Réseau (géométrie) - Définition

Aucun outil sophistiqué n'est nécessaire pour élucider les différentes configurations. On peut s'en tenir aux techniques élémentaires de l'algèbre linéaire et de la géométrie. C'est ainsi que procéda Auguste Bravais pour établir les différentes structures en dimension 2 et 3, au milieu du XIX^e siècle, bien avant l'apparition de la définition formelle d'une structure de groupe.

• Groupe diédral d'indice 6 :

Le groupe orthogonal contient un sous-groupe commutatif composé des rotations :

Pour s'en rendre compte, il suffit de remarquer que la composition de deux rotations est encore une rotation et qu'en dimension 2, les rotations commutent. Le groupe orthogonal contient toujours deux rotations, l'identité d'angle 0 et l'application qui à un vecteur associe son opposé, correspondant à la rotation d'un demi tour. Ce qui montre que l'ensemble des rotations n'est jamais vide. Enfin, si une rotation laisse le réseau stable, la rotation inverse laisse aussi nécessairement le réseau stable.

Dans un premier temps, on ne cherche qu'à établir ce sous-groupe encore appelé groupe spécial orthogonal. Il n'existe en fait pas beaucoup de rotations candidates à être dans un tel sous-groupe :

Si une rotation Θ est dans un groupe orthogonal d'un réseau de dimension 2, son angle est de la forme k.π/3 ou k.π/2, ici k désigne un nombre entier :

Pour le démontrer, commençons par remarquer que si Θ est une rotation dans le réseau, alors elle transforme une base du réseau en une base composée de vecteurs de même longueur et formant le même angle orienté. Ceci suffit à montrer que Θ peut aussi être vue comme une rotation du plan R².

On écrit la matrice de la rotation Θ dans une base orthonormale directe, c'est-à-dire composée de deux vecteurs de norme 1 et faisant, un angle orienté de π/4. Dans une telle base, la matrice M de Θ prend la forme suivante, si θ désigne l'angle de la rotation :

On utilise une astuce, la trace d'une application linéaire, c'est-à-dire la somme des deux coefficients diagonaux dans notre cas, n'est pas modifiée si la base dans laquelle est exprimée l'application linéaire est modifiée. Si l'on choisit une base dans le réseau, la matrice est à coefficients entiers, la trace est donc un nombre entier, ce qui montre que 2cos(θ) est un nombre entier, ou encore que cos(θ) est égal à -1, -1/2, 0, 1/2 ou 1. On trouve bien les valeurs annoncées pour l'angle de la rotation.

Intuitivement, on peut s'en rendre compte en remarquant qu'il est possible de paver l'espace avec des triangles équilatéraux, des carrés ou des hexagones, ce que l'on voit graphiquement dans l'exemple de réseau illustré dans le paragraphe Définition. Un petit dessin montre que c'est impossible avec des pentagones et, pour les polygones réguliers, dès que l'on atteint ou dépasse 7 sommets, on est alors trop proche du cercle pour pouvoir espérer paver l'espace.

S'il existe une rotation dans le groupe orthogonal d'angle π/3, 2.π/3, 4.π/3 ou 5.π/3 alors le groupe orthogonal contient exactement les six rotations d'angle k.π/3, avec k variant de 0 à 5 :

Montrons dans une premier temps que la rotation, notée ici Θ, d'angle π/3 est dans le groupe. Soit λ un élément quelconque du réseau il faut montrer que son image par Θ est bien dans le réseau. La figure de l'hexagone correspondant à ce cas va nous aider. Si la rotation présente dans le groupe, est d'angle π/3, il n'y a rien à démontrer. Si c'est celle d'angle 2.π/3, il suffit d'appliquer deux fois à λ la rotation Θ. L'opposé de ce résultat est égal à Θ(λ), ce qui montre que cette valeur est bien dans le réseau et donc que Θ est dans le groupe orthogonal. Si la rotation laissant stable le réseau est celle d'angle 4.π/3, il suffit de l'appliquer une fois à λ et de remarquer que son opposé est égal à Θ(λ). Enfin, si c'est la rotation d'angle 5.π/3, il suffit de l'appliquer cinq fois à λ pour obtenir le résultat voulu.

Puisque la rotation Θ laisse stable le réseau, l'application deux fois de cette rotation, c'est-à-dire la rotation d'angle 2.π/3 est aussi dans le groupe orthogonal. En appliquant cinq fois ce raisonnement, on trouve bien que les six rotations de l'énoncé laissent stable le réseau.

Il reste à démontrer qu'il n'en existe pas d'autre. D'après un résultat précédent, cela ne pourrait être qu'une rotation d'un quart de tour. Or une rotation d'un quart de tour puis une rotation d'un sixième de tour est une rotation, soit d'un douzième de tour, soit de cinq douzième de tour. Aucune de ces deux rotations ne peut faire partie du groupe orthogonal, une rotation d'un quart de tour, dans ce contexte ne peut donc faire partie du groupe orthogonal. La proposition est bien démontrée.

Nous connaissons maintenant toutes les rotations du groupe orthogonal. Pour aller plus loin, on a besoin du vecteur α des illustrations, c'est-à-dire un vecteur du réseau, non nul et de plus petite norme. On utilise aussi β, son image par la rotation d'un sixième de tour. Il est temps de montrer que la configuration du réseau est bien celle de la première figure du paragraphe.

Tout point du réseau est combinaison linéaire de α et β à coefficients entiers :

On connaît déjà la configuration du réseau sur le disque de rayon la norme de α et de centre le vecteur nul. Elle correspond exactement à celle de la figure. A l'intérieur du disque, on ne trouve que le vecteur nul car il n'existe pas d'autre vecteur du réseau de norme strictement plus petite que celle de α. Sur la frontière du disque, on trouve les six images de α par les six rotations, à l'image de l'illustration.

Pour élucider la situation hors du disque, on fait appel à la même astuce que celle utilisée pour démontrer l'existence d'une base en dimension 2. On remarque que le couple (α, β - α) est une base de R², un vecteur λ s'exprime dans cette base. Il ne reste plus qu'à monter que les deux coordonnées a et b de λ dans cette base sont des entiers. On décompose a = q_a + r_a et b = q_b + r_b. Le vecteur q_a.α + q_b.(β - α) est combinaison linéaire à coefficients entiers de deux points du réseau, c'est un point du réseau. La différence entre λ et ce vecteur est aussi un point du réseau, égal à r_a.α + r_b.(β - α). Comme ses coordonnées sont strictement plus petites que 1, cette différence se trouve à dans le parallélogramme de sommets 0, α, β - α et β. On remarque que ce parallélogramme se trouve à l'intérieur du disque de rayon la norme de α et de centre le vecteur nul. Comme r_a et r_b sont strictement inférieurs à 1, le seul point du réseau dans cette zone est le vecteur nul. Ceci montre que r_a et r_b sont nuls et que λ est bien combinaison linéaire de α et β - α à coefficient entiers. Cette propriété est exactement équivalente à celle de la proposition à démontrer.

La détermination est presque terminée. Les rotations ainsi que les points du réseau sont connus, il ne reste plus qu'à déterminer les éléments du groupe orthogonal qui ne sont pas des rotations. Dans un plan, une isométrie vectorielle qui n'est pas une rotation est une réflexion, cette première remarque va nous aider. Une deuxième est utile : la composée de deux réflexions est une rotation et la composée d'une rotation et d'une réflexion est une réflexion. La dernière remarque est que la composée d'une réflexion avec elle-même est l'application identique, on parle d'application involutive :

Le groupe orthogonal contient exactement 12 éléments et est une copie du groupe diédral D₆ :

Commençons par construire une réflexion, L'application linéaire Γ, qui laisse α stable et qui transforme β en α - β est une réflexion, car elle conserve les distances et les angles d'une base et elle possède une droite invariante et n'est pas l'identité. Si l'on considère les six applications composées de Γ avec Θ^k pour k variant de 0 à 5, on obtient six réflexions. Le symbole Θ^k désigne l'application Θ appliquée k fois ou encore la rotation d'angle k.π/3. Les réflexions sont toutes différentes, pour s'en rendre compte, il suffit d'appliquer ces réflexions puis la réflexion Γ, on obtient six applications différentes, ce qui serait impossible si deux des applications de type Γ.Θ^k étaient égales. Il ne reste plus qu'à montrer qu'une réflexion Γ' est toujours l'une des 6 trouvées. On applique d'abord Γ₁ puis ensuite deux fois Γ, on trouve Γ₁ car appliquer deux fois Γ correspond à ne rien faire. On remarque que Γ.Γ₁ est une rotation, il existe donc une valeur k tel que Γ.Γ₁ est égale à Θ^k. On réapplique Γ pour obtenir à nouveau Γ₁ et on trouve que Γ₁ est égale à Γ.Θ^k l'une des 6 déjà comptabilisée.

On remarque que Γ et Θ ne commute pas, Γ.Θ est la réflexion d'axe invariant dirigé par 2α - β alors que Θ.Γ est la réflexion d'axe invariant dirigé par α + β. Le groupe orthogonal contient 12 éléments dont un d'ordre 6 et est non commutatif. Seuls les copies du groupe diédral D₆ vérifient toutes ces propriétés.

• Groupe diédral d'indice 4 :

Il suffit d'appliquer exactement le même raisonnement que pour D₄. On trouve que s'il existe une rotation d'un quart de tour, le groupe orthogonal est composée de quatre rotations et de quatre réflexions et que le réseau est engendré par deux vecteurs de plus petites normes α et β, qu'ils ont la même norme et qu'ils forment un angle d'un quart de tour.

• Groupe de Klein :

On suppose dans toute la suites des démonstrations que la configuration n'est pas l'une de celles déjà traités. Les seule rotations du groupe orthogonal sont l'identité, qui ne bouge aucun vecteur et le demi tour, qui à un vecteur associe son opposé. Il devient utile d'étudier les réflexions un peu plus précisément :

Il ne peut exister plus de deux réflexions différentes :

Supposons qu'il existe deux réflexions distinctes Γ₁ et Γ₂. La rotation Γ₁.Γ₂ est égale soit à l'identité, soit à son opposé, car ce sont les seules rotations du groupe orthogonal. Si Γ₁.Γ₂ est égale à l'identité, en appliquant à nouveau Γ₁, on trouve que Γ₁ et Γ₂ sont égaux, ce qui est contraire à l'hypothèse. On en déduit que Γ₁.Γ₂ est égale à l'opposé de l'identité et, en appliquant ensuite Γ₁, on trouve que Γ₂ est égale à -Γ₁. Il ne peut en exister une troisième, elle serait aussi égale à -Γ₁, donc à Γ₂.

Il n'existe qu'une structure possible pour un groupe orthogonal de plus de deux éléments, le groupe de Klein :

Le groupe ne contient que deux rotations. Les autres éléments sont des réflexions et il ne peut y en avoir que deux, une notée Γ et son opposé -Γ. Le groupe orthogonal est alors constitué de quatre éléments, chacun étant involutif, c'est-à-dire que l'élément, composé avec lui même, est égal à l'identité. Il n'existe qu'une structure de groupe composée de 4 éléments étant chacun son propre inverse : le groupe de Klein.

Encore une fois, α désigne un vecteur du réseau non nul et de plus petite norme.

La structure du groupe orthogonal est celle de Klein s'il existe un vecteur β tel que α et β forment une base du réseau et que, soit β est de même norme que α, soit β est orthogonal à α, mais pas les deux :

On sait déjà que β ne peut être les deux, le groupe orthogonal serait alors diédral d'indice 4. On suppose que le groupe orthogonal est de Klein. Il existe quatre isométries involutives. Comme il n'existe que deux rotations involutives, l'identité et son opposé, il existe aussi une réflexion dans le groupe orthogonal. L'image de α par cette réflexion est de même norme que α.

Si cette image est -α ou α, on note Γ la réflexion qui envoie α sur -α. Elle correspond, soit à la réflexion considérée, soit à son opposé. On note β, le vecteur du réseau de plus petite norme et non proportionnel à α. Le point γ désigne un vecteur colinéaire à l'axe de la réflexion Γ. On va montrer que β est dans l'axe de réflexion de Γ ce qui revient à dire qu'il est perpendiculaire à α. Le couple (α, γ) est une base de R², on peut exprimer le vecteur β dans cette base : β = a.α + c.γ, la coordonnée a est, en valeur absolue, strictement plus petite que 1/2. En effet, si elle était plus grande que 1/2, le vecteur β - α serait de norme plus petite que celle de β et si a était plus petit que -1/2, le vecteur β + α serait de norme plus petite que celle de β. Le vecteur Γ(β) est un élément du réseau, égal à -a.α + c.γ, ce qui montre que β - Γ(β), égal à 2a.α, est un point du réseau et que 2.a est un nombre entier. Comme a est strictement plus petit que 1/2 en valeur absolue et que 2.a est un nombre entier, a est nul et β est proportionnel à γ, c'est un élément de l'axe de la réflexion. Le couple (α, β) est formé d'un vecteur non nul du réseau de plus petite norme et d'un vecteur du réseau non élément de l'axe dirigé par α et de plus petite norme. D'après la démonstration de l'existence d'une base en dimension 2, ces deux vecteurs forment une base du réseau. On a bien trouvé deux vecteurs satisfaisant les hypothèses de la proposition.

Si l'image β de α par une réflexion n'est ni α ni -α, le vecteur β est de même norme que α et donc de plus petite norme dans le réseau, à l'exception du vecteur nul. Le point β ne peut être égal à α ou à -α par hypothèse, même si ces points sont de même norme. Ils ne peuvent donc pas être proportionnels. On a montré l'existence de deux vecteurs de norme minimale, à l'exception du vecteur nul, dans le réseau et non colinéaire. Ils forment une base satisfaisant aux hypothèses de l'énoncé.

Il reste encore à démontrer la réciproque :

La structure du groupe orthogonal est celle de Klein seulement s'il existe un vecteur β tel que α et β forment une base du réseau et que, soit β est de même norme que α, soit β est orthogonal à α, mais pas les deux :

On suppose que la base (α, β) existe. Le groupe orthogonal contient uniquement deux rotations. Il suffit de montrer qu'il existe une réflexion pour établir la proposition. Si α et β sont de même norme, l'application linaire Γ, qui à α associe β et à β associe α, respecte sur la base (α, β), à la fois la distance et l'angle, c'est une isométrie. Le vecteur α + β est invariant par Γ et Γ n'est pas l'application identité, car l'image de α n'est pas égale à α. L'application Γ est donc une réflexion. Les images de α et β par cette réflexion sont élément du réseau, donc toute combinaison linéaire à coefficients entiers de ces deux vecteurs est encore élément du réseau. Ceci revient à dire que Γ est une isométrie qui laisse stable le réseau, c'est la définition d'un élément du groupe orthogonal. Le groupe orthogonal contient une réflexion, on a vu que cela signifie que ce groupe est de Klein.

Si maintenant β est orthogonal à α, l'application linéaire Γ, qui à α associe -α et à β associe β est une réflexion. Le même raisonnement que le précédent permet de conclure.

Il n'existe plus qu'un cas à traiter :

• Groupe cyclique d'indice 2 :

Si aucune des configurations déjà étudiées n'est présente, le groupe orthogonal contient exactement deux rotations, l'identité et son opposé et aucune réflexion. C'est un groupe à deux éléments, qui est nécessairement le groupe cyclique d'indice deux, car il n'existe pas d'autre groupe à deux éléments.

Dans cette boite déroulante, le terme de groupe orthogonal désigne les isométries d'un réseau de dimension 3, le terme de groupe spécial orthogonal désigne le sous-groupe des isométries de déterminant égal à 1. Commençons par une proposition d'ordre général :

• Toute isométrie du groupe orthogonal est d'ordre 1, 2, 3, 4 ou 6 :

Soit φ un élément du groupe orthogonal. Sa matrice M, à la puissance l'ordre du groupe est égale à l'identité, d', après le théorème de Lagrange. Ceci montre que M est diagonalisable. L'endomorphisme φ admet aussi une matrice à coefficients entiers, on en déduit qu'il existe un nombre complexe ω tel que la matrice M est semblable à M_ω, avec :

La trace de M_ω est un nombre entier, on en déduit que la somme de ω et de son conjugué est un nombre entier, ce qui montre le résultat.

Le théorème de Cauchy, conséquence directe d'un théorème de Sylow, montre que si n est un nombre premier facteur de l'ordre du groupe, alors il existe un élément du groupe d'ordre n. On en déduit que l'ordre du groupe orthogonal est de la forme 2^p.3^q, où p et q sont des entiers positifs. Dans un premier temps, on cherche à déterminer la structure d'un groupe spécial orthogonal, c'est-à-dire des isométries du réseau de déterminant égal à 1. Son ordre ne possède que 2 ou 3 comme facteur premier. On peut être plus précis :

• Tout groupe spécial orthogonal est d'ordre un diviseur de 24 :

L'exposant de 3 de l'ordre d'un groupe spécial orthogonal d'un réseau de R³ ne peut être strictement supérieur à 1 :

C'est une conséquence assez directe des théorèmes de Sylow. Ces théorèmes nous apprennent que tout groupe d'ordre 3^p.b, où p et b désignent des entiers positifs et tel que b est un nombre premier, contient un groupe d'ordre 3^p, appelé 3-sous-groupe maximal. Un tel groupe est un 3-groupe et possède des propriétés bien particulières. Son centre c'est-à-dire le sous-groupe des éléments qui commutent avec tous les éléments du 3-groupe n'est pas trivial.

Considérons un 3-groupe G de plus de 3 éléments. Nous allons montrer qu'il contient un sous-groupe abélien de 9 éléments. Soit son centre contient strictement plus que 3 éléments, soit il existe un élément g, qui n'est pas dans le centre et le groupe engendré par le centre et g est un groupe abélien de strictement plus de trois éléments. On peut toujours extraire de ce sous-groupe un nouveau sous-groupe d'exactement 9 éléments.

Le groupe spécial orthogonal ne peut contenir de sous-groupe abélien à 9 éléments. Un tel sous-groupe est soit isomorphe à C₉ le groupe cyclique à 9 éléments, mais aucun élément du groupe spécial orthogonal n'est d'ordre 9. Sinon il contient une copie du groupe C₃ x C₃. Or la théorie des représentations des groupes finis nous apprend qu'il n'existe pas de représentation fidèle, c'est-à-dire injective, d'un tel groupe en dimension 3. Le lemme, et le fait que le groupe spécial orthogonal ne puisse pas contenir un tel sous-groupe montre la proposition.

Recherchons maintenant le 2-groupe maximal d'un groupe spécial orthogonal.

L'exposant de 2 de l'ordre d'un groupe spécial orthogonal ne peut être strictement supérieur à 3 :

Le cas des groupes abéliens est relativement simple. Soit G un 2-sous-groupe abélien, sa décomposition en représentations irréductibles montre que la dimension nécessaire pour représenter C₂ est 1 et qu'elle est égale à 2 pour C_n si n est strictement supérieur à 2. La valeur n ne peut dépasser 4 dans notre cas, car aucun élément du groupe spécial orthogonal ne possède un ordre supérieur à 4. G peut être isomorphe à C₂, C₂xC₂, C₄xC₂ et C₂xC₂xC₂ n'est pas possible car certains éléments seraient de déterminant égaux à -1. Le plus grand sous-groupe abélien est au maximaum d'ordre 8 et si tel est son ordre, il est isomorphe à C₄xC₂.

Pour le cas non abélien, considérons son caractère, les seules valeurs possibles des images sont : soit 3, obtenu pour ω égal à 1, soit 1 obtenu pour ω égal à i ou -i. La valeur 3 ne peut être obtenue qu'une fois, la valeur 1 l'est nécessairement 2^p - 1, si 2^p désigne l'ordre de G. Une telle représentation ne peut être irréductible, le carré de la norme du caractère est en effet égal à 1/2^p(9 + 2^p - 1) qui ne peut être égal à 1 alors que c'est toujours le cas pour une représentation irréductible. Cette représentation est la somme directe de deux représentations irréductibles, l'une noté χ₁ de dimension 1, l'autre, χ₂ de dimension 2. Si χ₂ n'était pas irréductible, la représentation se décomposerait en représentations irréductibles de dimension 1, ce qui impose la commutativité du groupe, ce qui n'est pas le cas étudié. On remarque que les caractères χ₁ et χ₂ sont nécessairement à valeurs réelles car leur somme l'est, en effet :

S'ils ne l'étaient pas, on aurait une combinaison linéaire nulle entre 4 caractères irréductibles distincts, ce qui ne se peut pas car les caractères irréductibles forment une famille libre (et même une base de l'espace des fonctions centrales).

Le caractère χ₂ est à valeurs réelles, mais les endomorphismes associés, maintenant sur un espace de dimension 2, ne sont pas nécessairement à déterminant positif. Cette fois ci, les valeurs possibles sont 2, -2 et 0. La trace 2 est nécessairement celle de l'identité et -2 celle de l'homothétie de rapport -1 car les valeurs propres d'un endomorphisme du groupe sont nécessairement de module égal à 1. On en déduit que les valeur 2 et -2 ne sont atteintes qu'une unique fois. Le carré de la norme du caractère est maintenant égal à 1/2^p(2² + 2²) = 1. On en déduit que p est égal à 3 et l'ordre du groupe à 8. Le seul groupe non commutatif d'ordre 8 est le groupe diédral D₄, dont on reconnaît le caractère d'une représentation irréductible et fidèle. Le terme fidèle signifie que la représentation est injective.

On a démontré que les plus larges 2-groupes sont les 2-groupes C₄xC₂ et D₄, deux groupes d'ordre 8 susceptibles d'être contenus dans un groupe spécial orthogonal d'un réseau de dimension 3. Le plus large 3-groupe est C₃ et il n'existe pas d'autre p-groupe, ce qui démontre la proposition.

Le principe de la démarche consiste à étudier dans un premier temps les groupes orthogonaux admettant une représentation irréductible, puis ensuite ceux ayant une représentation de degré 2, enfin ceux n'ayant que des représentations de degré 1. Pour plus de simplicité, on recherche d'abord uniquement le groupe spécial orthogonal et on se limite aux groupes n'ayant pas d'éléments d'ordre 6. Cette démarche met en évidence le groupe du cube. On pourrait utiliser uniquement les outils de l'algèbre linéaire, mais, pour autant d'effort, on ne trouverait que des résultats plus partiels.

Le groupe orthogonal possède une représentation naturelle. Un élément d'un tel groupe est une isométrie d'un réseau, qui se prolonge naturellement en une isométrie de R³. On peut aussi le considérer comme une isométrie de C³. Il existe deux manières de le faire. Soit on considère sa matrice dans la base canonique, elle peut aussi être vue comme la matrice d'une isométrie de C³ exprimée dans la base canonique. Soit on étudie le produit tensoriel de C par R³, qui est un C espace vectoriel de dimension 3 sur lequel s'étend naturellement l'isométrie du groupe orthogonal. On sait qu'une telle représentation est fidèle, c'est-à-dire qu'elle est injective. En effet, à une matrice donnée dans une base donnée, ne correspond qu'une application linéaire.

• Les seuls sous-groupes d'un groupe spécial orthogonal n'ayant pas d'élément d'ordre 6 et ayant une représentation irréductible de dimension 3 sont S₄ et A₄ :

Ici A₄ désigne le groupe alterné d'indice 4 à 12 éléments. Il correspond aux permutations d'un ensemble à 4 éléments ayant une signature positive. Le groupe A₄ n'est jamais un groupe spécial orthogonal, ce que nous montrerons un peu plus loin.

Si un sous-groupe d'un groupe spécial orthogonal admet une représentation irréductible de dimension 3, son ordre est, soit 12, soit 24 :

Soit G le groupe étudié, g son ordre et φ une représentation irréductible de G. Les seules valeurs possibles de la trace des images de φ sont 3, 1, 0 et -1. En effet, les images de φ sont des rotations d'un angle particulier égal à k.π/3 ou k.π/4, ici k désigne un nombre entier. L'angle nul correspond à l'identité, élément du groupe de trace 3. Les rotations d'angles π/3 et 4π/3 sont impossible car le groupe n'a pas d'élément d'ordre 6. Les rotations d'angles 2π/3 et 4π/3 donnent pour trace 0. Celles d'un demi tour -1 et celle d'un quart de tour 1. Soit p₁ (resp. p₀ et p_-1) le nombre d'isométries du groupe ayant une trace égale à 1 (resp. 0 et -1), il n'existe qu'un unique endomorphisme ayant une trace égale à 3, l'identité.

On cherche une représentation irréductible φ, cela impose comme contrainte que le carré de la norme de son caractère χ_φ soit égal à 1, soit encore : 9 + p₁ + p_-1 = g, on note ici g l'ordre du groupe recherché. On sait aussi que g = 1 + p₁ + p_-1 + p₀ et que le caractère χ_φ est orthogonal au caractère trivial χ_t, qui associe 1 à chaque élément, et donc 3 + p₁ - p_-1 = 0. On en déduit que p₀ est égal à 8, p_-1 au moins à 3. Enfin, on sait de g est un diviseur de 24.

Ces différentes équations n'ont que deux solutions, soit p₁ est égal à 6, p_-1 à 9 et p₀ à 8, soit p₁ est égal à 0, p_-1 à 3 et p₀ à 8. Ce qui démontre bien la proposition, en effet dans le premier cas g = 1 + 9 + 8 + 6 = 24 et dans le deuxième g = 1 + 8 + 3 = 12.

En fait, la démonstration nous apporte plus d'informations. La signature 3 impose un élément d'ordre 1, le groupe ne contient qu'une unité (ce qui n'est pas étonnant, cette propriété est vraie pour tous les groupes), 9 isométries de trace -1 impose qu'il existe 9 éléments d'ordre 2, la trace 0 indique 8 éléments d'ordre 3 et la trace 1, 6 éléments d'ordre 4. Ces résultats s'appliquent pour le groupe à 24 éléments.

On se concentre maintenant sur un groupe G à 24 éléments, l'objectif est de montrer que ce groupe est nécessairement celui du cube :

Le groupe G contient un sous-groupe distingué d'ordre 12 :

La représentation régulière de G est de dimension 24, elle contient 3 copies de la représentation étudiée, qui occupent 9 dimensions et la représentation triviale, qui en occupe une. Il en reste 14, qui peuvent être utilisées par des représentations de dimension 1, 2 ou 3. Analysons celles de dimension 1, elles sont nécessairement associées à des sous-groupes cycliques, les seules valeurs possibles pour la longueur du cycle sont 2, 3 et 4. La valeur 3 est impossible, en effet, si 3 était une valeur possible, il existerait un morphisme du groupe G surjectif dans C₃ et G serait le produit semi-direct d'un sous-groupe d'ordre 8 et de C₃. Les seuls morphismes de C₃ dans le groupe des automorphismes d'un groupe d'ordre 8 sont les morphismes triviaux, le produit serait donc direct. Comme G n'est pas abélien car il dispose d'une représentation irréductible de dimension 3 la seule valeur du groupe possible est D₄, le seul groupe non commutatif d'ordre 8, or le produit direct de D₄ et C₃ contient un élément d'ordre 12, ce que ne contient pas G.

Une analyse de dimension montre que G ne contient pas les représentations de C₄. En effet, s'il les contenait, ces représentations occuperaient, en plus de la représentation triviale, trois dimensions, il resterait alors 11 dimensions à remplir avec des représentations d'ordre 2 qui occupent 4 dimensions chacune et celles d'ordre 3 qui en occupent 9, ce qui est impossible. Il ne reste comme choix que l'usage de la deuxième représentation σ de C₂, différente de la triviale. Les représentations d'ordre 1 : la triviale et σ, occupent deux dimensions, une de dimension 2 porte à 6 les dimensions occupées et deux représentations d'ordre 3 prennent les 18 restantes.

On en déduit qu'il existe une représentation non trivial et de dimension 1, associée au groupe cyclique d'ordre 2. Elle représente la signature, le noyau de cette représentation est d'ordre 12 et est distingué.

Nous ne sommes plus très loin de pouvoir identifier G à S₄. Nous pouvons identifier les 4 classes de conjugaison de G, la classe de l'unité, celle d' éléments d'ordre 2, d'ordre 3 et d'ordre 4 ou 2. Il en existe en fait 5. De plus nous connaissons 3 représentations irréductibles, la triviale t, la signature σ et une irréductible φ dont les déterminants sont tous égaux à 1.

Il n'existe qu'un unique groupe à 24 éléments susceptible d'être un groupe spécial orthogonal, S₄ dont la table des caractères est la suivante :

Les valeurs de la table ne sont pas données sur les éléments mais sur les classes de conjugaison dont le cardinal est donné en deuxième ligne. En effet, un caractère est toujours constant sur une classe de conjugaison. La représentation φσ correspond à celle qui, à un élément h du groupe, associe l'isométrie (-1)^σ(h).φ(h). La représentation θ reste à déterminer.

Les éléments de G ayant une image égale 0 ou 3 par χ_φ sont d'ordre impairs, respectivement 1 et 3, il suffit de multiplier par elles même leurs matrices pour s'en rendre compte. La représentation associée à σ est égale à 1 pour ces valeurs. La valeur 1 est encore atteinte 3 fois et la valeur -1, 12 fois pour les éléments de G qui ont 1 et -1 comme image par χ_φ. On sait en effet qu'il existe 12 images de valeur 1 et 12 de valeur -1. On note p (resp. q) le cardinal de l'ensemble des éléments du groupe ayant pour image par χ_φ 1 et par χ_σ 1 et (resp. -1). De même, on note r (resp. s) le cardinal de l'ensemble des éléments du groupes ayant pour image par χ_φ -1 et par χ_σ 1 et (resp. -1). On obtient les égalités :

Ces quatre équations sont liées, la somme des deux premières est égale à celle des deux dernières, ce qui ne permet pas une résolution directe. Néanmoins, l'analyse conduisant à l'existence d'un sous-groupe d'ordre 12 montre qu'il existe 5 représentations irréductibles, donc 5 classes de conjugaison. Or l'image réciproque de -1 par χ_φ contient des éléments d'ordre 2 et 4, elle contient donc deux classes. On en déduit que, soit p, soit q est nul et que l'autre valeur est égale à 6. L'égalité p + r = 3 montre que la seule solution positive du système est p = 0, on en déduit q = 6, r = 3 et s = 6. En multipliant χ_φ par χ_σ, on obtient un nouveau caractère irréductible, soit maintenant 4 sur les cinq recherchés. La combinaison linéaire des caractères irréductibles avec comme coefficients leur dimension donne le caractère de la représentation régulière, ce qui permet de trouver le dernier caractère, noté ici χ_θ.

Il est temps de conclure. Le groupe G recherché possède pour table des caractères celle de S₄, ce qui montre que les deux groupes sont isomorphes.

Les isométries du groupe G correspondent à la représentation φ, car la représentation φσ possède des isométries de déterminants négatifs. Nous connaissons ainsi exactement les éléments du groupe spécial orthogonal. Ce groupe ne peut en effet être un sous-groupe, car il nous savons déjà qu'il ne peut exister de groupe orthogonal d'ordre strictement supérieur à celui de G.

Analysons maintenant le deuxième cas, celui où le groupe G contient 12 éléments.

Le seul sous groupe G d'un groupe spécial orthogonal, d'ordre 12 et admettant une représentation irréductible de dimension 3, est isomorphe à A₄ :

Il possède, comme table des caractères :

Car. irr. 1 (ab)(cd) (abc)1 (abc)2 Nb d'él 1 3 4 4 χt 1 1 1 1 χj 1 1 j χ 1 1 j χψ 3 -1 0 0

Le groupe G est maintenant d'ordre 12, et le caractère de la représentation associée au groupe spécial orthogonal ψ prend 1 fois la valeur 3, 8 fois la valeur 0 et 3 fois à valeur -1. En plus du caractère trivial χ_t, il ne reste que deux dimensions à trouver pour comprendre la représentation régulière de G. Ces deux dimensions ne peuvent correspondre qu'à des représentations de dimension 1, car une représentation de dimension 2 prend déjà 4 dimensions. Le seul sous-groupe cyclique offrant deux dimensions supplémentaires est C₃ les deux caractères manquants prennent donc les valeurs j et son conjugué. On connaît maintenant une partition du groupe en 3 sous-ensembles, il en faut 4 pour connaître toutes les classes de conjugaison. La seule solution pour préserver l'orthogonalité des caractères est de diviser en deux parties égales l'image réciproque de 0 par χ_φ. On obtient la table des caractères attendue, correspondant au groupe alterné d'indice 4. On sait maintenant qu'un groupe spécial orthogonal ayant une représentation irréductible de dimension 3 sans élément d'ordre 6 est soit le groupe S₄, soit le groupe A₄.

Il reste encore 3 étapes à franchir pour terminer l'étude des groupes orthogonaux de cette nature. Montrer que ni les groupes contenant un éléments d'ordre 6 ni A₄ ne sont susceptibles n'être des groupes spéciaux orthogonaux, déterminer le groupe orthogonal d'un réseau ayant pour groupe spécial orthogonal S₄ et caractériser les géométries d'un réseau ayant ce groupe pour ensemble d'isométries. On va procéder dans l'ordre inverse. Tout d'abord déterminer la géométrie d'un réseau contenant comme isométries directes (de déterminant égal à 1) un groupe isomorphe à S₄ et trouver trois solutions qui ont toutes S₄xC₂ comme groupe orthogonal, à un isomorphisme près. Il sera alors temps de traiter le cas de l'existence d'un élément d'ordre 6.

• Il n'existe, à un isomorphisme près, que trois réseaux ayant un groupe orthogonal contenant un sous-groupe isomorphe à A₄. Ils ont tous un groupe spécial orthogonal isomorphe à S₄ :

Cette proposition permet de faire d'une pierre deux coups. Une fois les trois géométries explicitées, il sera fort simple de montrer que le groupe orthogonal est toujours celui des isométries du cube, d'ordre 48. Il n'existe qu'une représentation fidèle de dimension 3 du groupe A₄, on en conclut que l'on connaît, à une isométrie près, exactement ces éléments du groupe orthogonal. Quitte à appliquer une rotation, il est toujours possible de choisir comme axes principaux de symétries ceux dirigés par i, j et k, la base canonique de R³. Le groupe est engendré par les isométries composées des permutations des trois éléments de la base, sans en laisser aucun invariant, par les isométries qui changent de signe les coordonnées. Les seules isométries présentes dans le groupe A₄ sont celles de déterminant égal à 1. On peut les construire à l'aide des générateurs proposés dans l'article Représentations du groupe symétrique d'indice quatre, les isométries correspondent à la représentation notée φ₁. Le groupe alterné est composée des isométries de cette représentation ayant une signature positive. On dispose ainsi de la représentation matricielle dans la base canonique.

Un réseau Λ, ayant un groupe orthogonal contenant un sous-groupe isomorphe à A₄, est l'image par la composée d'une rotation et d'une homothétie d'un sous-réseau de Z³ :

Chaque axe principal contient des éléments du réseau. Montrons le pour l'axe dirigé par i, la démonstration serait la même pour j et k. Remarquons dans un premier temps que la rotation, d'axe dirigé par i et d'un demi tour, est un élément de A₄. Pour s'en persuader, il est possible de calculer la matrice de la représentation de la permutation (ab)(cd). Soit α un élément non nul du réseau ayant pour coordonnées dans la base canonique (x, y, z), le point (x, -y, -z) est élément du réseau car image de α par la rotation d'un demi tour. La somme de ces deux points est encore un élément du réseau, ayant une coordonnée nulle pour j et en k.

Il est temps de trouver le réseau contenant Λ. Soit a la plus petite valeur strictement positive touchée par la forme linéaire définie par le produit scalaire associé à i. L'existence d'une telle valeur est établie dans la démonstration de l'existence d'une base dans le cas général. Il suffit de remarquer qu'il existe un sous-réseau de dimension 2 dans le plan dirigé par j et k. Les rotations images de A₄ assurent que que les coefficients définis de la même manière pour les axes j et k sont égaux à a. Il suffit pour s'en rendre compte de construire la matrice associée à la composée des permutations (ab) et (bc). Au signe près, elle transforme a.i en a.j puis en a.k. Considérons le réseau des points de R³ de coordonnées des multiples de a, à coefficients dans Z, dans la base canonique. Ce réseau contient nécessairement Λ et, à une homothétie de rapport a^-1 près, est égal à Z³.

On remarque que Z³ est stable par les rotations d'un tiers de tour et d'axes ceux dirigés par ±i ± j ± k. Comme l'image de A₄ par la représentation est engendrée par ces huit rotations, le réseau est bien stable par l'action de la représentation du groupe A₄. Ce qui termine la démonstration.

On dispose maintenant d'au moins un réseau ayant un sous-groupe isomorphe à A₄ dans le groupe orthogonal. Il reste encore un peu de travail pour trouver les autres, s'assurer de l'exhaustivité de la liste et montrer que le groupe orthogonal est toujours égal à celui du cube.

La démonstration précédente nous simplifie la vie. Il ne devient nécessaire que d'étudier les sous-réseaux de Z³. À un isomorphisme près, ce sont les seuls qui contiennent une représentation irréductible de dimension 3, au détail près des groupes orthogonaux contenant un élément d'ordre 6, qui n'est toujours pas traité. L'étape suivante consiste à établir la liste des sous-réseaux stables par le sous-groupe isomorphe à A₄ dans Z³. Pour ce faire, on considère un point non nul du réseau et on le note (a, b, c), sachant que les coordonnées sont entières. On fait agir le sous-groupe isomorphe à A₄ sur cet élément, c'est-à-dire que l'on applique à cet élément différentes isométrie du sous-groupe. En utilisant la stabilité de l'addition et de la soustraction du groupe, on obtient, à une homothétie près, trois familles de réseau.

Si on allait un peu plus loin, on montrerait que le réseau engendré par (1,1,0) est isomorphe à celui engendré par (1,1,1). La séparation de ces deux réseaux est donc un peu conventionnelle. Elle existe car elle fait sens en cristallographie.

Tout sous-réseau de Z³ et de groupe orthogonal contenant un sous-groupe isomorphe à A₄, est homothétique à l'un des trois réseaux, engendrés soit par (1,0,0), soit par (1,1,0) soit par (1,1,1) :

On a vu que le changement de signe d'une coordonnée ne modifie pas l'appartenance au réseau d'un point. On donc supposer a, b et c positifs. S'ils sont tout trois égaux, le sous-réseau est engendré par a.(1,1,1) et la proposition est démontré. Il en est de même si deux coordonnées sont égales et que la troisième est nulle ou si deux coordonnées sont nuls. On suppose que l'on est dans le dernier cas, les trois coordonnées sont distinctes deux à deux et différentes de 0. Pour fixer les idées, on suppose que a est la plus grande et c la plus petite.

Les calculs du paragraphe précédent montre que le point (0, 0, 2c), puis (2c, 0, 0) puis enfin (|a - 2c|, b, c) sont encore des points du sous-réseau. On a pu strictement réduire la plus grande coordonnée. On peut réitérer cet algorithme jusqu'à ce que la première coordonnée soit égale à la dernière ou soit nulle.

On peut ainsi supposer que le point s'écrit (c, b, c) ou (0, b, c), s'il n'est pas l'image par une homothétie d'un des trois points cités dans l'énoncé. On réitère le même algorithme, cette fois sur b et c. On obtient un point de la forme c(1, 1, 1) ou c (0, 1, 1) ou encore c(0, 0, 1). Il est ensuite possible de permuter l'unique 1 (resp. 0) ou en première (resp. dernière) position pour les deux derniers cas. On a bien 3 réseaux, à une homothétie de rapport c_-1 près.

Nous sommes passés de l'étude de tous les réseaux dont le groupe orthogonal contient un sous-groupe isomorphe à A₄, à ceux de Z³ puis à trois cas particuliers. Il suffit de déterminer le groupe orthogonal de ces trois réseaux pour conclure le cas où il n'existe pas d'éléments d'ordre 6 dans le groupe.

Tout réseau de groupe orthogonal contenant un sous-groupe isomorphe à A₄ possède un groupe orthogonal isomorphe au groupe S₄xC₂ :

Le cas le plus simple est celui contenant i = (1,0,0) , il existe dans le groupe isomorphe à A₄ une isométrie dont l'image de i est -k et l'image de -k est j ce qui montre que le réseau est égal à Z³, Il est simple de vérifier que ce réseau est stable par les trois générateurs du groupe correspondant aux rotations image de (abcd), (adbc) et (acdb). Le réseau est stable par trois isométries générant tout le groupe S₄, le groupe orthogonal contient donc S₄. On raisonne exactement de même pour les trois autres cas pour trouver un résultat analogue.

Ce groupe est le noyau du morphisme de groupe qui à un élément associe son déterminant. Il existe au moins un élément du groupe de déterminant égal à -1, l'opposée de l'identité. Le morphisme divise le groupe en deux classes, le noyau et une autre contenant l'opposé de l'identité. Deux classes de cette nature ont nécessairement le même cardinal, le groupe orthogonal est d'ordre 48. Considérons maintenant le morphisme de S₄xC₂ qui à (h, ε) associe ε.φ(h). La valeur ε est égal à ±1 et φ désigne la représentation de S₄ à valeur dans le groupe spécial orthogonal. Cette application est clairement injective, un élément du noyau est composé d'un membre h du groupe ayant une image égale à plus ou moins l'identité. Le caractère de la représentation montre qu'il n'existe qu'un élément de cette nature, l'identité. Le morphisme considéré est injectif, entre deux groupes ayant même cardinal, il est nécessairement bijectif, ce qui termine la démonstration.

Il ne reste plus qu'un unique cas à traiter :

Aucun groupe orthogonal contenant un élément d'ordre 6 ne possède de représentation irréductible de dimension 3:

On utilise ici une technique géométrique. On cherche un plan Δ le plus invariant possible par les isométries du groupe orthogonal G. Soit Θ une rotation d'ordre 6, c'est-à-dire d'un angle de π/3. Une telle rotation existe, il existe un élément d'ordre 6, soit cet élément, soit son opposé est une rotation et ces deux isométries sont dans G. La rotation Θ laisse un unique plan invariant, on suppose donc que Δ est celui là. Soit α un point non nul du réseau dans le plan Δ et de norme minimale. La même technique ayant servi à montrer que tout plan invariant par le groupe orthogonal contient un sous-réseau de dimension 2, permet de montrer que le plan Δ contient un sous-réseau de dimension 2 et que α existe bien. Les images de α par les itérés de Θ forment un hexagone, comme sur la figure de gauche. On note β l'image de α par Θ. L'objectif est de montrer que Δ est bien stable par tous les éléments de G. Pour cela on considère Σ une rotation qui ne laisse pas le plan invariant. Soit l'image de α par Σ, soit celle de β n'est pas dans Δ. Quitte à modifier les notations d'un sixième de tour, on peut toujours supposer que le point γ, égal à Σ(α), n'est pas dans le plan.

Si le point γ est orthogonal à Δ, alors Σ n'est pas dans le groupe orthogonal. La figure de gauche explique tout. La rotation Σ possède un axe orthogonal à α et γ. C'est une rotation d'un quart de tour. Considérons les coordonnées du point Σ(β). Si Σ était dans le groupe orthogonal, le triplet (α, β, γ) formerait une base du réseau car ils sont de normes minimales et forment une famille libre. Le point Σ(β) serait élément du réseau et aurait donc des coordonnées entières dans la base précédente. Or sa coordonnée sur le vecteur γ est égale à 1/2, qui n'est pas un entier.

Si le point γ est n'est pas orthogonal à Δ, alors Σ n'est pas dans le groupe orthogonal. Cette fois ci, la figure de droite explique tout. Le point γ n'est pas dans Δ, sa projection orthogonale sur ce plan est de norme strictement plus petite que celle de α. Considérons maintenant la différence δ entre γ et Θ(γ). Cette différence δ, de norme égale à la projection orthogonale de γ sur Δ est strictement plus petite que celle de α, elle ne peut appartenir au réseau. En effet, sur Δ il n'existe pas d'autre vecteur que le vecteur nul, à la fois élément du réseau et de norme strictement plus petite que celle de α. Or si Σ était dans le groupe orthogonal, δ serait un point du réseau et de Δ.

En résumé, toutes les rotations du groupe orthogonal laissent Δ globalement invariant. Toutes les isométries laissent ce plan invariant, car si une isométrie n'est pas une rotation, son opposé l'est et si son opposé ne laisse pas le plan invariant, l'isométrie ne le laisse pas non plus. Le théorème de Maschke montre que cela impose à la représentation de ne pas être irréductible.

On peut maintenant énoncer le théorème de cette boite de dialogue.

• Le seul groupe orthogonal ayant une représentation irréductible de dimension 3 est isomorphe au groupe du cube S₄xC₂. Il s'obtient avec trois types de réseau, tous sous-réseaux de Z³, ces sous réseaux sont engendrés respectivement par (1,0,0), (1,1,0) et (1,1,1) :

Les représentations d'un groupe fini ont été bien utiles. Montrer l'existence d'un réseau ayant un groupe orthogonal isomorphe à celui du cube devient plus rapide et plus simple, ce que l'on peut vérifier avec la référence qui procède autrement. Mais ce n'est pas là que réside la réelle difficulté. Elle tient à l'exhaustivité de l'analyse. On cherche tous les groupes orthogonaux. Le fait que l'on sache que les autres groupes n'ont pas de représentation irréductible de degré 3 et donc qu'il existe plan invariant par toutes les isométries du groupe orthogonal, ramène essentiellement la suite de l'étude à celle des groupes orthogonaux de réseaux de dimension 2. Or cette étude est déjà faite.

On suppose maintenant que le groupe orthogonal G admet une représentation irréductible de dimension 2, mais pas de dimension 3, le cas étant déjà traité. Le groupe n'est pas abélien car les seules représentations irréductibles d'un groupe abélien sont de dimension 1. Les représentations sont, en effet, considérées sur les complexes. Le groupe G est une représentation du lui-même, cette représentation admet nécessairement un espace stable de dimension 2, qui est peut être complexe. Son orthogonal est aussi un sous-espace stable pour tous les éléments de G, cette fois de dimension 1. Le caractère, correspondant au rapport de l'homothétie qu'est la restriction d'une isométrie de G sur cet espace de dimension 1, est toujours réel. Cette propriété est démontrée dans l'étude sur l'ordre du groupe. Le sous-espace de dimension 1 est donc réel et par voie de conséquence celui de dimension 2 aussi. Nous savons maintenant qu'il existe un plan Δ de R³ stable pour toute isométrie de G et que son orthogonal est aussi stable et donc est composé de vecteurs propres pour tout élément de G. La seule valeur propre pour une isométrie réelle est ±1. Comme toute isométrie de G a son opposé aussi dans G, on en déduit que 1 est valeur propre sur l'orthogonal de Δ pour la moitié des éléments de G et -1 pour l'autre. Une autre remarque simplifie les démonstrations :

L'intersection de Δ et du réseau est un sous-réseau de dimension 2 :

Soit Σ une isométrie de G de valeur propre 1 sur l'orthogonal de Δ et λ un élément du réseau tel que Σ(λ) soit différent de λ. Les projections orthogonales de Σ(λ) et de λ sur l'orthogonal de Δ sont égales, on en déduit que Σ(λ) - λ est un élément de Δ. Un élément de Δ ne peut être vecteur propre pour toutes les isométries de G, sinon l'espace vectoriel engendré par cet élément et l'orthogonal de Δ seraient deux espaces stables de R³ par tout élément de G. L'orthogonal de ces deux espaces en serait un troisième et toutes les isométries de G seraient diagonalisables dans une même base, ce qui implique la commutativité du groupe G, contraire aux hypothèses. L'image de Σ(λ) - λ par une isométrie de G n'ayant pas ce vecteur pour vecteur propre fournit un deuxième vecteur non colinéaire à Σ(λ) - λ et aussi dans Δ. Ces deux vecteurs engendrent un sous-réseau de dimension 2 à l'intérieur de Δ.

La structure des réseaux ayant un groupe orthogonal non commutatif commence à se dessiner. Le réseau contient un sous-réseau Δ de dimension 2 tel que le groupe orthogonal de ce sous-réseau soit non commutatif. Sur l'orthogonal de Δ la moitié du groupe se comporte comme l'identité et l'autre moitié comme son opposé. Une dernière remarque est utile :

Un groupe ne comportant que des éléments d'ordre 2 est commutatif :

Soit x et y deux éléments quelconque du groupe, l'inverse de x.y est lui même. C'est aussi le produit de l'inverse de y que multiplie l'inverse de x. Or l'inverse de x est x et celui de y est y. L'inverse de x.y est aussi y.x. Comme dans un groupe, un élément n'admet qu'un unique inverse, x.y est égal à y.x, ce qui est la définition de la commutativité.

On peut maintenant lister les différents groupes orthogonaux non commutatifs. On peut les diviser en deux parties, ceux qui contiennent un élément d'ordre 3 et ceux qui contiennent un élément d'ordre 4.

• Il existe trois groupes orthogonaux non commutatifs et différents du groupe du cube, D₆xC₂, D₆ et D₄xC₂:

Commençons par l'ordre 3.

A l'exception du groupe du cube, il existe exactement deux groupes orthogonaux contenant un élément d'ordre 3, D₆xC₂ et D₆ :

Considérons une rotation d'ordre 3, son axe est nécessairement l'orthogonal de Δ car cette rotation ne contient pas d'autre espace propre de dimension 1. Soit α un élément non nul de Δ et de plus petite norme, l'étude du réseau hexagonal en dimension 2 montre que toutes les images de α par toutes les rotations d'un angle k.π/3 sont dans Δ. Comme précédemment, on note β l'image de α par la rotation d'angle π/3. Il ne reste plus qu'à déterminer γ, un point du réseau non nul, de norme minimale et en dehors de Δ, pour connaître exactement la structure du réseau et son groupe orthogonal G. Comme γ est de norme minimale, sa projection orthogonale sur Δ est à l'intérieur de l'hexagone de rayon la moitié de la norme de α. Sinon, en retranchant soit ±α, soit ±β, on obtiendrait un élément du réseau hors de Δ et de norme strictement plus petite que celle de γ.

• Si le groupe contient une rotation Θ d'ordre 6, G est isomorphe à A₂xC₂ et γ est orthogonal au plan Δ. En effet, le raisonnement utilisé pour montrer qu'aucune représentation irréductible de dimension 3 ne contient d'élément d'ordre 6, montre que le vecteur γ - Θ(γ) est un élément de Δ de norme strictement plus petite que celle de α. Il n'en existe qu'un : le vecteur nul. Dire que γ - Θ(γ) est égal au vecteur nul revient à dire que γ est vecteur propre de Θ, qui sont tous sur l'axe orthogonal à Δ. Le groupe orthogonal du réseau Δ est isomorphe à D₆ d'après les résultats précédents. Les seuls prolongements de ces isométries sont ceux obtenu en donnant pour image de γ, ±γ. On obtient bien un groupe isomorphe à D₆xC₂.

Il n'existe qu'une unique position possible, pour le point σ, à un angle de π/3 près

• Si le groupe ne contient pas de rotation Θ d'ordre 6, il contient au moins Θ² une rotation d'angle 2.π/3, car, par hypothèse, il existe un élément d'ordre 3. Pour comprendre la géométrie du réseau, il est nécessaire de localiser γ. On note δ un vecteur nul nul du réseau de norme minimale et orthogonal au plan Δ. Il existe bien, en effet, soit λ un élément du réseau en dehors de Δ, le point du réseau λ + Θ²(λ) + Θ⁴(λ) est un vecteur non nul et orthogonal au plan Δ. La famille (α, β, δ) forme une base de l'espace vectoriel R³, soit a, b et c les coordonnées de γ dans cette base. La projection orthogonale σ de γ dans Δ est dans l'un des six triangles équilatéraux du réseau dont l'un des sommets est l'origine et dont les côtés sont d'une longueur égale à la norme de α. Quitte à modifier le choix de l'un des six vecteurs de norme minimale que l'on a appelé α, on peut supposer que σ est dans le triangle équilatéral de sommet l'origine, α et β, ce qui signifie que a et b sont positifs et inférieurs à 1. On sait par ailleurs que a et b sont inférieurs à 1/2. L'image Θ²(σ) est un point qui se trouve dans le triangle de sommets : l'origine, -α et β - α. Cette situation est illustrée sur la figure de droite. Comme γ - σ est dans l'axe de la rotation Θ, le point σ - Θ²(σ) est un point du réseau. Comme les coordonnées de σ dans la base (α, β) sont inférieures à 1/2, la seule valeur possible pour cette différence est α, ce qui ce conçoit aisément sur la figure de droite. L'équation Θ²(σ) = σ - α n'admet qu'une unique solution, donnée par σ = 1/3(α + β). On en déduit qu'un vecteur non nul de plus petite norme, élément de l'axe orthogonal à Δ est 3.γ - α - β et le coefficient c est égal à 1/3. Autrement dit, γ = 1/3(α + β + δ).

Une fois la géométrie du réseau établie, il est temps d'analyser son groupe orthogonal. Chaque élément du groupe orthogonal du réseau du plan Δ peut être prolongé de deux manières différentes en une isométrie de R³, celle qui transforme δ en δ et l'autre dont l'image de δ est -δ. Il est nécessaire vérifier s'il existe des prolongements laissant invariant le réseau. Ce travail n'est nécessaire uniquement sur des générateurs du groupe orthogonal du plan, on en considère deux, Θ et Σ la réflexion laissant invariant α. La projection orthogonale de γ sur Δ a pour image par Θ le point Θ(σ), encore égal à -Θ⁴(σ), c'est-à-dire la projection orthogonale de β - γ. Il existe un unique prolongement de Θ en une isométrie laissant invariant le réseau de dimension 3, celui qui à γ, associe β - γ. L'image par Σ de la projection orthogonale de γ sur Δ est égale à Θ^-1(σ) ou encore à -Θ²(σ), c'est-à-dire la projection orthogonale de α - γ. Il existe un unique prolongement de Σ en une isométrie laissant invariant le réseau de dimension 3. Le groupe orthogonal contient au moins autant d'éléments que son équivalent du réseau de dimension 2. Réciproquement, la restriction d'une isométrie de G au plan Δ est un élément du groupe orthogonal du réseau de dimension 2, car Δ est stable par toutes les isométries de G. Il y a donc au moins autant d'éléments dans le groupe orthogonal du réseau de dimension 2 que dans G. L'application de G dans le groupe orthogonal du réseau de Δ est un isomorphisme de groupe. On sait donc que G est isomorphe à D₆.

A l'exception du groupe du cube, il existe un unique groupe orthogonal contenant un élément d'ordre 4, D₄xC₂ :

L'analyse commence comme la précédente, Δ est le plan orthogonal à l'axe de Θ, une rotation d'ordre 4. Le point α non nul du réseau et de Δ est de norme minimale et β est égal à Θ(α). Enfin γ est un vecteur du réseau hors de Δ et de plus petite norme. Comme précédemment, si γ est orthogonal à Δ, le groupe G est isomorphe au produit du groupe orthogonal du réseau de Δ et de C₂. Les résultats précédents montrent que ce groupe est isomorphe à D₄xC₂.

On suppose maintenant que γ n'est pas dans l'orthogonal de Δ et l'on trouve que sa projection σ est égale à 1/2(α + β) pour que la rotation Θ laisse stable le réseau. Si δ désigne le vecteur non nul du réseau, orthogonal à Δ, de norme minimale et de même sens que γ, on trouve que γ = 1/2(α + β + δ). Cette fois ci, la réflexion de γ sur le plan Δ est égale à 1/2(α + β - δ) soit encore α + β - γ. La réflexion est élément du groupe orthogonal G. Même dans cette configuration, il existe deux manières de prolonger une isométrie laissant invariant l'intersection du réseau et de Δ. Le groupe G est encore isomorphe à D₄xC₂.

Il reste encore à traiter le cas des groupes orthogonaux abéliens. Il est particulièrement aisé, sachant que les groupes non encore traités ne contiennent que des isométries involutives. Comme un groupe ne contenant que les isométries involutives est nécessairement abélien, sa structure s'établit de manière immédiate.

• Il existe trois groupes orthogonaux abéliens, C₂xC₂xC₂, C₂xC₂ et C₂xC₂ :

Le groupe orthogonal est isomorphe à C₂xC₂xC₂ si, et seulement si, il existe trois espaces propres de dimension 1 qui diagonalise chaque isométrie de G. Un tel groupe s'obtient s'il existe une base orthogonale du réseau. Les autres géométries s'obtiennent en généralisant l'analyse menée en dimension 2 sur le groupe de Klein.

Le groupe orthogonal est isomorphe à C₂xC₂ si, et seulement si, le réseau ne répond à aucune des géométries précédentes et qu'il existe un espace propre de dimension 1 partagé entre tous les éléments du groupe orthogonal. Il s'obtient, par exemple, s'il existe une base dont l'un des vecteurs est orthogonal aux deux autres. Les autres géométries s'obtiennent à l'aide d'une démarche analogue à la précédente.

Si aucune des géométries précédentes ne correspond à celle du réseau, son groupe orthogonal ne contient que l'identité et son opposé, il est alors isomorphe à C₂.