lorsque t tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.). Par ailleurs, pour t proche de 0, on retrouve l'expression V = gt de la mécanique galiléenne. Une deuxième intégration fournit l'expression de l'abscisse x du point mobile M :

x = {c^2 \over g}(\sqrt{1 + {g^2t^2 \over c^2}} - 1)

Pour t proche de 0, on retrouve l'expression x = {1 \over 2}gt^2 de la mécanique galiléenne.

Accélération et énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.)

Si, dans l'étude du paragraphe précédent, on souhaite que la loi F = m_0g = {d(mV) \over dt} reste valide, il faut, puisque dV/dt n'est pas constant, que m ne le soit pas non plus. F étant constante, on a nécessairement mV = Ft avec, comme on l'a vu :

V = \frac{gt}{\sqrt{1+\frac{g^2t^2}{c^2}}}

ce qui donne :

t = \frac{1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} {V \over g}

On obtient alors :

m = {Ft \over V} = \frac{F}{g\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} = \frac{m_0}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}}

Ainsi, lorsque V augmente, on est amené à attribuer une masse m en mouvement de plus en plus importante, afin que la loi fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de la dynamique reste valide.

E = mc2

Toujours dans le cadre de l'étude précédente, la particule M voit son énergie varier avec la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) suivante :

P = F . V = m_0gV = {dE \over dt} = {dE \over dm}{dm \over dV}{dV \over dt}

or :

{dV \over dt} = (1 - {V^2 \over c^2})^{3/2}g et {dm \over dV} = {V \over c^2}\frac{m_0}{(1 - V^2/c^2)^{3/2}}

d'où, après simplication :

{dE \over dm} = c^2

ce qui conduit à la formule la plus célèbre de la physique :

{E = mc^2 \over ~}

On remarque que la variation d'énergie depuis l'instant initial est :

E - E_0 = (m - m_0)c^2 = m_0c^2({1 \over \sqrt{1 - V^2/c^2}} - 1)

qui donne {1 \over 2}m_0V^2 pour les petites vitesses. On retrouve l'expression classique de l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps est égale au travail nécessaire pour faire...).

Le quadrivecteur force et la transformation des forces

Soit une particule de masse m0, se déplaçant à la vitesse \vec V par rapport à un référentiel inertiel \mathbb R. On peut, comme en mécanique classique, définir la force à laquelle est soumise cette particule si sa quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système fait partie, avec l'énergie, des valeurs qui se...) varie, par :

\vec F = {d\vec p \over dt}

avec \vec p = m\vec V = \gamma(V)m_0 \vec V, et sa variation d'énergie par :

\vec F.\vec V = {dE \over dt}

Mais pour passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) d'un référentiel à l'autre, il vaut mieux utiliser le quadrivecteur force défini comme la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le...) du quadrivecteur impulsion par rapport au temps propre :

F^\alpha = {dp^\alpha \over d\tau} = \gamma(V){dp^\alpha \over dt} = \gamma(V) {d \over dt}({E \over c},\vec p) = \gamma(V) ({\vec F.\vec V \over c},\vec F) = \mathbf{F}

L'application d'une transformation de Lorentz à ce quadrivecteur permet de savoir comment une force se transforme d'un référentiel à l'autre.

Si (Fx,Fy,Fz) sont les composantes de \vec F dans le référentiel \mathbb R et si (F'x,F'y,F'z) sont ses composantes dans le référentiel \mathbb R' en translation de vitesse v par rapport à \mathbb R, alors on trouve que :

F'_x = {1 \over 1 - {\beta V_x \over c}}(F_x - \beta {\vec F.\vec V \over c})
F'_y = {1 \over \gamma(1 - {\beta V_x \over c})} F_y
F'_z = {1 \over \gamma(1 - {\beta V_x \over c})} F_z

avec \gamma = {1 \over \sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}} et \beta = {v \over c}.

En particulier, si la vitesse V du point mobile coïncide à un instant donné avec la vitesse v du référentiel \mathbb R, alors F'x = Fx, par contre les deux autres composantes sont différentes.

Exemple 1 : chute libre

Considérons une particule de masse m0 située en t = 0 en O et se déplaçant à la vitesse v selon l'axe Ox. On lui applique une force constante F = m0g selon l'axe Oy. En mécanique galiléenne, sa trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) est une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés...). Qu'en est-il en mécanique relativiste ?

En écrivant que \vec F = {d\vec p \over dt} et en projetant cette relation sur deux axes, on obtient, en notant Vx et Vy les composantes de sa vitesse V à l'instant t :

\left\{\begin{matrix} {d \over dt} (\gamma(V)V_x) = 0\\{d \over dt} (\gamma(V)V_y) = g\end{matrix}\right.

d'où :

\left\{\begin{matrix} \gamma(V)V_x = v\\\gamma(V)V_y = gt\end{matrix}\right.

La résolution de ce système conduit à :

\left\{\begin{matrix} V_x = {v \over \sqrt{1 + {v^2+g^2t^2 \over c^2}}} = {dx \over dt}\\V_y = {gt \over \sqrt{1 + {v^2+g^2t^2 \over c^2}}} = {dy \over dt}\end{matrix}\right.

et l'intégration de ces deux relations donnent les coordonnées x et y de la particule à l'instant t :

\left\{\begin{matrix} x = {vc \over g} \sinh^{-1}({gt \over \sqrt{c^2 + v^2}})\\y = {c \over g} \sqrt{c^2+v^2}(\sqrt{1 + {g^2t^2 \over c^2 + v^2}}-1)\end{matrix}\right.

où sinh-1 est la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) du sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes...) hyperbolique. Si on exprime y en fonction de x, on obtient :

y = {c \over g} \sqrt{c^2+v^2}(\cosh({gx \over vc})-1)

qui est l'équation d'une chaînette (En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu...) et non plus d'une parabole.

On peut retrouver les solutions de la mécanique galiléenne en augmentant indéfiniment la valeur de c, ce qui donne :

\left\{\begin{matrix} x = vt\\y = {1 \over 2}gt^2\\y = {gx^2 \over 2v^2}\end{matrix}\right.

Exemple 2 : champ électrique (Dans le cadre de l'électromagnétisme, le champ électrique est un objet physique qui permet de définir et éventuellement de mesurer en tout point de l'espace l'influence exercée à distance par des particules chargées électriquement.)

On considère dans le référentiel \mathbb R un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) électrique \vec E, et une particule de charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un...) q, se déplaçant dans ce champ. Celle-ci est soumise à une force \vec F = q\vec E. Qu'en est-il dans le référentiel \mathbb R' en déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En architecture navale, le...) à la vitesse v parallèle à Ox par rapport à \mathbb R ?

À partir des relations :

\left\{\begin{matrix}F_x=qE_x\\F_y=qE_y\\F_z=qE_z\end{matrix}\right. {\rm,~}\left\{\begin{matrix}F'_x = {1 \over 1 - {\beta V_x \over c}}(F_x - \beta {\vec F.\vec V \over c}) \\ F'_y = {1 \over \gamma(1 - {\beta V_x \over c})} F_y \\F'_z = {1 \over \gamma(1 - {\beta V_x \over c})} F_z\end{matrix}\right. {\rm~et~}  \left\{\begin{matrix}V_x = {V'_x + v \over 1 + \beta V'_x/c} \\V_y = {V'_y \over \gamma(1 + \beta V'_x/c)}\\V_z = {V'_z \over \gamma(1 + \beta V'_x/c)}\end{matrix}\right.

avec \beta = {v \over c} et \gamma = {1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2}}, on en déduit que :

\left\{\begin{matrix}F'_x=qE_x - \gamma\beta q{E_yV'_y+E_zV'_z \over c} \\F'_y=\gamma qE_y + \gamma\beta q{E_yV'_x \over c} \\F'_z=\gamma qE_z + \gamma\beta q{E_zV'_x \over c} \end{matrix}\right.

La force \vec F' est de la forme :

\vec F' = q\vec E' + q\vec V' \times \vec B'

avec \vec E' champ électrique de composantes \begin{pmatrix}E_x \\ \gamma E_y \\ \gamma E_z\end{pmatrix} et \vec B' champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux magnétique) est une grandeur caractérisée par la donnée d'une intensité et d'une direction,...) de composantes {\gamma \beta \over c}\begin{pmatrix}0 \\ E_z \\ -E_y\end{pmatrix}

Ainsi, le fait de changer de référentiel a légèrement modifié les composantes du champ électrique orthogonales au déplacement, et a fait apparaître un champ magnétique. Ce champ n'est que l'effet relativiste du changement de référentiel.

On notera que \vec B' = - {\gamma \over c^2} \vec v \times \vec E

Exemple 3 : champ magnétique

On considère maintenant la même particule, mais dans un champ magnétique \vec   B. La force à laquelle la particule est soumise est cette fois :

\vec F = q\vec V \times \vec B

Les composantes de cette force sont :

\left\{\begin{matrix}F_x=q(V_yB_z -  V_zB_y)\\F_y=q(V_zB_x-V_xB_z)\\F_z=q(V_xB_y-V_yB_x)\end{matrix}\right.

En opérant comme dans le paragraphe précédent, on trouve les composantes de la force dans le référentiel \mathbb R' :

\left\{\begin{matrix}F'_x=q\gamma(V'_yB_z - V'_zB_y)\\F'_y=q(V'_zB_x-\gamma V'_xB_z -  \gamma vB_z)\\F'_z=q(\gamma V'_xB_y-V'_yB_x + \gamma vB_y)\end{matrix}\right.

La force \vec F' est de la forme :

\vec F' = q\vec E' + q\vec V' \times \vec B'

avec ici \vec E' champ électrique de composantes \gamma v\begin{pmatrix}0  \\ -B_z \\ B_y\end{pmatrix} et \vec B' champ magnétique de composantes \begin{pmatrix}B_x \\ \gamma B_y \\ \gamma B_z\end{pmatrix}.

Ainsi, le fait de changer de référentiel a légèrement modifié les composantes du champ magnétique orthogonales au déplacement, et a fait apparaître un champ électrique. Ce champ est là aussi un effet relativiste du changement de référentiel.

On notera que \vec E' = \gamma \vec v \times \vec B

Si on combine les exemples 2 et 3, on obtient les transformations d'un champ électro-magnétique (\vec E,\vec B) :

\left\{\begin{matrix} E'_x=E_x\\ E'_y=\gamma(E_y-vB_z)\\ E'_z=\gamma(E_z+vB_y)\\ B'_x=B_x\\ B'_y=\gamma(B_y+\frac{v}{c^2}E_z)\\ B'_z=\gamma(B_z-\frac{v}{c^2}E_y) \end{matrix}\right.

ou encore, en désignant par \vec E_{//} et \vec B_{//} les composantes des champs parallèles au sens du déplacement du référentiel \mathbb R', et par E_{\bot} et \vec B_{\bot} les composantes orthogonales :

\left\{\begin{matrix} \vec E'_{//} = \vec E_{//}\\ \vec B'_{//} = \vec B_{//}\\ E'_{\bot} = \gamma(E_{\bot} + \vec v \times \vec B)\\ B'_{\bot} = \gamma(B_{\bot} - {\vec v \over c^2} \times E) \end{matrix}\right.

Tout ceci fait intervenir deux champs \vec{E},\vec{B} classiques qui lors d'un changement de référentiel se 'transforment' l'un dans l'autre sans pour cela se mettre clairement sous la forme de quadrivecteur comme l'énergie impulsion etc. Par contre les équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'électromagnétisme, avec l'expression de la force électromagnétique de...) prennent une forme relativiste et \left( \frac{V}{c},\vec{A}\right) va se transformer comme doit le faire un quadrivecteur ce qui fait dire à Feynman que si dans les champs électromagnétique il fallait mettre une hiérarchie c'est de considérer d'abord les grandeurs quadrivecteurs. Il faut donc essayer de formuler les équations de Maxwell avec des opérateurs et des champs vectoriels ou tensoriel à 4 dimensions.

Optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.) relativiste

On utilise en optique relativiste les quadrivecteurs de la forme ({\omega \over c},\vec{k}), où ω est la pulsation de l'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de...), et \vec{k} le vecteur d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de...) indiquant la direction de propagation de l'onde et de module ω/c. Ce quadrivecteur est l'équivalent pour une onde électromagnétique du quadrivecteur ({E \over c}, \vec{p}) énergie-impulsion pour une particule, multiplié par la constante de Planck (En physique, la constante de Planck, notée h, est une constante utilisée pour décrire la taille des quanta. Elle joue un rôle central dans la mécanique...) {h \over 2\pi} = \hbar. En effet, la dualité onde-particule (« Les objets quantiques sont dingues, mais au moins, ils sont tous dingues de la même manière. Richard Feynman » ) attribue à une onde une énergie E = h\nu = {h \over 2\pi} \omega = \hbar \omega, et une quantité de mouvement dont le module est p = {E \over c} = \hbar {\omega \over c} = \hbar  k.

La transformation d'un référentiel à l'autre de ce quadrivecteur explique les deux effets suivants :

  • L'effet Doppler-Fizeau (L'effet Doppler-Fizeau est le décalage entre la fréquence de l'onde émise et de l'onde reçue lorsque l'émetteur et le récepteur sont en mouvement l'un par rapport...)
  • L'aberration de la lumière (L'aberration de la lumière a été découverte par l'astronome James Bradley en 1725, mais seulement publiée en 1727. Elle se traduit par le fait que la direction apparente d'une source...)

Le quadrivecteur énergie impulsion

Pour exprimer le quadrivecteur énergie impulsion d'une particule de masse m0 se déplaçant à la vitesse \vec V, il suffit de considérer une masse m0 et de former comme en mécanique classique l'impulsion qui est le produit de la masse par la vitesse.

En mécanique relativiste, nous formons le produit de la masse par la quadri-vitesse, obtenant ainsi le quadrivecteur énergie-impulsion :

p^\alpha=m_0u^\alpha=(\gamma(V) m_0c,\gamma(V)m_0\vec{V})=  \left (\frac {m_0c}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}, \frac {m_0\vec V}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\right)=\mathbf{P}= \left (\frac {E}{c}, \vec p \right)
Si on calcule la pseudo norme, on obtient :
\mathbf{P^2}=(\frac {E}{c})^2 -(\vec p )^2= m_0^2c^2
\mathbf{P}=\begin{pmatrix} \\ \frac {E}{c}\\ \ p_x\\ \ p_y\\ \ p_z\\\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \gamma\beta& 0 & 0\\ \gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}\begin{pmatrix} \\ \frac {E'}{c}\\ \ p'_x\\ \ p'_y\\ \ p'_z\\\end{pmatrix}= \mathbf{[\mathcal{L}]}*\mathbf{P'}
La pseudonorme étant un invariant, on va pouvoir l'égaler à elle-même en la calculant dans différents référentiels avant et après un choc (Dès que deux entitées interagissent de manière violente, on dit qu'il y a choc, que ce soit de civilisation ou de particules de hautes énergies.) évènement par exemple.

Dans la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) du quadrivecteur, on a posé :\gamma(V) m_0c = {E \over c} où E est l'énergie associée à la particule en mouvement. E = γ(V)m0c2

\gamma(V) m_0 = {m_0 \over \sqrt{1 - V^2/c^2}}, quantité qui tend vers l'infini quand V tend vers c a souvent été utilisée au XXième siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois...) en terme de masse variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...).

On préfère aujourd'hui réserver le mot masse pour désigner l'énergie propre (Une énergie propre ou énergie verte est une source d'énergie dont l'exploitation ne produit que des quantités négligeables de polluants par rapport à d'autres...) d'une particule ; c’est-à-dire son énergie au repos.

Les chocs aux hautes énergies

La principale confirmation de la relativité est aujourd'hui facilement illustrée par ce qu'on appelle la physique des particules (La physique des particules est la branche de la physique qui étudie les constituants élémentaires de la matière et les rayonnements, ainsi que leurs interactions. On l'appelle aussi physique des hautes énergies car de...) ou encore des hautes énergies. Les accélérateurs de particules frappent par la dimension des installations ; ce sont des tubes (dans lequel on fait le vide) de plusieurs kilomètres (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international. Il est défini comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en...) en forme d'anneau creux ou tore (Le terme tore a essentiellement deux acceptions distinctes, suivant les usages :) dans lequel sont injectés des 'paquets' de protons qui circulent à grandes vitesses après avoir été accélérés par des champs électriques et déviés par des champs magnétiques qui leur imposent de rester à tourner dans le tube. Ainsi il est possible de faire des chocs de protons contre des protons à hautes énergies.

Référentiels particuliers

On considère en général deux référentiels : le référentiel où la cible 2 est au repos dit du laboratoire SL

\mathbb{R}_{SL}:\qquad \vec p_2 =\vec 0 :

et le référentiel où le tout est immobile dit à tort du centre de masse SCM

\mathbb{R^*}  : \qquad \sum_{i=1}^n \vec p_i^* =\vec 0

Exemple de choc

si on a une particule de masse m1 qui vient percuter une particule de masse m2, on écrira en relativité restreinte la conservation du quadrivecteur impulsion :

\mathbf{P_t}=(\frac{E_t}{c}, \vec p_t)= \mathbf{P_1}+\mathbf{P_2} = (\frac{E_1}{c}, \vec p_1)+ (\frac{E_2}{c}, \vec p_2) {\rm~avec~}\mathbf{P_i^2}=(\frac{E_i}{c})^2 -( \vec p_i)^2 = m_i^2c^2
On suppose que les deux particules se sont provisoirement unies et forment le tout avec :
\mathbf{P_t^2}= m_t^2c^2 = \mathbf{(P_1+P_2)^2}=\mathbf{P_1^2}+\mathbf{P_2^2}+2\cdot \mathbf{P_1} \cdot \mathbf{P_2}
ce qui donne aussitôt dans le référentiel où 2 est immobile :
m_t^2c^2 = m_1^2 c^2+ m_2^2 c^2+ 2(m_1c^2+ E_{c1})m_2 = (m_1+ m_2)^2c^2 + 2E _{c1}m_2
Ec1 = E1m1c2 est l'énergie cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) de la particule 1, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos. en résolvant :
E_{c1}  =\frac{1}{2}\cdot \left(\frac { m_t^2 -(m_1+ m_2)^2 }{ m_2}\right ) c^2 et E_1  =E_{c1} + m_1c^2 = \left(\frac {m_t^2 - m_1^2 - m_2^2}{ 2 m_2}\right ) c^2
Remarquer que:m_2c^2 + E_1  = m_2c^2 + \left(\frac {m_t^2 - m_1^2 - m_2^2}{ 2 m_2}\right ) c^2=  \left(\frac {m_t^2 - m_1^2 + m_2^2}{ 2 m_2}\right ) c^2 = \gamma\cdot m_t c^2 On peut donc en déduire le γ permettant de passer du système du laboratoire (cible 2 immobile) au système dit du centre de masse (l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme...) est immobile)
\gamma =  \left(\frac {m_t^2 - m_1^2 + m_2^2}{ 2m_t  m_2}\right ) et le :\beta =  \left(\frac {(m_t - m_2)^2 - m_1^2 }{m_t^2 - m_1^2 + m_2^2}\right )
La pseudonorme du tout donne la masse totale exprimée dans SL en fonction de m1,m2 et Ec1.
On constate que la masse du tout mt n'est pas la somme des masses m1 et m2, alors que ce serait le cas classiquement. La conservation classique de la masse est mise à mal par la relativité restreinte et c'est là l'origine de l'énergie nucléaire : l'énergie du soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une...) provient de la libération de l'énergie contenue dans la masse qui disparaît dans les réactions de fusion (En physique et en métallurgie, la fusion est le passage d'un corps de l'état solide vers l'état liquide. Pour un corps pur, c’est-à-dire pour une substance constituée de molécules toutes identiques, la fusion...). En sens inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x...) on peut créer de la masse et donc de nouvelles particules dans les anneaux de collission par la conversion d'énergie en masse.

Le défaut de masse

Dans l'exemple précédent, mt était supérieure à la somme des masses m1 et m2. À l'inverse, lors d'une désintégration radioactive, la masse des particules formées est inférieure à la masse initiale. La réaction a produit de l'énergie : elle est exoénergétique. Ce qui donne aussitôt dans le référentiel dit du centre de masse celui où la particule mt est immobile :

\mathbf{P_1^2}= m_1^2c^2 = \mathbf{(P_t-P_2)^2}=\mathbf{P_t^2}+\mathbf{P_2^2}- 2\cdot \mathbf{P_t} \cdot \mathbf{P_2}
m_1^2c^2 = m_t^2 c^2+ m_2^2 c^2 - 2 m_t c ( E_{c2} +m_2 c)
Ec2 = E2m2c2 est l'énergie cinétique de la particule 2, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos. en ordonnant et en résolvant :
E_{c2}  =\frac{1}{2}\cdot \left(\frac {(m_t- m_2)^2  - m_1^2}{ m_t}\right ) c^2 et E_2  =E_{c2} + m_2c^2 = \left(\frac {m_t^2+ m_2^2 - m_1^2}{ 2 m_t}\right ) c^2 = \gamma\cdot m_2 c^2
On peut donc en déduire le γ permettant de passer du système du laboratoire (cible 2 immobile) au système dit du centre de masse (l'ensemble est immobile)
\gamma =  \left(\frac {m_t^2 - m_1^2 + m_2^2}{ 2m_t  m_2}\right ) et le :\beta =  \left(\frac {(m_t - m_2)^2 - m_1^2 }{m_t^2 - m_1^2 + m_2^2}\right )
et en permuttant 1 et 2
\mathbf{P_2^2}= m_2^2c^2 = \mathbf{(P_t-P_1)^2}=\mathbf{P_t^2}+\mathbf{P_1^2}- 2\cdot \mathbf{P_t} \cdot \mathbf{P_1}
m_2^2c^2 = m_t^2 c^2+ m_1^2 c^2 - 2 m_t c ( E_{c1} +m_1 c)
Ec1 = E1m1c2 est l'énergie cinétique de la particule 2, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos.
E_{c1}  =\frac{1}{2}\cdot \left(\frac {(m_t- m_1)^2  - m_2^2}{ m_t}\right ) c^2 et E_1  =E_{c1} + m_1c^2 = \left(\frac {m_t^2+ m_1^2 - m_2^2}{ 2 m_t}\right ) c^2
Remarquer que:E_2 + E_1  = \left(\frac {m_t^2+ m_2^2 - m_1^2}{ 2 m_t}\right ) c^2 +\left(\frac {m_t^2+ m_1^2 - m_2^2}{ 2 m_t}\right ) c^2 = m_t c^2

Les lois de l'électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude des phénomènes électriques et magnétiques dans leur synthèse du champ électromagnétique :...)

L'équation de conservation de la charge électrique (La charge électrique est une propriété fondamentale de la matière qui respecte le principe de conservation.) s'écrit :

\frac{{\partial}\rho}{{\partial}t}+\nabla\cdot\vec{j}=0 La force de Lorentz (En physique, la force de Lorentz désigne :) s'écrit :\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})

Les équations de Maxwell s'écrivent sous forme vectorielle

\left\{\begin{matrix} \nabla{\cdot}\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0} & (1)\\ \nabla{\times}\vec{E}=-\frac{{\partial}\vec{B}}{{\partial}{t}} & (2)\\ \nabla{\cdot}\vec{B}=0 & (3)\\ \nabla{\times}\vec{B}=\mu_0\vec{j}+\epsilon_0\mu_0\frac{{\partial}\vec{E}}{{\partial}t} & (4) \end{matrix}\right.

Écrites dans le formalisme de Lorentz avec des quadrivecteurs, elles se simplifient.

On pose comme quadri-vecteur courant j^\alpha=({\rho}c,\vec{j}). En effet, soit ρ0 la densité de charge (La densité de charge électrique correspond au rapport de la charge sur le volume. Elle peut être exprimée en coulomb par mètre cube (C/m3).) dans le référentiel propre, se déplaçant à la vitesse \vec V par rapport à un référentiel \mathbb R. Du fait de la contraction des longueurs dans la direction de \vec V, le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) occupé par une charge donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) sera multiplié par le facteur {1 \over \gamma(V)} lorsqu'il est observé depuis le référentiel \mathbb R, et donc la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau pure à...) de charge dans ce même référentiel sera γ(V)ρ0. Par ailleurs, la densité de courant (La densité de courant électrique est définie comme le courant électrique par unité de surface (figure). Mathématiquement, le courant et la densité de courant sont liés par la...) est \vec J = \rho \vec V, de sorte que :

j^\alpha=({\rho}c,\vec{j})= \rho (c,\vec{V}) = \rho_0 \gamma(V)(c,\vec V) produit de ρ0 par le quadrivecteur vitesse.

On peut alors appliquer les transformations de Lorentz pour déterminer comment sont transformées densité de charge et densité de courant d'un référentiel \mathbb R à un référentiel \mathbb R'.

Nous avons donc comme formule de transformation des courants et des densités de courant (pour un référentiel en translation uniforme) :

\left\{ \begin{matrix} c \rho'=\gamma(c \rho -(\frac{v}{c})j_x)\\ cj'_x=\gamma(j_x-(\frac{v}{c})c\rho)\\ j'_y=j_y\\ j'_z=j_z \end{matrix} \right.

De la même façon, on a comme transformation pour les potentiels :

\left\{ \begin{matrix} \frac{\varphi'}{c}=\gamma(\frac{\varphi}{c}-(\frac{v}{c})A_x)\\ A'_x=\gamma(A_x-(\frac{v}{c})\frac{\varphi}{c})\\ A'_y=A_y\\ A'_z=A_z \end{matrix} \right.

On définit le quadri-potentiel électromagnétique :

A^\alpha=(\frac{\varphi}{c},\vec{A})
Nous définissons le champs électromagnétique de la façon suivante :
\left\{\begin{matrix} \vec{E}=-{\nabla}\varphi-\frac{\partial\vec{A}}{{\partial}t}\\ \vec{B}=\nabla\times\vec{A} \end{matrix}\right.

Les transformations des composantes du champ électromagnétique (Le champ électromagnétique est le concept central de l'électromagnétisme. On le conçoit souvent comme composition des deux champs vectoriels que l'on peut mesurer indépendamment :...) s'écrivent :

\left\{\begin{matrix} E'_x=E_x\\ E'_y=\gamma(E_y-vB_z)\\ E'_z=\gamma(E_z+vB_y)\\ B'_x=B_x\\ B'_y=\gamma(B_y+\frac{v}{c^2}E_z)\\ B'_z=\gamma(B_z-\frac{v}{c^2}E_y) \end{matrix}\right.
On peut alors définir :
F^{\alpha\beta}=\partial^{\alpha}A^\beta-\partial^{\beta}A^\alpha
Le Tenseur électromagnétique F est anti-symétrique, nous pouvons calculer ses composantes :

\left\{\begin{matrix} F^{01}={\partial}^{0}A^1-{\partial}^{1}A^0=\frac{1}{c}\frac{{\partial}A_x}{{\partial}t}+\frac{{\partial}\frac{\varphi}{c}}{{\partial}x}=-\frac{E_x}{c}\\ F^{02}={\partial}^{0}A^2-{\partial}^{2}A^0=\frac{1}{c}\frac{{\partial}A_y}{{\partial}t}+\frac{{\partial}\frac{\varphi}{c}}{{\partial}y}=-\frac{E_y}{c}\\ F^{03}={\partial}^{0}A^3-{\partial}^{3}A^0=\frac{1}{c}\frac{{\partial}A_z}{{\partial}t}+\frac{{\partial}\frac{\varphi}{c}}{{\partial}z}=-\frac{E_z}{c}\\ F^{12}={\partial}^{1}A^2-{\partial}^{2}A^1=-\frac{{\partial}A_y}{{\partial}x}+\frac{{\partial}A_x}{{\partial}y}=-B_z\\ F^{13}={\partial}^{1}A^3-{\partial}^{3}A^1=-\frac{{\partial}A_z}{{\partial}x}+\frac{{\partial}A_x}{{\partial}z}=B_y\\ F^{23}={\partial}^{2}A^3-{\partial}^{3}A^2=-\frac{{\partial}A_z}{{\partial}y}+\frac{{\partial}A_y}{{\partial}z}=-B_x\\ \end{matrix}\right.

Le tenseur électromagnétique s'écrit sous forme matricielle :
F^{\alpha\beta}=\left[\begin{matrix} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c}\\ \frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y\\ \frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x\\ \frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right]

Les équations contenant les sources (1) et (4) s'écrivent dans la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières premières (on...) covariante :

\partial_{\alpha}F^{\alpha\beta}=\mu_{0}j^\beta
En effet, on a :
\left\{\begin{matrix} \partial_{1}F^{10}+\partial_{2}F^{20}+\partial_{3}F^{30}=\mu_{0}j^0\\ \partial_{0}F^{01}+\partial_{2}F^{21}+\partial_{3}F^{31}=\mu_{0}j^1\\ \partial_{0}F^{02}+\partial_{1}F^{12}+\partial_{3}F^{32}=\mu_{0}j^2\\ \partial_{0}F^{03}+\partial_{1}F^{13}+\partial_{2}F^{23}=\mu_{0}j^3 \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} \frac{{\partial}\frac{E_x}{c}}{{\partial}x}+\frac{{\partial}\frac{E_y}{c}}{{\partial}y}+\frac{{\partial}\frac{E_z}{c}}{{\partial}z}=\mu_{0}{\rho}c=\frac{1}{c}\nabla\cdot\vec{E}\\ -\frac{1}{c}\frac{{\partial}\frac{E_x}{c}}{{\partial}t}+\frac{{\partial}B_z}{{\partial}y}-\frac{{\partial}B_y}{{\partial}z}=\mu_{0}j_x=(-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial}\vec{E}}{{\partial}t}+\nabla\times\vec{B})_x\\ -\frac{1}{c}\frac{{\partial}\frac{E_y}{c}}{{\partial}t}-\frac{{\partial}B_z}{{\partial}x}+\frac{{\partial}B_x}{{\partial}z}=\mu_{0}j_y=(-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial}\vec{E}}{{\partial}t}+\nabla\times\vec{B})_y\\ -\frac{1}{c}\frac{{\partial}\frac{E_z}{c}}{{\partial}t}+\frac{{\partial}B_y}{{\partial}x}-\frac{{\partial}B_x}{{\partial}y}=\mu_{0}j_z=(-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial}\vec{E}}{{\partial}t}+\nabla\times\vec{B})_z \end{matrix}\right.

Les équations (2) et (3) s'écrivent :

\partial_{\alpha}F_{\beta\gamma}+\partial_{\beta}F_{\gamma\alpha}+\partial_{\gamma}F_{\alpha\beta}=0
La vérification est aisée.

Autres ébauches

les intervalles d'espace
etc.
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